Číselné soustavy a vzájemné převody

Prezentace na téma: "Číselné soustavy a vzájemné převody"— Transkript prezentace:

1 Číselné soustavy a vzájemné převody
Střední odborná škola Otrokovice Číselné soustavy a vzájemné převody Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Miloš Zatloukal Dostupné z Metodického portálu ISSN:  , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

2 Charakteristika DUM 2 Název školy a adresa
Střední odborná škola Otrokovice, tř. T. Bati 1266, Otrokovice Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/ /4 Autor Ing. Miloš Zatloukal Označení DUM VY_32_INOVACE_SOSOTR-PE-CT/1-EL-4/1 Název DUM Číselné soustavy a vzájemné převody Stupeň a typ vzdělávání Středoškolské vzdělávání Kód oboru RVP 26-41-L/52 Obor vzdělávání Provozní elektrotechnika Vyučovací předmět Číslicová technika Druh učebního materiálu Výukový materiál Cílová skupina Žák, 15 – 16 let Anotace Výukový materiál je určený k frontální výuce s doplňujícím výkladem vyučujícího; náplň: přehled číselných soustav a převody čísel mezi nimi Vybavení, pomůcky Dataprojektor Klíčová slova Číslo, číslice, číselná soustava, základ číselné soustavy, kód, dvojkový, čtyřkový, osmičkový, šestnáctkový, převody čísel. Datum

3 Číselné soustavy a vzájemné převody
Obsah tématu Číselná soustava Tvoří ji - základ soustavy - váhy – řády – mocniny základu - symboly – vyjadřovací prvky Desítková číselná soustava Obecná číselná soustava (převod z desítkové do obecné a zpět) Dvojková (binární) číselná soustava Číselné soustavy odvozené z dvojkové Převody mezi soustavami

4 Číselná soustava Umožňuje vyjadřovat informaci jako číslo složené z jednotlivých symbolů – vyjadřovacích prvků. Číselnou soustavu charakterizují tyto vlastnosti: - Základ soustavy: Z – je obsažen v názvu soustavy - Váhy (jednotlivé řády) – Zn …Z3,Z2,Z1 ,Z0, Z-1, Z-2, …Z-m - Symboly (jakási „číslicová abeceda“ – vyjadřovací prvky) Místo pojmu číselná soustava se často používá pojem číselný kód (desítkový, dvojkový…) Nejznámější číselnou soustavou je v našem světě soustava desítková. Proč? Historické souvislosti, 10 prstů člověka…

5 Číselná soustava – pokračování
Desítková soustava - Základ soustavy: Z = 10 - Váhy (jednotlivé řády): 10n …103, 102, 101 , 100, 10-1, 10-2, …, 10-m - Symboly: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Z příkladu je vidět, že ze základu je odvozeno vše potřebné: váhy – mocniny základu – (hraniční mezi celými a necelými čísly je nultá mocnina 100 = 1) symboly - jejich počet (je rovný základu soustavy – tedy 10), - hodnota nejvyššího symbolu (o 1 menší než je základ soustavy – tedy 9) Příklad čísla vyjádřeného v desítkové soustavě: 549,286 Číslo má velikost: 5 stovek + 4 desítky + 9 jednotek+2 desetiny + 8 setin + 6 tisícin (půjde vlastně o rozklad typu součet součinů (tvořených prvkem a příslušným řádem).

6 Desítková číselná soustava – pokračování
549,286 Pro desítkovou soustavu lze číslo 5439,286 zapsat jako 5* *10 + 9*1 + 2*0,1+8*0,01+6*0,001 nebo 5* * *100 +2* * *10-3 Obdobným způsobem bude později řešen převod čísla v některé z číselných soustav do desítkové soustavy.

