Diferenciální geometrie křivek

Prezentace na téma: "Diferenciální geometrie křivek"— Transkript prezentace:

1 Diferenciální geometrie křivek

2 Výpočet křivosti křivky
Je-li křivka K dána rovnicí X(t), kde t je obecný parametr, potom křivost křivky K v bodě X(t) je Je-li rovinná křivka K dána explicitně rovnicí y=f(x), potom Př.: Vypočítejte funkci křivosti paraboly y=x2.

3 Oskulační kružnice křivky
Kružnice, která leží v oskulační rovině w bodu T=X(to) křivky a má střed S na hlavní normále n bodu T ve vzdálenosti r =r(to)=1/k(to) od T, se nazývá oskulační kružnice křivky v bodě T.

4 Oskulační kružnice křivky
Určení oskulační kružnice v bodě T=X(to): Poloměr r: r =1/k(to) Střed S: S=X(to)+r.(N(to)), kde N(to) je jednotkový vektor hlavní normály n v bodě T. Rovnice oskulační kružnice rovinné křivky: (x-s1)2 + (y-s2)2 = r2. Př.: Určete rovnici oskulační kružnice paraboly y=x2 v bodě x=0 a v bodě x=1. Pozn.: X‘(tV).X‘‘(tV)=0  Bod X(tV) je vrchol křivky. Potom platí un=X‘‘(tV)!

5 Příklady Určení oskulační kružnice v bodě T=X(to):
Poloměr r: r =1/k(to) Střed S: S=X(to)+r.(N(to)), kde N(to) je jednotkový vektor hlavní normály n v T. Křivost křivky K v bodě X(t) je Pozn.: X‘(tV).X‘‘(tV)=0  Bod X(tV) je vrchol křivky. Potom platí un=X‘‘(tV)! Př. 1: Určete rovnici oskulační kružnice křivky X(t)=[1+4cos t;2+2sin t] v bodě X(p). Př. 2: Vypočtěte souřadnice bodu B křivky X(t)=[1+t-t2/4;t-1], ve kterém je křivost křivky největší a napište rovnici oskulační kružnice křivky v tomto bodě.

6 Oskulační kružnice elipsy

7

8

9 Taylorův rozvoj funkce y = sin x
Taylorův rozvoj kružnice

10 Hana Lakomá, B304, k.h.: středa 9-10:30
Hodně štěstí u zkoušek Hana Lakomá, B304, k.h.: středa 9-10:30