Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Proč se tupý úhel rovná úhlu tupému Petr Navrátil prezentace pro ESPG.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Proč se tupý úhel rovná úhlu tupému Petr Navrátil prezentace pro ESPG."— Transkript prezentace:

1

2 Proč se tupý úhel rovná úhlu tupému Petr Navrátil prezentace pro ESPG

3 2 Obsah Věta Důkaz Diskuze

4 3 Věta „Velikost libovolného tupého úhlu je rovna velikosti pravého úhlu“

5 4 Důkaz Provede se konstruktivně, tzn. je třeba počítat se všemi možnostmi, jak úloha může vypadat

6 5 Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ

7 6 rovina ρ

8 7 Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p

9 8 přímka p

10 9 Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p 2. Bod A náležící přímce p

11 10 bod A

12 11 Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p 2. Bod A náležící přímce p 3. Bod B náležící přímce p

13 12 bod B

14 13 Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p 2. Bod A náležící přímce p 3. Bod B náležící přímce p 4. ∡ BAC’, jehož velikost je 90°

15 14 ∡ BAC’

16 15 Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p 2. Bod A náležící přímce p 3. Bod B náležící přímce p 4. ∡ BAC’, jehož velikost je 90° 5. ∡ ABD’, jehož velikost je větší než 90°

17 16 ∡ ABD’

18 17 Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 1. Zkonstruuji přímku p 2. Bod A náležící přímce p 3. Bod B náležící přímce p 4. ∡ BAC’, jehož velikost je 90° 5. ∡ ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d

19 18 úsečka AC

20 19 Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 2. Bod A náležící přímce p 3. Bod B náležící přímce p 4. ∡ BAC’, jehož velikost je 90° 5. ∡ ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d

21 20 úsečka BD

22 21 Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 3. Bod B náležící přímce p 4. ∡ BAC’, jehož velikost je 90° 5. ∡ ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD

23 22 úsečka CD

24 23 Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 4. ∡ BAC’, jehož velikost je 90° 5. ∡ ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD

25 24 čtyřúhelník ABCD

26 25 Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 5. ∡ ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB

27 26 Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD

28 27 Konstrukce důkazu Buď dána rovina ρ, dále: 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD

29 28 Důkaz Nyní mohou nastat tři případy: bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD

30 29 1. případ

31 30 Důkaz Nyní mohou nastat tři případy: bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD bod S bude náležet úsečce AB

32 31 2. případ

33 32 Důkaz Nyní mohou nastat tři případy: bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD bod S bude náležet úsečce AB bod S bude náležet polorovině pod přímkou p

34 33 3. případ

35 34 Důkaz Nechť nyní nastane případ: bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD bod S bude náležet úsečce AB bod S bude náležet polorovině pod přímkou p

36 35 Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 5. ∡ ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB

37 36 osa úsečky AB

38 37 Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD

39 38 osa úsečky CD

40 39 Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD

41 40 bod S

42 41 Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS

43 42 úsečka AS

44 43 Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS

45 44 úsečka BS

46 45 Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS

47 46 úsečka CS

48 47 Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS

49 48 úsečka DS

50 49 pro připomenutí Osa úsečky

51 50 osa úsečky

52 51 pro připomenutí Osa úsečky je přímka s vlastnostmi: Všechny její body mají stejnou vzdálenost od krajních bodů úsečky

53 52 |AS’| = |BS’|

54 53 pro připomenutí Osa úsečky je přímka s vlastnostmi: Všechny její body mají stejnou vzdálenost od krajních bodů úsečky, tedy: |AS’| = |BS’| Pokud ještě vím, že |AS| = |BS|, potom jasně: | ∡ SAS’| = | ∡ SBS’|

55 54 | ∡ SAS’| = | ∡ SBS’|

56 55 Dokončení důkazu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|

57 56 |AS| = |BS|

58 57 Dokončení důkazu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud | ∡ BAS| = | ∡ ABS|

59 58 | ∡ BAS| = | ∡ ABS|

60 59 Dokončení důkazu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud | ∡ BAS| = | ∡ ABS| |CS| = |DS|

61 60 |CS| = |DS|

62 61 Dokončení důkazu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud | ∡ BAS| = | ∡ ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss)

