Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/ Operační výzkum Lineární programování - cvičení 2. Matematické modelování. Úloha lineárního programování.

Př.: Úplnou eliminací řešte SLR x 3 je vedlejší proměnná, zvolíme

x 1 je vedlejší proměnná, zvolíme x 4 je vedlejší proměnná, zvolíme x 2 je vedlejší proměnná, zvolíme x 3 je vedlejší proměnná, zvolíme

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH NEROVNIC Úlohy LP vedou často k SLN. Definice: Je-li A matice soustavy, je vektor neznámých a je vektor absolutních členů, rozumíme soustavou m lineárních nerovnic o n neznámých systém nerovnic (≤)(≤) resp. (≥)(≥) pro i = 1, 2, … n.

Nerovnice převádíme na rovnice pomocí tzv. DOPLŇKOVÉ PROMĚNNÉ. Potom přejde v rovnice (≤)(≤) přejde v rovnice (≥)(≥) Získáme S n LR o m+n neznámých. Každému řešení SLN odpovídá řešení SLR a naopak. pro i = 1, 2, … n., resp. značí příslušnou levou, resp. pravou stranu nerovn.

Př.: Řešte SLN za podmínek Určete řešení Řešení: x 1, x 2 … vedlejší proměnné x 1, x’ 2 …vedlejší proměnné x’ 1, x’ 2 …vedlejší proměnné

FORMULACE ÚLOH LP - sestavení matematických modelů typických úloh LP. ÚLOHA VÝROBNÍHO PLÁNOVÁNÍ viz také Př. na 1. přednášce. Př.:Podnik vyrábí 2 druhy výrobků V 1 a V 2. Tabulka udává spotřebu surovin S 1 a S 2 v kg potřebných na výrobu 1 ks výrobku V 1, resp. V 2. Zisk z 1 výrobku V 1 je 18 Kč, z 1 výrobku V 2 je 8 Kč. Dále je v tabulce uvedeno množství surovin, kterými podnik disponuje. Stanovte optimální výrobní plán, aby podnik dosáhl maximálního zisku.

VýrobkyDisponibilní množství V1V1 V2V2 S 1 [kg/ks] S 2 [kg/ks] Zisk [Kč/ks]188max. ekonomický model MATEMATICKÝ MODEL: Proměnné: … počet výrobků V 1 … počet výrobků V 2 Výrobní plán … vektor výroby

Obecně: Celkový zisk: účelová funkce Hovoříme o MAXIMALIZAČNÍ ÚLOZE Celkově MATEMATICKÝ MODEL: vlastní omezení podmínky nezápornosti účelová funkce

Matematický model je potřeba řešit: 1)SLN přepíšeme pomocí doplňkových proměnných na SLR nespotřebované množství suroviny S 1, resp. S 2 2)SLR řešímegrafickou metodou simplexovou metodou 3)Nalezneme základní optimální řešení (viz později)

INTERPRETACE: Tento výrobní plán znamená: Vyrobit 300 ks výrobků V 1 ; 400 ks výrobků V 2, přičemž spotřebujeme veškerou surovinu S 1 i veškerou surovinu S 2 a dosáhne se maximálního zisku Kč. 3)Nalezneme základní optimální řešení (viz později)

FORMULACE ÚLOH LP SMĚŠOVACÍ ÚLOHA Př.:Podnik má vytvořit krmnou směs, která by obsahovala alespoň 308 mg vápníku a alespoň 214 mg hořčíku. Používají přitom dvou typů krmiv: 1kg krmiva K 1 obsahuje 10 mg Ca a 8 mg Mg a stojí 1500 Kč; 1kg krmiva K 2 obsahuje 8 mg Ca a 1 mg Mg a stojí 240 Kč. Úkolem je stanovit kolik každého krmiva použít tak, aby náklady na výrobu směsi byly co nejmenší.

KrmivaPožadovaná množství K1K1 K2K2 Ca [mg/kg] Mg [mg/kg]81214 Cena [Kč/kg] min. ekonomický model MATEMATICKÝ MODEL: proměnné: … množství (počet kg) krmiva K 1 ve výsledné směsi … množství (počet kg) krmiva K 2 ve výsledné směsi … směšovací vektor

SHRNUTÍ: vlastní omezení podmínky nezápornosti účelová funkce

FORMULACE ÚLOH LP ROZDĚLOVACÍ ÚLOHA Př.:Máme dostatečné množství základních lan o délce 32m. K dalšímu použití potřebujeme alespoň 12 ks 20m lan, alespoň 20 ks 11m lan a alespoň 26 ks 6m lan. Určete optimální skladbu řezných plánů vzhledem k minimálnímu odpadu. Nejprve musíme všechny řezné plány (tj. způsoby, kterými lze rozřezat základní 32m lana na 20m, 11m a 6m kusy) určit. Viz tabulka:

V.IV.III.II.I minOdpad [m] m 11m 6m Požadované množství ŘEZNÝ PLÁN 32m Řezný plán I. znamená, že ze základního lana délky 32 m nařežeme 1 ks 20 m dlouhého lana, 1 ks 11 m dlouhého lana a zbude odpad délky 1 m. Pro ostatní řezné plány podobně. Nejprve musíme všechny řezné plány (tj. způsoby, kterými lze rozřezat základní 32m lana na 20m, 11m a 6m kusy) určit. Viz tabulka:

PROMĚNNÉ: x j ( j =1, …, 5) … počet základních 32 m dlouhých lan rozřezaných podle j-tého řezného plánu Úkolem je určit vektor, který udává skladbu řezných plánů. Př.:… nepřípustné řešení

a zbude odpad m. Rozřežeme-li lan podle řezného plánu 1; … ; lan podle řezného plánu 5, nařežeme ks 20m lan, ks 11m lan, ks 6m lan,

SHRNUTÍ – matematický model: Př.:Určete optimální skladbu řezných plánů z hlediska minimálního počtu rozřezaných lan o délce 32 m. Matematický model se od předchozího bude lišit jen účelovou funkcí (máme jiný cíl)

OBECNÁ ÚLOHA LP Obecně jde o to, nalézt maximum (resp. minimum) lineární účelové funkce při splnění podmínek vyjádřených lineárními rovnicemi či nerovnicemi a podmínkami nezápornosti. Soustavu lineárních nerovnic (SLN) lze vždy pomocí doplňkových proměnných převést na soustavu lineárních rovnic (SLR). Obecně tedy můžeme matematický model úlohy LP zapsat následovně:

Hledáme řešení soustavy m rovnic o n neznámých (m<n) (2) takové, aby byly splněny podmínky nezápornosti, tj. a aby účelová funkce nabývala maxima (resp. minima). (1) (3)

Na množině řešení rovnic (1) a nerovnic (2) nalézt maximum (resp. minimum) účelové funkce (3). Příslušná SLR (1) má nekonečně mnoho řešení (m<n). Smysl mají pouze PŘÍPUSTNÁ ŘEŠENÍ (tj. řešení splňující navíc podmínky nezápornosti (2)). Přípustné řešení, pro něž účelová funkce nabývá maximum (resp. minimum) se nazývá OPTIMÁLNÍ ŘEŠENÍ.

ZÁKLADNÍ VĚTA LP: Úloha LP má optimální řešení má základní optimální řešení. Smysl mají jen ZÁKLADNÍ PŘÍPUSTNÁ ŘEŠENÍ (tj. základní řešení splňující i podmínky nezápornosti). DŮSLEDEK: Při hledání optimálního řešení se můžeme omezit jen na základní řešení, kterých je konečně mnoho ….