Tlumené kmity pružná síla brzdná síla?.

Prezentace na téma: "Tlumené kmity pružná síla brzdná síla?."— Transkript prezentace:

1 Tlumené kmity pružná síla brzdná síla?

2 Tlumené kmity pohybová rovnice pružná síla brzdná síla

3 Tlumené kmity

4 Tlumené kmity smyčkové pravidlo („pohybová rovnice“)

5 Řešení pohybové rovnice tlumeného oscilátoru
Jedná se o obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu, která je - lineární - homogenní - a má konstantní koeficienty Z linearity vyplývá, že lineární kombinace řešení je také řešení. tedy také řešení řešení řešení Dokažte.

6 Řešení pohybové rovnice tlumeného oscilátoru
Jedná se o obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu, která je - lineární - homogenní - a má konstantní koeficienty Obecné řešení takové rovnice je obecné řešení dvě lineárně nezávislá řešení Zdůvodněte tvrzení.

7 Řešení pohybové rovnice tlumeného oscilátoru
předpokládáme řešení obecné řešení: Aperiodický pohyb (silný útlum) Mezní aperiodický pohyb (kritický útlum) Tlumený harmonický kmit (slabý útlum) 3 možnosti:

8 záleží na p.p., zde např. pro
1. Aperiodický pohyb záleží na p.p., zde např. pro (tlumení) roste Platí: 1. Výchylka konverguje k rovnovážné poloze, 2. Pro konečné časy projde částice rovnovážnou polohou nejvýše jednou

9 2. Mezní aperiodický pohyb
záleží na p.p., zde např. pro Platí: 1. Výchylka konverguje k rovnovážné poloze, 2. Pro konečné časy projde částice rovnovážnou polohou nejvýše jednou 3. Návrat do rovnováhy je nejrychlejší (ve srovnání s ostatními pohyby)

10 3. Tlumený harmonický kmit
reálné, tj. nebo Výchylka konverguje k rovnovážné poloze

11 3. Tlumený harmonický kmit - kmity s frekvencí
- amplituda exponenciálně klesá Pozn.: pro velmi slabý útlum

12 3. Tlumený harmonický kmit
Pozn.: definují se útlum logaritmický dekrement útlumu = ln(útlum)

13

14 Energie slabě tlumeného oscilátoru
netlumený oscilátor tlumený oscilátor exponenciálně klesá ztrátový výkon relativní rychlost energetických ztrát činitel kvality Q = 2π energie systému ztráta energie během jedné periody např. pro RLC obvod

15 Nucené kmity a rezonance
b  volné a nucené kmity, tj. dvě frekvence: - vlastní frekvence  - frekvence budící síly b

16 Nucené kmity a rezonance
? b  - pružná síla - brzdná síla - budící síla Po zapnutí budící síly: pohyb je superpozicí volných kmitů (jsou tlumené) a nucených kmitů. Po dostatečně dlouhé době: volné kmity vymizí a systém přejde do ustáleného stavu (nezávisí na p.p.), tj. vykonává pouze nucené kmity. ? ?

17 Nucené kmity a rezonance
b kmitající nosník  pružná síla ? ? brzdná síla

18 Nucené kmity a rezonance
b kmitající nosník  pružná síla pohybová rovnice brzdná síla

19 Nucené kmity a rezonance
 b smyčkové pravidlo

20 Řešení pohybové rovnice nucených kmitů
Jedná se o obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu, která je - lineární - nehomogenní - a má konstantní koeficienty b Obecné řešení takové nehomogenní rovnice je součet partikulárního řešení této rovnice a obecného řešení odpovídající homogenní rovnice.  Obecné řešení homogenní rovnice už známe (tlumené kmity). Pohyb je superpozicí volných kmitů (jsou tlumené) a nucených kmitů (partikulární řešení). Po dostatečně dlouhé době volné kmity vymizí a systém přejde do ustáleného stavu. K popisu ustáleného stavu tedy stačí nalézt partikulární řešení nehomogenní rovnice.

21 Řešení pohybové rovnice nucených kmitů
(použijeme komplexní vyjádření) předpokládané partikulární řešení rovnice platí pro všechna t

22 Řešení pohybové rovnice nucených kmitů
? ? - Amplituda i fáze jsou funkcemi budící frekvence. - Fáze nezávisí na amplitudě budící síly.

23 amplituda výchylky, náboje, ...
amplituda rychlosti, proudu, ... amplituda zrychlení

24 Rezonance Poloha maxima - rezonanční frekvence

25 Q jako faktor zesílení Q souvisí s výškou maxima.
Pro amplitudu výchylky: zesílení:

26 torzní kmity hřídele Bohumil Kučera, O zjevech resonance u parníků a železnic, Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 36 (1907), No. 1, 91–100

27 Amplituda a fáze výchylky, náboje, ... rychlosti, proudu, ...
x se opožďuje za F v předbíhá F v se opožďuje za F

28 Amplituda a fáze fáze proudu i předbíhá e i se opožďuje za e

29 fáze proudu i předbíhá e i se opožďuje za e

30 fáze proudu induktivní charakter: i se opožďuje za e
kapacitní charakter: i předbíhá e rezonance fáze proudu i předbíhá e i se opožďuje za e

31 Krouživé kmity hřídele
rychlost těžiště úhlová rychlost (pouze označení!) výchylka ve fázi kritické otáčky výchylka v protifázi

32 Nucené kmity: výkon Ztrátový (absorbovaný) výkon = ­ výkon brzdné síly
Dodaný výkon = výkon budící síly V ustáleném stavu platí kmitající nosník

33 Časová střední hodnota
Dvě harmonické funkce (o stejné frekvenci)

34 Nucené kmity: výkon Ztrátový (absorbovaný) výkon = ­ výkon brzdné síly
Dodaný výkon = výkon budící síly V ustáleném stavu platí Důkaz:

35 Nucené kmity: výkon, šířka pásma a Q
šířka křivky v polovině výšky maxima

36 Skládání stejnosměrných harmonických kmitů
Působí 2 síly vybudí kmit (princip superpozice) ?

37 (a) stejné frekvence ? ? stav kdy

38 (a) stejné frekvence ? ? stav kdy stav kdy

39 (b) stejné amplitudy

40 (b) stejné amplitudy

41 Skládání vzájemně kolmých kmitů
(a) stejné frekvence

42 Skládání vzájemně kolmých kmitů
(a) stejné frekvence

43 Odvození rovnice elipsy
vyloučíme (rovnice elipsy)

44 Skládání vzájemně kolmých kmitů
(b) různé frekvence

45 Konstruktivní a destruktivní superpozice
Vraťme se ke skládání stejnosměrných harmonických kmitů - (a) stejné frekvence závisí na fázovém rozdílu Maximum: libovolné celé číslo - kmity jsou ve fázi - (plně) konstruktivní superpozice (interference)

46 Konstruktivní a destruktivní superpozice
Vraťme se ke skládání stejnosměrných harmonických kmitů - (a) stejné frekvence závisí na fázovém rozdílu Minimum: libovolné celé číslo - kmity jsou v protifázi - (plně) destruktivní superpozice (interference)

47 Konstruktivní a destruktivní superpozice
Vraťme se ke skládání stejnosměrných harmonických kmitů - (a) stejné frekvence Jev se nejvíce projeví pokud