7 Obecná číselná soustava
Slouží k vyjádření čísla určité velikosti, využívá k tomu základ Z, z něj je pak odvozeno vše ostatní: - Název soustavy (např. dvojková, trojková…) - Prvky – symboly - jejich počet (=Z) - největší z nich (= Z - 1) – začíná se vždy nulou - Řády zvané také jako váhy jde o mocniny základu - s indexy 0, 1, 2, …, n) – pro čísla >= 1 … Z0, Z1, Z2, Z3 , …, Zn - s indexy -1, -2, …, -m) – pro čísla < 1 … Z-1, Z-2, Z-3, …, Z-m Zde je namístě vysvětlit jak převést desítkové číslo na číslo jiné soustavy (obecné – ale v příkladu bude upřesněna)

8 Obecná číselná soustava – převod z desítkové – pokračování
Jak se převede desítkové číslo do číselné soustavy o základu Z? Lze použít několik metod, např. metodu postupného odečítání čísla Z nebo postupného dělení číslem Z. Příklad: číslo (46)10 převeďte do trojkové soustavy postupným dělením Řešení: 46 : 3 = 15 zbytek 1 15 : 3 = 5 zbytek 0 5 : 3 = 1 zbytek 2 1 : 3 = 0 zbytek 1 Výsledek: (46)10 = (1201)3 Zbytky po celočíselném dělení zapsané pozpátku (tedy nejprve zbytek po posledním dělení, kdy je výsledek nula) pak vytvoří žádané číslo v trojkové soustavě

9 Obecná číselná soustava – zkouška – převod do desítkové
(převod z obecné soustavy do desítkové) Předchozí příklad: (46)10 = (1201)3 Zkouška Postup: - Pod jednotlivé číslice zprava doleva zapíšeme mocniny základu (zde čísla 3). Mocniny začínají od indexu 0 – tedy Z0 = 1. - Pak je můžeme vypočítat (provést umocnění) - Poté vytvoříme dílčí součiny (číslice převáděného čísla krát příslušná mocnina) - Nakonec dílčí součiny sečteme ( )3 (1201)3 = 1*27 + 2*9 + 0*3 + 1*1 = = 46

10 Obecná číselná soustava – převod z desítkové – zobecnění
Jak se převede desítkové číslo do číselné soustavy o základu Z? Metoda postupného dělení  Zadané číslo vydělíme základem soustavy do které převádíme V dílčím kroku převodu (dělení) získáme - podíl (ten bude dále dělen v dalším kroku) - zbytek (ze zbytků nakonec vznikne výsledek) Kdy dělení končí? Tehdy, když je podíl nulový ( dělené číslo je menší než číslo kterým dělíme (základ Z). Zbytky zapsané pozpátku (tedy nejprve zbytek po posledním dělení, kdy je podíl nula), pak vytvoří žádané číslo v zadané soustavě. Pro ověření správnosti převodu lze provést zkoušku – jde zároveň o postup převodu z nějaké číselné soustavy do soustavy desítkové.

11 Číselná soustava dvojková
- Základ soustavy: Z = 2 - Váhy (jednotlivé řády): 2n …23, 22, 21, 20, 2-1, 2-2, …, 2-m - Symboly: 0, 1  Použití dvojkových čísel: informatika, počítače, programování Z dvojkové soustavy jsou odvozeny některé další soustavy – čtyřková, osmičková, šestnáctková – praktické využití má např. soustava šestnáctková (např. v oblasti mikropočítačů). Převod z desítkové do dvojkové soustavy Lze sice použít metodou postupného dělení (základem, tedy dvojkou) ale menší možnost chyby poskytuje metoda rozkladu do vah (řádů) – mocnin čísla 2 – tedy metoda postupného odečítání.

12 Číselná soustava dvojková – pokračování
Příklad : Desítkové číslo 29 převeďte do dvojkové soustavy Postup: na pravou stranu rovnice napíšeme mocniny dvojky – od nejnižších (20) zprava doleva až po nejvyšší ještě potřebnou mocninu (vyšší už svojí hodnotou přesahuje zadané číslo) 16, 8, 4, 2, 1 32 je už příliš velké číslo Nyní zkoumáme, zda je daná mocnina v čísle 29 obsažena – pokud ano, zapíšeme jedničku, pokud ne tak nulu. Po zapsané jedničce od zadaného čísla odečteme hodnotu příslušné mocniny (abychom věděli, kolik ještě zbývá k dalšímu rozdělení) 16 je ve 29, píšeme 1, 29-16=13 8 je ve 13, píšeme 1, 13-8=5, 4 je v 5, píšeme 1, 5-4 = 1, 2 v 1 není (dvojka je větší) – píšeme nulu, 1 v 1 je, píšeme 1 (1-1=0) převod končí (29)10 = ( )2 Zkouška: 1*16 + 1*8 + 1*4 + 0*2 + 1*1 = = 29