63 62 trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné

64 63 Dokončení důkazu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud | ∡ BAS| = | ∡ ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne, že | ∡ CAS| = | ∡ DBS|

65 64 | ∡ CAS| = | ∡ DBS|

66 65 Dokončení důkazu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud | ∡ BAS| = | ∡ ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne, že | ∡ CAS| = | ∡ DBS| Odtud již jasně: | ∡ BAS| + | ∡ CAS| = | ∡ ABS| + | ∡ DBS|

67 66 | ∡ BAS| + | ∡ CAS| = | ∡ ABS| + | ∡ DBS|

68 67 Dokončení důkazu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud | ∡ BAS| = | ∡ ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne, že | ∡ CAS| = | ∡ DBS| Odtud již jasně: | ∡ BAS| + | ∡ CAS| = | ∡ ABS| + | ∡ DBS| | ∡ BAC| = | ∡ ABD|

69 68 | ∡ BAC| = | ∡ ABD|

70 69 Důkaz Nechť nyní nastane případ: bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD bod S bude náležet úsečce AB bod S bude náležet polorovině pod přímkou p

71 70 Konstrukce druhého případu Buď dána rovina ρ, dále: 5. ∡ ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB

72 71 osa úsečky AB

73 72 Konstrukce druhého případu Buď dána rovina ρ, dále: 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD

74 73 osa úsečky CD

75 74 Konstrukce druhého případu Buď dána rovina ρ, dále: 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD

76 75 bod S

77 76 Konstrukce druhého případu Buď dána rovina ρ, dále: 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka CS

78 77 úsečka CS

79 78 Konstrukce druhého případu Buď dána rovina ρ, dále: 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka CS 14. Úsečka DS

80 79 úsečka DS

81 80 Dokončení důkazu druhého případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|

82 81 |AS| = |BS|

83 82 Dokončení důkazu druhého případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS| |CS| = |DS|

84 83 |CS| = |DS|

85 84 Dokončení důkazu druhého případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss)

86 85 trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné

87 86 Dokončení důkazu druhého případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne: | ∡ CAS| = | ∡ DBS|

88 87 | ∡ CAS| = | ∡ DBS|

89 88 Dokončení důkazu druhého případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne: | ∡ CAS| = | ∡ DBS| | ∡ BAC| = | ∡ ABD|

90 89 Důkaz Nechť nyní nastane případ: bod S bude ležet uvnitř čtyřúhelníka ABCD bod S bude náležet úsečce AB bod S bude náležet polorovině pod přímkou p

91 90 Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 5. ∡ ABD’, jehož velikost je větší než 90° 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB

92 91 osa úsečky AB

93 92 Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 6. Úsečka AC tak, že |AC| = d 7. Úsečka BD tak, že |BD| = d 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD

94 93 zmenšení…

95 94 zmenšení…

96 95 zmenšení…

97 96 zmenšení…

98 97 osa úsečky CD

99 98 Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 8. Úsečka CD 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD

100 99 bod S

101 100 Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 9. Čtyřúhelník ABCD 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS

102 101 úsečka AS

103 102 Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 10. Osa úsečky AB 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS

104 103 úsečka BS

105 104 Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 11. Osa úsečky CD 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS

106 105 úsečka CS

107 106 Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 12. Bod S, průnik osy úsečky AB a osy úsečky CD 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS

108 107 úsečka DS

109 108 Dokončení důkazu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|

110 109 |AS| = |BS|

111 110 Dokončení důkazu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud | ∡ BAS| = | ∡ ABS|

112 111 | ∡ BAS| = | ∡ ABS|

113 112 Dokončení důkazu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud | ∡ BAS| = | ∡ ABS| |CS| = |DS|

114 113 |CS| = |DS|

115 114 Dokončení důkazu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud | ∡ BAS| = | ∡ ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss)

116 115 trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné

117 116 Dokončení důkazu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud | ∡ BAS| = | ∡ ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne, že | ∡ CAS| = | ∡ DBS|

118 117 | ∡ CAS| = | ∡ DBS|

119 118 Dokončení důkazu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud | ∡ BAS| = | ∡ ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne, že | ∡ CAS| = | ∡ DBS| Odtud již jasně: | ∡ CAB| + | ∡ BAS| = | ∡ DBA| + | ∡ ABS|

