VY_32_INOVACE_05_PVP_262_Kra

Prezentace na téma: "VY_32_INOVACE_05_PVP_262_Kra"— Transkript prezentace:

1 VY_32_INOVACE_05_PVP_262_Kra
Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 „EU peníze středním školám“ Název školy Obchodní akademie a Hotelová škola Havlíčkův Brod Název OP OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/ Název projektu Inovace a individualizace výuky na OA a HŠ Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení vzdělávacího materiálu VY_32_INOVACE_05_PVP_262_Kra Druh učebního materiálu Prezentace Autor  RNDr. Irena Králová

2 Vzdělávací obor, pro který je
materiál určen Obchodní akademie, Hotelnictví, Ekonomické lyceum Předmět Matematika Ročník 3. Název tematické oblasti (sady) Posloupnosti Název vzdělávacího materiálu Vzorec pro n-tý člen, rekurentní vzorec Anotace V prezentaci je ukázáno na několika příkladech, jak z posloupnosti, která je zadána výčtem několika prvních členů, je sestaven vzorec pro n-tý člen. Dále je představeno zadání posloupnosti rekurentním vzorcem a opět na několika příkladech je ukázáno, jak se z něj vypočítávají jednotlivé členy. V závěru je zadán příklad pro ověření pochopení a zvládnutí dané tematiky. Zhotoveno, (datum/období) Ověřeno

3 Vzorec pro n-tý člen, rekurentní vzorec
Posloupnosti Vzorec pro n-tý člen, rekurentní vzorec

4 Příklad 1 V grafu posloupnosti 𝑎 𝑛 𝑛=1 ∞ je zobrazeno prvních pět členů. Určete je a napište vzorec pro n-tý člen této posloupnosti. 𝑎 𝑛

5 Řešení příkladu 1 Posloupnost má tyto členy: 𝑎 1 =1, 𝑎 2 =2, 𝑎 3 =3, 𝑎 4 =4, 𝑎 5 =5. První člen je roven jedné, druhý dvěma atd. Každý člen této posloupnosti je roven svému pořadí, n-tý člen je roven n. Proto můžeme psát: 𝑎 𝑛 =𝑛, jedná se tedy o posloupnost 𝑛 𝑛=1 ∞ .

6 Příklad 2 Jsou dány posloupnosti: 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 6 ,… 1 3 , 1 9 , 1 27 , 1 81 , ,… −2, −4, −6, −8, −10,… 4, −4, 4, −4, 4,… Ke každé posloupnosti napište ještě další dva členy a určete tyto posloupnosti pomocí vzorce pro n-tý člen.

7 Řešení příkladu 2 6 7 , 7 8 𝑎 𝑛 = 𝑛 𝑛+1 1 729 , 1 2187 𝑎 𝑛 = 1 3 𝑛
6 7 , 𝑎 𝑛 = 𝑛 𝑛+1 1 729 , 𝑎 𝑛 = 1 3 𝑛 −12, − 𝑎 𝑛 =−2𝑛 −4, 𝑎 𝑛 = −1 𝑛+1 ∙ *) *) mocnina −1 𝑛+1 zajišťuje střídání znamének tak, aby všechny liché členy byly kladné a všechny sudé členy záporné.

8 Příklad 3 Je dána posloupnost 2𝑛−5 𝑛=1 ∞ . Určete 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 𝑛 , 𝑎 𝑛−1 , 𝑎 𝑛+1 , 𝑎 𝑛+2 . Řešení příkladu 3: 𝑎 1 =2∙𝟏−5=−3 𝑎 2 =2∙𝟐−5=−1 𝑎 𝑛 =2∙𝒏−5=2𝑛−5 𝑎 𝑛−1 =2∙ 𝒏−𝟏 −5=2𝑛−7 𝑎 𝑛+1 =2∙ 𝒏+𝟏 −5=2𝑛−3 𝑎 𝑛+2 =2∙ 𝒏+𝟐 −5=2𝑛−1

9 Rekurentní vzorec posloupnosti
Rekurentní zadání posloupnosti znamená, že známe vztah mezi několika sousedními členy posloupnosti a hodnoty některých jejích členů. Na základě toho pak můžeme dopočítat i hodnoty ostatních členů.

10 Příklad 4 Posloupnost je dána rekurentně takto: 𝑎 𝑛+1 =2 𝑎 𝑛 −1, 𝑎 1 =2. Vypočtěte členy 𝑎 2 , 𝑎 3 , 𝑎 4 . Řešení příkladu 4: 𝑎 2 = 𝑎 1+1 =2 𝑎 1 −1=2∙𝟐−1=3 𝑎 3 = 𝑎 2+1 =2 𝑎 2 −1=2∙𝟑−1=5 𝑎 4 = 𝑎 3+1 =2 𝑎 3 −1=2∙𝟓−1=9 Tímto způsobem bychom postupně počítali hodnoty dalších členů posloupnosti.

11 Příklad 5 Posloupnost je dána rekurentně takto: 𝑎 𝑛+2 = 𝑎 𝑛+1 − 𝑎 𝑛 , 𝑎 1 =2, 𝑎 2 =−1. Vypočtěte její třetí, čtvrtý a pátý člen. Sestrojte graf. Řešení příkladu 5: 𝑎 3 = 𝑎 1+2 = 𝑎 1+1 − 𝑎 1 = 𝑎 2 − 𝑎 1 =−1−2=−3 𝑎 4 = 𝑎 2+2 = 𝑎 2+1 − 𝑎 2 = 𝑎 3 − 𝑎 2 =−3+1=−2 𝑎 5 = 𝑎 3+2 = 𝑎 3+1 − 𝑎 3 = 𝑎 4 − 𝑎 3 =−2+3=1

12 Graf posloupnosti z příkladu 5
𝑎 𝑛

13 Domácí úkol Jsou dány posloupnosti 𝑎) 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , 1 32 , … 𝑏) 3, 6, 9, 12, 15, … 𝑐) 1, 3, 5, 7, 9, … 𝑑) −6, 6, −6, 6, −6, … Napište ještě další dva členy a určete posloupnosti vzorcem pro n-tý člen. Vypočtěte 𝑎 2 , 𝑎 3 , 𝑎 4 , jestliže je dáno: 𝑎 𝑛+1 = 𝑎 𝑛 2 −4, 𝑎 1 =8

14 Použitá literatura: ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: posloupnosti a řady. 2. vyd. Praha: Prometheus, 2001, 126 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN Použité zdroje: Pro tvorbu grafů byl použit program GeoGebra. Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.