13 Číselné soustavy odvozené z dvojkové
1) Převod z dvojkové do odvozené Zdrojovou číselnou soustavou bude soustava dvojková, cílovou soustavou je taková, která je odvozená z dvojkové – tj. čtyřková, osmičková, šestnáctková… Příklady: ( )2 = (1302)4 ( )2 = (162)8 ( )2 = (72)16 ( )2 = (3I)32 - slovy 3 í (I odpovídá číslu 18, kdy 10 = A, Bé 11, …, 15=F, 16=G, 17=H, 18=I) Postup: zdrojové číslo rozdělíme zprava do skupin po tolika číslicích (bitech), kolik jich je potřeba pro zápis nejvyššího symbolu (číslice) dané soustavy – 2, 3, 4, 5 … bity pro čtyřkovou, osmičkovou, šestnáctkovou , 32-ovou … soustavu a každou skupinu bitů převedeme na desítkové číslo – pozor u čísel větších než 9, tam je pak ve výsledku použít písmena A, B… ( )2 = ( )2 (pokud chybí u nejvyšší jedničky bity – doplníme nulami) tedy výsledek je (162)8

14 Číselné soustavy odvozené z dvojkové – pokračování
Tabulka 2) Převod ze soustavy odvozené z dvojkové (čtyřková, osmičková, šestnáctková…) do dvojkové soustavy. Příklady: (23)4 = (1011)2 (74)8 = (111100)2 (6C)16 = ( )2 Číselná soustava základ nejvyšší prvek bitů ve skupině Čtyřková 4 3 = 2 Osmičková 8 7 = 3 Šestnáctková 16 15 = 32 – ová 32 31 = 11111 5

15 Číselné soustavy odvozené z dvojkové - pokračování
Postup převodu: Každou číslici vstupního čísla převedeme samostatně na tolikabitové dvojkové číslo, na kolik bitů zapíšeme nejvyšší symbol dané soustavy – pro čtyřkovou jde o trojku (11 = 2 jedničky), pro osmičkovou o 7 (111 = 3 jedničky) pro šestnáctkovou o 15 (1111 = 4 jedničky) Pro 32-ovou o 31 (11111 = 5 jedniček), atp. Tedy u čtyřkové každou číslici na dvoubitové dvojkové číslo, u osmičkové každou číslici na tříbitové dvojkové číslo, u šestnáctkové každou číslici na čtyřbitové dvojkové číslo, u 32-ové na pětibitové dvojkové číslo, atp.

16 Kontrolní otázky Počet symbolů = prvků = znaků určité číselné soustavy o základu Z je: Z + 1 Z - 1 Z 2. Jakou váhu jednotek mají celá čísla v jakékoli číselné soustavě o základu Z: Z0 = 1 Z-1 = 1/Z Z1 = Z 3. Záporná mocnina základu Z – např. Z-2 určuje číslo: menší než nula záporné číslo menší než jedna

17 Kontrolní otázky – správné odpovědi – červeně
Počet symbolů = prvků = znaků určité číselné soustavy o základu Z je: Z + 1 Z - 1 Z 2. Jakou váhu jednotek mají celá čísla v jakékoli číselné soustavě o základu Z: Z0 = 1 Z-1 = 1/Z Z1 = Z 3. Záporná mocnina základu Z – např. Z-2 určuje číslo: menší než nula záporné číslo menší než jedna

18 Seznam obrázků:

19 Seznam použité literatury:
[1] Matoušek, D.: Číslicová technika, BEN, Praha, 2001, ISBN [2] Blatný, J., Krištoufek, K., Pokorný, Z., Kolenička, J.: Číslicové počítače, SNTL, Praha, 1982 [3] Kesl, J.: Elektronika III – Číslicová technika, BEN, Praha, 2003, ISBN X

20 Děkuji za pozornost 