* 16. 7. 1996 Lineární funkce Matematika – 9. ročník *

Prezentace na téma: "* 16. 7. 1996 Lineární funkce Matematika – 9. ročník *"— Transkript prezentace:

1 * Lineární funkce Matematika – 9. ročník *

2 Funkce Definice Funkce je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřadí právě jedno číslo y z množiny H. Funkci obvykle zapisujeme ve tvaru y = f(x), x ∈ D nebo f: x → y, x ∈ D (čteme: Prvku x množiny D je funkcí f přiřazeno reálné číslo y)

3 Funkce Definiční obor a obor hodnot funkce
Definiční obor (značíme D(f)), je množina všech přípustných hodnot argumentu x, tedy všechny hodnoty, kterých může proměnná x nabývat. Obor hodnot (značíme H(f)) je poté množina všech přípustných y, tedy množina všech prvků, kam může ukazovat funkce f.

4 Funkce Zadání Funkce může být zadána: Rovnicí y = 2x – 3, x ∈ D
Tabulkou Grafem t (h) 1 2 3 4 5 6 s (km) 5, 5 11,0 16,5 22,0 27,5 33,0

5 Funkce Graf Grafem funkce y = f(x), x ∈ D nazýváme množinu všech bodů roviny, které mají souřadnice [x; y].

6 Lineární funkce Definice
Každá funkce y = ax + b, kde a a b jsou libovolná reálná čísla a definičním oborem je množina všech reálných čísel, se nazývá lineární funkce. Grafem lineární funkce je přímka. Oborem hodnot je množina všech reálných čísel.

7 Lineární funkce Graf x y -1 2 -3 3 Grafem lineární funkce je přímka.
Každá přímka je jednoznačně určena právě dvěma body. Pro sestrojení grafu nám tudíž stačí dva údaje. Sestrojte graf funkce: y = 2x – 1 x y -1 2 -3 3

8 Lineární funkce Přímá úměrnost
Lineární funkce y = ax + b, kde a ≠ 0 a b = 0, (tj. y = ax) jejímž definičním oborem je množina všech reálných čísel, se nazývá přímá úměrnost. Grafem přímé úměrnosti je přímka, procházející počátkem soustavy souřadnic. Oborem hodnot je množina všech reálných čísel.

9 Přímá úměrnost Graf x y -1 2 -2 4
Grafem přímé úměrnosti je přímka, procházející počátkem soustavy souřadnic. Každá přímka je jednoznačně určena právě dvěma body. Pro sestrojení grafu nám tudíž stačí dva údaje. Sestrojte graf funkce: y = 2x x y -1 2 -2 4

10 Lineární funkce Konstantní funkce
Lineární funkce y = ax + b, kde a = 0 a b je libovolné reálné číslo, (tj. y = b), jejímž definičním oborem je množina všech reálných čísel, se nazývá konstantní funkce. Grafem konstantní funkce je přímka rovnoběžná s osou x. Oborem hodnot je číslo b.

11 Konstantní funkce Graf
Grafem konstantní funkce je přímka, rovnoběžná s osou x. Každá přímka je jednoznačně určena právě dvěma body. Pro sestrojení grafu nám tudíž stačí dva údaje. Sestrojte graf funkce: y = 2 x y -1 2 2 2

12 Funkce Funkce rostoucí a klesající
Rostoucí funkce je funkce, pro kterou platí: Zvětšují-li se hodnoty proměnné x, zvětšuje se hodnota funkce. Klesající funkce je funkce, pro kterou platí: Zvětšují-li se hodnoty proměnné x, zmenšuje se hodnota funkce.

13 Lineární funkce Funkce rostoucí a klesající
Do jedné soustavy souřadnic sestrojte grafy funkcí a) y = x b) y = - x + 2 x y -2 2 4 x y -2 2 4 y = - x + 2 y = x + 2

14 Lineární funkce Funkce rostoucí a klesající
Lineární funkce y = ax + b je rostoucí, když a > 0. Lineární funkce y = ax + b je klesající, když a < 0. Lineární funkce y = ax + b je konstantní, když a = 0.

