Síly působící na tělesa ponořená v ideální tekutině...

Prezentace na téma: "Síly působící na tělesa ponořená v ideální tekutině..."— Transkript prezentace:

1 Síly působící na tělesa ponořená v ideální tekutině...

2 Síly působící na tělesa ponořená v ideální tekutině Eulerova rovnice pro ideální (stlačitelnou) tekutinu: a v... zrychlení kvůli objemovým silám Hydrostatika: Potenciální proudění nestlačitelné ideální tekutiny bez obj. sil: V daný okamžik je proudové pole určeno pouze okamžitou rychlostí těles, nezáleží na historii ani na zrychlení! Čas vstupuje do hry pouze přes okrajovou podmínku.

3 Těleso obecného tvaru Proč zrovna tento tvar derivace? Jiné prostorové derivace 1. řádu neexistují, konstantní vektor krát gradient je nejobecnější derivace 1. řádu. 2. řád: Daleko od tělesa zanedbáme! Potenciál - lineární kombinace řešení Laplaceovy rovnice: a jeho prostorovou derivaci 1. řádu, tedy: přičemž nás zajímá řešení daleko od tělesa (blízko - nutná znalost tvaru). Řešení zvolíme: Proč zrovna toto řešení (a je to vůbec řešení)?

4 Řešení Laplaceovy rovnice (sférické souř.) Obecné řešení: harmonické funkce rozložitelné do báze R n (r) Y lm ( ,  ) Úhlová část: dále Y lm ( ,  )=T lm (  ) X m (  ) 2  -periodicita: m musí být celé číslo

5 Řešení Laplaceovy rovnice (sférické souř.) Úhlová část – závislost na  : Legendreova rovnice pro k=l(l+1) Řešení – přidružené Legendreovy polynomy: Pro dané k je řešením jak P l m, tak P -l-1 m, tyto polynomy jsou si rovny.

6 Řešení Laplaceovy rovnice (sférické souř.) n>0 nefyzikální! n=0 nezajímavé n=-1 nejvyšší zajímavý řád, tedy k=0!  Radiální část: Pro dané k je řešením jak r n tak r -1-n. Celkové řešení v nejvyšším řádu pro velká r: QED Další řády, budou-li třeba, vyjádříme radši pomocí prostorových derivací tohoto řešení.

7 Těleso obecného tvaru Potenciál - lineární kombinace řešení Laplaceovy rovnice: a jeho prostorovou derivaci, tedy:Řešení zvolíme: Lze ukázat z podmínky nulového průtoku uzavřenou plochou (nestlačitelnost). Pozn.: Toto není zajištěno automaticky díky řešení Laplaceovy rovnice (která v sobě již obsahuje podmínku nestlačitelnosti) kvůli singularitě řešení v počátku souřadné soustavy. Energie proudění uvnitř koule o velkém průměru R (R  ∞)  Hybnost tekutiny (nelze přímo)  Síla působící na těleso je dána změnou hybnosti tekutiny

8 Těleso obecného tvaru Energie proudění uvnitř koule o velkém průměru R: integrál přes S 0 vymizí kvůli okrajové podmínce Dosadit za potenciál a rychlost, zanedbat členy malé pro R jdoucí do nekonečna, zintegrovat přes celý prostorový úhel, použít trik se středováním skalárního součinu polohových/normálových vektorů.

9 Těleso obecného tvaru m ij – tenzor indukované / přidané hmotnosti silové působení tekutiny na těleso Stacionární proudění (+ potenciální + nestlačitelná id. tekutina): d’Alembertův paradox Platí pouze pro těleso pohybující se rovnoměrně přímočaře obtékané stacionárním potenciálním prouděním ideální kapaliny v jejím nekonečném objemu. Přestává platit, pokud existuje mechanismus schopný disipovat energii nebo ji transportovat pryč, např. viskozita, gravitační vlny, zvukové vlny. P – celková hybnost tekutiny u – rychlost tělesa