Proč se tupý úhel rovná úhlu tupému

Prezentace na téma: "Proč se tupý úhel rovná úhlu tupému"— Transkript prezentace:

1 Proč se tupý úhel rovná úhlu tupému
Petr Navrátil prezentace pro ESPG

2 Obsah Věta Důkaz Diskuze

3 Věta „Velikost libovolného tupého úhlu je rovna velikosti pravého úhlu“

4 Důkaz Provede se konstruktivně, tzn. je třeba počítat se všemi možnostmi, jak úloha může vypadat

5 Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ

6 rovina ρ

7 Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p

8 přímka p

9 Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p
2. Bod A náležící přímce p

10 bod A

11 Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p
2. Bod A náležící přímce p 3. Bod B náležící přímce p

12 bod B

13 Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p
2. Bod A náležící přímce p 3. Bod B náležící přímce p 4. ∡BAC’, jehož velikost je 90°

14 ∡BAC’

15 Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p
2. Bod A náležící přímce p 3. Bod B náležící přímce p 4. ∡BAC’, jehož velikost je 90° 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90°

16 ∡ABD’

17 Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p
2. Bod A náležící přímce p 3. Bod B náležící přímce p 4. ∡BAC’, jehož velikost je 90° 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d

18 úsečka AC

19 Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 2. Bod A náležící přímce p
3. Bod B náležící přímce p 4. ∡BAC’, jehož velikost je 90° 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d

20 úsečka BD

21 Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 3. Bod B náležící přímce p
4. ∡BAC’, jehož velikost je 90° 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD

22 úsečka CD

23 Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále:
4. ∡BAC’, jehož velikost je 90° 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD

24 čtyřúhelník ABCD

25 Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále:
5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB

26 Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále:
6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD

27 Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále:
7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD

28 Důkaz Nyní mohou nastat tři případy:
bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD

29 1. případ

30 Důkaz Nyní mohou nastat tři případy:
bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD bod S bude náležet úsečce AB

31 2. případ

32 Důkaz Nyní mohou nastat tři případy:
bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD bod S bude náležet úsečce AB bod S bude náležet polorovině pod přímkou p

33 3. případ

34 Důkaz Nechť nyní nastane případ:
bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD bod S bude náležet úsečce AB bod S bude náležet polorovině pod přímkou p

35 Konstrukce prvního případu
Buď dána rovina ρ, dále: 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB

36 osa úsečky AB

37 Konstrukce prvního případu
Buď dána rovina ρ, dále: 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD

38 osa úsečky CD

39 Konstrukce prvního případu
Buď dána rovina ρ, dále: 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD

40 bod S

41 Konstrukce prvního případu
Buď dána rovina ρ, dále: 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS

42 úsečka AS

43 Konstrukce prvního případu
Buď dána rovina ρ, dále: 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS

44 úsečka BS

45 Konstrukce prvního případu
Buď dána rovina ρ, dále: 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS

46 úsečka CS

47 Konstrukce prvního případu
Buď dána rovina ρ, dále: 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS

48 úsečka DS

49 pro připomenutí Osa úsečky

50 osa úsečky

51 pro připomenutí Osa úsečky je přímka s vlastnostmi:
Všechny její body mají stejnou vzdálenost od krajních bodů úsečky

52 |AS’| = |BS’|

53 pro připomenutí Osa úsečky je přímka s vlastnostmi:
Všechny její body mají stejnou vzdálenost od krajních bodů úsečky, tedy: |AS’| = |BS’| Pokud ještě vím, že |AS| = |BS|, potom jasně: |∡SAS’| = |∡SBS’|

54 |∡SAS’| = |∡SBS’|

55 Dokončení důkazu prvního případu
z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|

56 |AS| = |BS|

57 Dokončení důkazu prvního případu
z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS|

58 |∡BAS| = |∡ABS|

59 Dokončení důkazu prvního případu
z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS|

60 |CS| = |DS|

61 Dokončení důkazu prvního případu
z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss)

62 trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné

63 Dokončení důkazu prvního případu
z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne, že |∡CAS| = |∡DBS|

64 |∡CAS| = |∡DBS|

65 Dokončení důkazu prvního případu
z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne, že |∡CAS| = |∡DBS| Odtud již jasně: |∡BAS| + |∡CAS| = |∡ABS| + |∡DBS|

66 |∡BAS| + |∡CAS| = |∡ABS| + |∡DBS|

67 Dokončení důkazu prvního případu
z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne, že |∡CAS| = |∡DBS| Odtud již jasně: |∡BAS| + |∡CAS| = |∡ABS| + |∡DBS| |∡BAC| = |∡ABD|

68 |∡BAC| = |∡ABD|

69 Důkaz Nechť nyní nastane případ:
bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD bod S bude náležet úsečce AB bod S bude náležet polorovině pod přímkou p