120 119 | ∡ CAB| + | ∡ BAS| = | ∡ DBA| + | ∡ ABS|

121 120 Dokončení důkazu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá: |AS| = |BS|, odtud | ∡ BAS| = | ∡ ABS| |CS| = |DS| Trojúhelníky ASC a BSD jsou shodné (sss) a odtud plyne, že | ∡ CAS| = | ∡ DBS| Odtud již jasně: | ∡ CAB| + | ∡ BAS| = | ∡ DBA| + | ∡ ABS| | ∡ BAC| = | ∡ ABD|

122 121 | ∡ BAC| = | ∡ ABD|

123 122 Důkaz tímto je hotov

124 123 Diskuze je to samozřejmě falešný důkaz, tzn. že důkaz není zcela korektní to, že důkaz není v pořádku dokážeme sporem: „Nechť tedy tupý a pravý úhel jsou velikostně shodné“ Spor dokážeme pro každý ze tří případů

125 124 Spor prvního případu pokračujeme v konstrukci prvního případu

126 125 Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD

127 126 přímka q

128 127 Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB

129 128 bod T

130 129 Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB 19. bod U tak, že U náleží průniku osy AB a přímky q

131 130 zmenšení...

132 131 zmenšení...

133 132 zmenšení...

134 133 zmenšení...

135 134 bod U

136 135 Konstrukce prvního případu Buď dána rovina ρ, dále: 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB 19. bod U tak, že U náleží průniku osy AB a přímky q 20. trojúhelník BTU

137 136 trojúhelník BTU

138 137 Dokončení sporu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá | ∡ BTU| = 90°

139 138 | ∡ BTU| = 90°

140 139 Dokončení sporu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá | ∡ BTU| = 90° Protože | ∡ ABD| = 90°

141 140 | ∡ ABD| = 90°

142 141 Dokončení sporu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá | ∡ BTU| = 90° Protože | ∡ ABD| = 90° a | ∡ ABD| + | ∡ TBU| = 180°, potom | ∡ TBU| = 90°

143 142 | ∡ TBU| = 90°

144 143 Dokončení sporu prvního případu z vlastností osy úsečky vyplývá | ∡ BTU| = 90° Protože | ∡ ABD| = 90° a | ∡ ABD| + | ∡ TBU| = 180°, potom | ∡ TBU| = 90° Spor s předpokladem, že součet velikostí úhlů v trojúhelníku je 180° První případ není reálný

145 144 Spor druhého případu pokračujeme v konstrukci druhého případu

146 145 Konstrukce druhého případu Buď dána rovina ρ, dále: 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD

147 146 přímka q

148 147 Konstrukce druhého případu Buď dána rovina ρ, dále: 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB

149 148 bod T

150 149 Konstrukce druhého případu Buď dána rovina ρ, dále: 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB 19. bod U tak, že U náleží průniku osy AB a přímky q

151 150 zmenšení...

152 151 zmenšení...

153 152 zmenšení...

154 153 zmenšení...

155 154 bod U

156 155 Konstrukce druhého případu Buď dána rovina ρ, dále: 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB 19. bod U tak, že U náleží průniku osy AB a přímky q 20. trojúhelník BTU

157 156 trojúhelník BTU

158 157 Dokončení sporu druhého případu z vlastností osy úsečky vyplývá | ∡ BTU| = 90°

159 158 | ∡ BTU| = 90°

160 159 Dokončení sporu druhého případu z vlastností osy úsečky vyplývá | ∡ BTU| = 90° Protože | ∡ ABD| = 90°

161 160 | ∡ ABD| = 90°

162 161 Dokončení sporu druhého případu z vlastností osy úsečky vyplývá | ∡ BTU| = 90° Protože | ∡ ABD| = 90° a | ∡ ABD| + | ∡ TBU| = 180°, potom | ∡ TBU| = 90°

163 162 | ∡ TBU| = 90°

164 163 Dokončení sporu druhého případu z vlastností osy úsečky vyplývá | ∡ BTU| = 90° Protože | ∡ ABD| = 90° a | ∡ ABD| + | ∡ TBU| = 180°, potom | ∡ TBU| = 90° Spor s předpokladem, že součet velikostí úhlů v trojúhelníku je 180° Druhý případ není reálný

165 164 Spor třetího případu pokračujeme v konstrukci třetího případu

166 165 Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 13. Úsečka AS 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD

167 166 přímka q

168 167 Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 14. Úsečka BS 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB

169 168 bod T

170 169 Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 15. Úsečka CS 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB 19. bod U tak, že U náleží průniku osy AB a přímky q

171 170 zmenšení...

