Fraktálová geometrie.

Prezentace na téma: "Fraktálová geometrie."— Transkript prezentace:

1 Fraktálová geometrie

2 Matematické modely vymezit zkoumaný systém
zjistit základní veličiny na nichž závisí vývoj systému v čase tvorba matematického modelu: vzájemný vztah základních veličin výstupem matematického modelu jsou data popisující chování zkoumaného systému ověření výstupních dat na reálném systému korekce matematického modelu

3 Matematické modely Výstupem může být i geometrický útvar
Příklady z oblasti biologie Program pro syntetický život Tierra Matematický model DNA generovaný počítačem Matematický model jednoduché „evoluce“ Vězňovo dilema – spolupráce nebo zrada? Některé geometrické útvary mají zvláštní vlastnosti, nazýváme je fraktály

4 Fraktálová geometrie Benoit Mandelbrot, Gaston Julia
Základní literatura : The Fractal Geometry of Nature La fractale, fractus, fraction výzkum začneme na jednoduchém fraktálu Kochové křivce (Helge von Koch, 1904)

5 Vlastnosti Kochové křivky
křivka je spojitá, nikde sama sebe neprotíná celá křivka je uvnitř kružnice opsané původnímu trojúhelníku křivka má nekonečnou délku, i když je „uzavřena“ v kružnici, délka hranice : o ... obvod trojúhelníku n … počet „dělení“ trojúhelníku

6 Vlastnosti Kochové křivky
Každá část křivky obsahuje sebe sama, z každé části lze obnovit celou křivku – tato vlastnost se nazývá : vnitřní homotetie (self-similarity)

7 Jakou má Kochové křivka dimenzi?
dimenze 0 : body dimenze 1 : přímky dimenze 2 : roviny dimenze 3 : prostory dimenze d : dimenze Kochové křivky?

8 Jakou má Kochové křivka dimenzi?

9 Je nutná nová definice dimenze !
Útvary klasické eukleidovské geometrie mají celočíselnou (topologickou) dimenzi Velice zjednodušeně : topologická dimenze označuje počet parametrů, kterými můžeme popsat každý bod na geometrickém útvaru přímka : každý bod lze popsat jediným parametrem, má tedy dimenzi 1, každá křivka v rovině má rovněž dimenzi 1, každý bod lze totiž obecně popsat: x=x(t), y=y(t), kde parametr t probíhá určitý interval rovina : rovina má tedy dimenzi 2

10 Jiná definice dimenze Úsečku o topologické dimenzi 1 rozdělíme na N stejných úseček. Koeficient stejnolehlosti pro jednu úsečku bude tedy Když budeme místo úsečky dělit čtverec (dimenze 2) na N shodných čtverců, koeficient stejnolehlosti pro jeden čtverec bude bude

11 Pro krychli tedy platí :
Není problém definovat krychli s eukleidovskou dimenzí větší než 3, nazveme ji d, pak analogicky platí : Z toho vyjádříme d : Dostali jsme vzorec pro výpočet homotetické (Hausdorffovy – Besicovitchovy) dimenze, která se někdy nazývá fraktálová

12 Definice fraktálů Mandelbrot : „Fraktály se charakterizují intuitivním a pracovním způsobem prostřednictvím obrázků či množin, které by se mohly označit za fraktální, a přitom se vyhýbáme jejich definování matematickým a kompaktním způsobem“

13 Definice fraktálů Mandelbrot : „A fractal is by definition a set for which the Hausdorff Besicovitch dimension strictly exceeds the topological dimension.“ Překlad : „Fraktál je podle definice množina, pro kterou je Hausdorffova-Besicovitchova dimenze vyloženě větší než topologická dimenze.“

14 Výpočet fraktálové dimenze Kochové křivky
„Klasická“ křivka : když použijeme menší a menší měřítko, délka se blíží k nějaké konečné hodnotě Kochové křivka : tzn., při zmenšování měřítka je délka nekonečná (Richardsonův empirický zákon – pobřeží Bretaně)

15 Výpočet fraktálové dimenze Kochové křivky

16 Mandelbrotova množina : fraktál všech fraktálů
Množina komplexních čísel : Množina komplexních čísel obsahuje všechna reálná čísla Navíc obsahuje tzv. imaginární jednotku i platí algebraický tvar komplexního čísla je a+b.i, kde a,b jsou libovolná reálná čísla sčítání a násobení provádíme stejně jako čítání a násobení dvojčlenů v R každé komplexní číslo lze znázornit v rovině jako bod o souřadnicích [a;b]

17 Mandelbrotova množina : fraktál všech fraktálů
iterace … opětovné užití téhož početního obratu, výsledek početního obratu je vstupem pro následující opakování téhož obratu iterace v C … počáteční hodnota z = 0+0i tj. bod o souřadnicích [0;0] c je testované komplexní číslo pokud c konverguje tj. blíží se bodu [0;0], označíme je černě pokud diverguje označíme jej barevně, např. podle „rychlosti“ divergence

18 Mandelbrotova množina : fraktál všech fraktálů
Výsledkem otestování všech bodů roviny je fraktálový útvar, který se nazývá Mandelbrotova množina (M-set). Vlastnosti : celá množina leží v kruhu o poloměru 2 množina je souvislá fraktální dimenze hranice množiny je 2, jedná se tedy o fraktál obsahuje údaje o všech tzv. Juliových množinách každou část lze „zvětšovat“ do nekonečna, vždy se objeví nové a nové strukrury

19 Mandelbrotova množina : fraktál všech fraktálů
Využití : umění modelace fázových přechodů – magnetizace a demagnetizace počítačové benchmarky

20 Další zajímavé fraktály
Cantorův prach (Cantorovo mračno) Sierpinského koberec Mengerova houba Fraktálové rozhraní Newtonovy metody Počítačová grafika – imaginární krajiny

21 Použitá literatura Gleick, J. : Chaos. Ando, Praha, 1996
Coveney, P., Highfield, R. : Mezi chaosem a řádem, Mladá fronta, Praha, 2003 Prigodine, I., Stengersová I. : Řád z chaosu. Mladá fronta, Praha, 2001 Mandelbrot, B. : Fraktály. Mladá fronta, Praha, 2003 Mandelbrot, B. : The Fractal Geometry Of Nature. W. H. Freeman And Company, New York, 2000 Burger, E. B., Starbird M. : The Heart Of Mathematics, Key College Publishing, Emeryville, California, 2000

22 Děkuji Vám za pozornost

23 červené proužky - hostitelé žluté proužky – parazité modré proužky – imunní hostitelé

24 vlevo model vpravo DNA v rastrovacím tunelovém mikroskopu

25 „Evoluční“ rovnice dN/dt=rN(K-N)-mN N … počet jedinců r … natalita m … mortalita K … „přepravní“ schopnost prostředí

26 Vězňovo dilema – červená zrádce po zrádci, žlutá zrádce po spolupracujícím, modrá spolupracující po spolupracujícím, zelená spolupracující po zrádci

27 Kochové křivka

28 Mandelbrotova množina

29 Cantorův prach, d = 0,63 (průnik „rozpadající se“ tyče se svou podélnou osou)

30 Mengerova houba, d = 2,7268

31 Sierpinského koberec, d = 1,8928

32 Newtonova iterační metoda pro

33 Fraktálové krajiny generované Barnsleyovou „kolážovou“ metodou“