Fraktální geometrie.

Prezentace na téma: "Fraktální geometrie."— Transkript prezentace:

1 Fraktální geometrie

2 Kochova vločka Niels Fabian Helge von Koch (25. ledna 1870 Stockholm – 11. března 1924 Stockholm)

3 Sierpinského koberec

4 Mengerova houba

5 Mandelbrotova množina

6

7

8

9

10 Juliova množina

11 Přirozené fraktály

12

13 Soběpodobnost

14 Matematická definice Fraktál je útvar, jehož Hausdorfova dimenze je větší než dimenze geometrická

15 Hausdorfova (fraktální) dimenze
Délka Kochovy vločky /3 * 3 = /3*4/3*3 = 5, (4/3)3*3=7,11 (4/3)n*3 →∞

16 Plocha Sierpinskeho koberce
Plocha děr 1/9 8/9 * 1/9 (8/9)2 * 1/9 (8/9)n * 1/9 Celkem 1/9 * ∑(8/9)i = 1 Plocha zbytku (koberce) = 0

17 U nefraktálních útvarů
Zjemním měřítko s krát, počet naměřených úseků se změní dD krát, D je geometrická dimenze

18 Dimenze Kochovy vločky
Kochova křivka 5 iterací křivky

19 Dimenze Kochovy vločky
Kochova křivka 3 x zjemnění => 4 x délka s = 3 => N = 4 D = logN/logs = log4/log3 =

20 Další Hausdorfovy dimenze
Sierpinskeho koberec 1,58 Mengerova houba 2,72 Peanova křivka 2 Mořské pobřeží 1,02 – 1,25

21 Polynomické fraktály Definován rekurzivní předpis Kn+1 = f(kn)
Pokud pro počáteční hodnotu k0 posloupnost konverguje, je hodnota k0 prvkem fraktálu

22 Mandelbrotova množina

23 Mandelbrotova množina
Část roviny komplexních čísel z0 = 0, zn+1 = zn2 + c Mandelbrotova množina je množina všech takových c, pro které posloupnost z nejde do nekonečna.

24 Příklady bodů C Z0 Z1 Z2 Z3 Z4 0 + 0i 0,0 1+0i 1,0 2,0 5,0 26,0 -1+0i
-1,0 ½+1/2 I -0.75,0.5 -0.43,-0.75 1.69,0.65 1.54,2.21 -2.04,6.87

25 Test Po absolutní hodnota některého členu přesáhne 2, jde posloupnost do nekonečna.

26 Algoritmus Pro danou hodnotu c generuji členy posloupnosti zn. Pokud dostanu člen s absolutní hodnotou větší než 2, bod v M.m. nelží. Mohu ho obarvit barvou podle kroku, kdy se na to přišlo. Pokud se po předem stanoveném počtu kroků k takovému bodu nedostanu, bod ponechám v aproximaci M.m.

27 Zobrazovač Mandelbrotovy množiny
<A HREF="