172 171 zmenšení...

173 172 zmenšení...

174 173 zmenšení...

175 174 bod U

176 175 Konstrukce třetího případu Buď dána rovina ρ, dále: 16. Úsečka DS 17. přímka q tak, že jí náleží úsečka CD 18. bod T tak, že T náleží průniku osy AB a úsečky AB 19. bod U tak, že U náleží průniku osy AB a přímky q 20. trojúhelník BTU

177 176 trojúhelník BTU

178 177 Dokončení sporu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá | ∡ BTU| = 90°

179 178 | ∡ BTU| = 90°

180 179 Dokončení sporu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá | ∡ BTU| = 90° Protože | ∡ ABD| = 90°

181 180 | ∡ ABD| = 90°

182 181 Dokončení sporu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá | ∡ BTU| = 90° Protože | ∡ ABD| = 90° a | ∡ ABD| + | ∡ TBU| = 180°, potom | ∡ TBU| = 90°

183 182 | ∡ TBU| = 90°

184 183 Dokončení sporu třetího případu z vlastností osy úsečky vyplývá | ∡ BTU| = 90° Protože | ∡ ABD| = 90° a | ∡ ABD| + | ∡ TBU| = 180°, potom | ∡ TBU| = 90° Spor s předpokladem, že součet velikostí úhlů v trojúhelníku je 180° Ani třetí případ není reálný, ale…

185 184 Diskuze To samozřejmě neznamená, že by se osy neprotly Ve skutečnosti se však protnou úplně někde jinde, než jsme předpokládali, a to: Na přímce q

186 185 na přímce q

187 186 Diskuze To samozřejmě neznamená, že by se osy neprotly Ve skutečnosti se však protnou úplně někde jinde, než jsme předpokládali, a to: Na přímce q V průniku polorovin, pod přímkou p a q

188 187 V průniku polorovin

189 188 Diskuze Z prvního případu není možné uvažavat o shodnosti trojúhelníků ASC a BDS (trojúhelník BDS splynul v úsečku) a tudíž: | ∡ CAS| ≠ | ∡ DBS|

190 189 Diskuze Pokud opět budeme z vlastností os vyvozovat: |AS| = |BS|

191 190 |AS| = |BS|

192 191 Diskuze Pokud opět budeme z vlastností os vyvozovat: |AS| = |BS| |CS| = |DS|

193 192 |CS| = |DS|

194 193 Diskuze Pokud opět budeme z vlastností os vyvozovat: |AS| = |BS| |CS| = |DS|, potom Z druhého případu se dá usuzovat: Trojúhelníky ACS a BDS jsou shodné (sss)

195 194 trojúhelníky ACS a BDS jsou shodné

196 195 Diskuze Pokud opět budeme z vlastností os vyvozovat: |AS| = |BS| |CS| = |DS|, potom Z druhého případu se dá usuzovat: Trojúhelníky ACS a BDS jsou shodné (sss) a tudíž i | ∡ CAS| = | ∡ DBS|

197 196 | ∡ CAS| = | ∡ DBS|

198 197 Diskuze Odtud však nelze vyvozovat rovnost | ∡ BAC| = | ∡ ABD|

199 198 Diskuze Závěr: důkaz není korektní, protože měl nereálné předpoklady Věta: „Velikost pravého úhlu j rovna...“ je nepravdivá

200 199 Na závěr Důkaz jsem převzal z přednášky pro řešitele matematické olympiády pana Doc. Stanislava Trávníčka z Olomoucké Univerzity Palackého Diskuzi a vyvrácení důkazu jsem provedl sám

201 200 Díky za pozornost


Stáhnout ppt "Proč se tupý úhel rovná úhlu tupému Petr Navrátil prezentace pro ESPG."

Podobné prezentace


Reklamy Google