15 Lineární funkce Příklad č. 1
1. Určete, zda jde o zápis lineární funkce (D = R): a) 𝑦 = 5𝑥 – 7 b) 𝑦 =−2 𝑥 2 + 1 c) 𝑦 = 3𝑥 −2 4 a) ANO b) NE c) ANO d) 𝑦 = – 7 −𝑥 e) 𝑦 = 2+3𝑥 4 f) 𝑦 = 2 𝑥 +1 d) ANO e) ANO f) NE g) 𝑦 = 2𝑥 2 +3𝑥 −4 5 h) 𝑦 = 2𝑥 −3 𝑥 i) 𝑦 = − 3 −2𝑥 7 g) NE h) NE i) ANO

16 Lineární funkce Příklad č. 2
2. Určete, zda je daná lineární funkce rostoucí nebo klesající. a) 𝑦 = 5𝑥 – 7 b) 𝑦 =−2𝑥+ 1 c) 𝑦 =− 8 a) Rostoucí b) Klesající c) Konstantní d) 𝑦 = – 7 −𝑥 e) 𝑦 = 2+3𝑥 4 f) 𝑦 = −2𝑥 3 +1 d) Klesající e) Rostoucí f) Klesající g) 𝑦 = −3𝑥 −4 − 2 h) 𝑦 = 2𝑥 −3 4 i) 𝑦 =0 g) Rostoucí h) Rostoucí i) Konstantní

17 Lineární funkce Příklad č. 3
3. Zjisti, zda body A[1; 1]; B[-1; 1]; C[-2; 7] a D[2; -7] leží na grafu funkce y = -2x + 3. A[1; 1] A[-1; 1] A[-2; 7] A[2; -7] 1 = -2 · 1 + 3 1 ≠ -2 · (-1) + 3 7 = -2 · (-2) + 3 -7 ≠ -2 · 2 + 3 1 = 1 ≠ 2 + 3 7 = 4 + 3 -7 ≠ 1 = 1 1 ≠ 5 7 = 7 -7 ≠ -1 Bod A leží na grafu lineární funkce y = -2x + 3 Bod B neleží na grafu lineární funkce y = -2x + 3 Bod C leží na grafu lineární funkce y = -2x + 3 Bod D neleží na grafu lineární funkce y = -2x + 3

18 Lineární funkce Průsečíky grafu s osami
y = 3 x Do jedné soustavy souřadnic sestrojte grafy funkcí a) y = 3x + 2 c) y = 3x - 2 b) y = 3x x y -2 1 -4 5 x y -2 1 y = 3 x – 2 -6 3 x y -1 2 Průsečík s osou y má souřadnice [0; b] -5 4 y = 3x + 2

19 Lineární funkce Příklad č. 4, 5
4. Urči průsečíky grafu lineární funkce y = – x – 3 s osami. ⇒ Průsečík s osou y má souřadnice [0; b] Y[0; – 3] ⇒ Průsečík s osou x má souřadnice [x; 0] 0 = – x – 3 x = – 3 X[– 3 ; 0] 5. Urči rovnice lineární funkce jejíž graf protíná osy v bodech X[2; 0] a Y[0; – 1]. y = ax + b y = ax – 1 (průsečík s osou y má souřadnice [0; b] 0 = 2a – 1 (do rovnice dosadíme souřadnice bodu X ⇒ a = 0,5 y = 0,5x – 1

20 Lineární funkce Příklad č. 6
6. Urči rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body A[– 2; 3] a B[2; – 1] . y = ax + b Do obecné rovnice lineární funkce dosadíme souřadnice bodu A 3 = – 2a + b / · (– 1) Do obecné rovnice lineární funkce dosadíme souřadnice bodu B ⇒ – 1 = 2a + b – 1 = 2 · (– 4) + b – 4 = 4a b = 7 Vyřešíme soustavu lineárních rovnic a = – 4 Řešením je rovnice y = – 4x + 7

21 Lineární funkce Příklad č. 7 – 10
7. Zjisti, zda body A[1; 2]; B[-1; -2]; C[-2; 7] a D[-1; -4] leží na grafu funkce y = 3x - 1. A – ANO, B – NE, C – NE, D - ANO 8. Urči průsečíky grafu lineární funkce y = –2x + 1 s osami. Y[0, 1], X[0,5; 0] 9. Urči rovnice lineární funkce jejíž graf protíná osy v bodech X[4; 0] a Y[0; 3]. 𝑦=− 3 4 𝑥+3 10. Urči rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body A[– 1; – 3] a B[2; 1] . 𝑦= 4 3 𝑥 − 5 3