70 Konstrukce druhého případu
Buď dána rovina ρ, dále: 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB

71 osa úsečky AB

72 Konstrukce druhého případu
Buď dána rovina ρ, dále: 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD

73 osa úsečky CD

74 Konstrukce druhého případu
Buď dána rovina ρ, dále: 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD

75 bod S

76 Konstrukce druhého případu
Buď dána rovina ρ, dále: 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka CS

77 úsečka CS

78 Konstrukce druhého případu
Buď dána rovina ρ, dále: 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka CS 14. Úsečka DS

79 úsečka DS

80 Dokončení důkazu druhého případu
z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|

81 |AS| = |BS|

82 Dokončení důkazu druhého případu
z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS| |CS| = |DS|

83 |CS| = |DS|

84 Dokončení důkazu druhého případu
z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss)

85 trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné

86 Dokončení důkazu druhého případu
z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne: |∡CAS| = |∡DBS|

87 |∡CAS| = |∡DBS|

88 Dokončení důkazu druhého případu
z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne: |∡CAS| = |∡DBS| |∡BAC| = |∡ABD|

89 Důkaz Nechť nyní nastane případ:
bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD bod S bude náležet úsečce AB bod S bude náležet polorovině pod přímkou p

90 Konstrukce třetího případu
Buď dána rovina ρ, dále: 5. ∡ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB

91 osa úsečky AB

92 Konstrukce třetího případu
Buď dána rovina ρ, dále: 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD

93 zmenšení…

94 zmenšení…

95 zmenšení…

96 zmenšení…

97 osa úsečky CD

98 Konstrukce třetího případu
Buď dána rovina ρ, dále: 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD

99 bod S

100 Konstrukce třetího případu
Buď dána rovina ρ, dále: 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS

101 úsečka AS

102 Konstrukce třetího případu
Buď dána rovina ρ, dále: 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS

103 úsečka BS

104 Konstrukce třetího případu
Buď dána rovina ρ, dále: 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS

105 úsečka CS

106 Konstrukce třetího případu
Buď dána rovina ρ, dále: 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS

107 úsečka DS

108 Dokončení důkazu třetího případu
z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|

109 |AS| = |BS|

110 Dokončení důkazu třetího případu
z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS|

111 |∡BAS| = |∡ABS|

112 Dokončení důkazu třetího případu
z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS|

113 |CS| = |DS|

114 Dokončení důkazu třetího případu
z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss)

115 trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné

116 Dokončení důkazu třetího případu
z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne, že |∡CAS| = |∡DBS|

117 |∡CAS| = |∡DBS|

118 Dokončení důkazu třetího případu
z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne, že |∡CAS| = |∡DBS| Odtud již jasně: |∡CAB| + |∡BAS| = |∡DBA| + |∡ABS|

119 |∡CAB| + |∡BAS| = |∡DBA| + |∡ABS|

120 Dokončení důkazu třetího případu
z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud |∡BAS| = |∡ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne, že |∡CAS| = |∡DBS| Odtud již jasně: |∡CAB| + |∡BAS| = |∡DBA| + |∡ABS| |∡BAC| = |∡ABD|

121 |∡BAC| = |∡ABD|

122 Důkaz tímto je hotov

123 Diskuze je to samozřejmě falešný důkaz, tzn. že důkaz není zcela korektní to, že důkaz není v pořádku dokážeme sporem: „Nechť tedy tupý a pravý úhel jsou velikostně shodné“ Spor dokážeme pro každý ze tří případů

124 Spor prvního případu pokračujeme v konstrukci prvního případu

125 Konstrukce prvního případu
Buď dána rovina ρ, dále: 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD

126 přímka q

127 Konstrukce prvního případu
Buď dána rovina ρ, dále: 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB

128 bod T

129 Konstrukce prvního případu
Buď dána rovina ρ, dále: 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB 19. bod U tak, že U náleží průniku osy AB a přímky q

130 zmenšení...

131 zmenšení...

132 zmenšení...

133 zmenšení...

134 bod U

135 Konstrukce prvního případu
Buď dána rovina ρ, dále: 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB 19. bod U tak, že U náleží průniku osy AB a přímky q 20. trojúhelník BTU

136 trojúhelník BTU

137 Dokončení sporu prvního případu
z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90°

138 |∡BTU| = 90°

139 Dokončení sporu prvního případu
z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° Protože |∡ABD| = 90°

140 |∡ABD| = 90°

141 Dokončení sporu prvního případu
z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° Protože |∡ABD| = 90° a |∡ABD| + |∡TBU| = 180°, potom |∡TBU| = 90°

142 |∡TBU| = 90°

143 Dokončení sporu prvního případu
z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° Protože |∡ABD| = 90° a |∡ABD| + |∡TBU| = 180°, potom |∡TBU| = 90° Spor s předpokladem, že součet velikostí úhlů v trojúhelníku je 180° První případ není reálný

144 Spor druhého případu pokračujeme v konstrukci druhého případu

145 Konstrukce druhého případu
Buď dána rovina ρ, dále: 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD

146 přímka q

147 Konstrukce druhého případu
Buď dána rovina ρ, dále: 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB

148 bod T

149 Konstrukce druhého případu
Buď dána rovina ρ, dále: 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB 19. bod U tak, že U náleží průniku osy AB a přímky q

150 zmenšení...

151 zmenšení...

152 zmenšení...

153 zmenšení...

154 bod U

155 Konstrukce druhého případu
Buď dána rovina ρ, dále: 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB 19. bod U tak, že U náleží průniku osy AB a přímky q 20. trojúhelník BTU

156 trojúhelník BTU

157 Dokončení sporu druhého případu
z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90°

158 |∡BTU| = 90°

159 Dokončení sporu druhého případu
z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° Protože |∡ABD| = 90°

160 |∡ABD| = 90°

161 Dokončení sporu druhého případu
z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° Protože |∡ABD| = 90° a |∡ABD| + |∡TBU| = 180°, potom |∡TBU| = 90°

162 |∡TBU| = 90°

163 Dokončení sporu druhého případu
z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° Protože |∡ABD| = 90° a |∡ABD| + |∡TBU| = 180°, potom |∡TBU| = 90° Spor s předpokladem, že součet velikostí úhlů v trojúhelníku je 180° Druhý případ není reálný

164 Spor třetího případu pokračujeme v konstrukci třetího případu

165 Konstrukce třetího případu
Buď dána rovina ρ, dále: 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD

166 přímka q

167 Konstrukce třetího případu
Buď dána rovina ρ, dále: 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB

168 bod T

169 Konstrukce třetího případu
Buď dána rovina ρ, dále: 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB 19. bod U tak, že U náleží průniku osy AB a přímky q

170 zmenšení...

171 zmenšení...

172 zmenšení...

173 zmenšení...

174 bod U

175 Konstrukce třetího případu
Buď dána rovina ρ, dále: 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB 19. bod U tak, že U náleží průniku osy AB a přímky q 20. trojúhelník BTU

176 trojúhelník BTU

177 Dokončení sporu třetího případu
z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90°

178 |∡BTU| = 90°

179 Dokončení sporu třetího případu
z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° Protože |∡ABD| = 90°

180 |∡ABD| = 90°

181 Dokončení sporu třetího případu
z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° Protože |∡ABD| = 90° a |∡ABD| + |∡TBU| = 180°, potom |∡TBU| = 90°

182 |∡TBU| = 90°

183 Dokončení sporu třetího případu
z vlastností osy úsečky vyplývá |∡BTU| = 90° Protože |∡ABD| = 90° a |∡ABD| + |∡TBU| = 180°, potom |∡TBU| = 90° Spor s předpokladem, že součet velikostí úhlů v trojúhelníku je 180° Ani třetí případ není reálný, ale…

184 Diskuze To samozřejmě neznamená, že by se osy neprotly
Ve skutečnosti se však protnou úplně někde jinde, než jsme předpokládali, a to: Na přímce q

185 na přímce q

186 Diskuze To samozřejmě neznamená, že by se osy neprotly
Ve skutečnosti se však protnou úplně někde jinde, než jsme předpokládali, a to: Na přímce q V průniku polorovin, pod přímkou p a q

187 V průniku polorovin

188 Diskuze Z prvního případu není možné uvažavat o shodnosti trojúhelníků ASC a BDS (trojúhelník BDS splynul v úsečku) a tudíž: |∡CAS| ≠ |∡DBS|

189 Diskuze Pokud opět budeme z vlastností os vyvozovat: |AS| = |BS|

190 |AS| = |BS|

191 Diskuze Pokud opět budeme z vlastností os vyvozovat: |AS| = |BS|
|CS| = |DS|

192 |CS| = |DS|

193 Diskuze Pokud opět budeme z vlastností os vyvozovat:
|AS| = |BS| |CS| = |DS|, potom Z druhého případu se dá usuzovat: Trojúhelníky ACS a BDS jsou shodné (sss)

194 trojúhelníky ACS a BDS jsou shodné

195 Diskuze Pokud opět budeme z vlastností os vyvozovat:
|AS| = |BS| |CS| = |DS|, potom Z druhého případu se dá usuzovat: Trojúhelníky ACS a BDS jsou shodné (sss) a tudíž i |∡CAS| = |∡DBS|

196 |∡CAS| = |∡DBS|

197 Diskuze Odtud však nelze vyvozovat rovnost |∡BAC| = |∡ABD|

198 Diskuze Závěr: důkaz není korektní, protože měl nereálné předpoklady
Věta: „Velikost pravého úhlu j rovna...“ je nepravdivá

199 Na závěr Důkaz jsem převzal z přednášky pro řešitele matematické olympiády pana Doc. Stanislava Trávníčka z Olomoucké Univerzity Palackého Diskuzi a vyvrácení důkazu jsem provedl sám

200 Díky za pozornost