Exponenciální funkce. y = f ( x ) = e x D ( f ) = R R ( f ) = (0, +∞) f je rostoucí na svém definičním oboru, f ( + ∞ ) = + ∞ , f ( - ∞ ) = 0 f (0) = e 0 = 1 e = 2, 78…. Eulerova konstanta y = f ( x ) = e - x = 1 / e x D ( f ) = R R ( f ) = (0, +∞) f klesající na svém definičním oboru, f ( + ∞ ) = 0, f ( - ∞ ) = + ∞ f (0) = e 0 = 1 e = 2, 78…. Eulerova konstanta

Funkce logaritmus. y = f ( x ) = log ( x ) D ( f ) = (0, +∞) R ( f ) = R f je rostoucí na svém definičním oboru, f ( x ) + ∞ , pro x + ∞ f ( x ) - ∞ , pro x 0 f (1) = log 1 = 0

Funkce obecná mocnina = mocninná funkce. y = f ( x ) = a x , a > 0 a x = e x log a D ( f ) = R R ( f ) = (0, +∞) f je rostoucí na svém definičním oboru pro a > 1, f je klesající na svém definičním oboru pro a < 1 f (0) = a 0 = 1 y = f ( x ) = a - x = 1 / a x D ( f ) = R R ( f ) = (0, +∞) f klesající na svém definičním oboru pro a > 1, f rostoucí na svém definičním oboru pro a < 1 f (0) = 1/a 0 = 1 Inverzní funkcí k funkci y = a x , a > 0, a  1, je funkce logaritmus při základu a y = log a x Speciálně: Dekadický logaritmus y = log 10 x přirozený logaritmus y = log e x Budeme-li hovořit o logaritmu, budeme VŽDY myslet přirozený logaritmus a budeme ho značit log.

Pravidla pro počítání s logaritmy a mocninami. Příklady. nebo

Příklady. e(0.5x+1) ex Posun po ose x v exponentu má multiplikativní účinek Na funkční hodnotu. Graf je symetrický podle osy y.

Příklady. Srovnání exponenciely a polynomů. Tečna k exponenciele. Pro x  0 platí neboli neboli

Příklady. Předpokládejme, že velikost populace v čase t je N(t), t ≥ 0 a že platí: Víme, že N(0) = 100 a N(10) = 1 Vypočtěte a.

Periodické funkce – goniometrické funkce. Funkce f se nazývá periodická s periodou T, jestliže když x  D( f ), pak x + T  D( f ) f ( x ) = f ( x + T ) Funkce y = f ( x ) = sin x. D ( f ) = R R ( f ) = <-1, 1> f je periodická na svém definičním oboru s periodou 2p, f (0) = 0

Funkce y = f ( x ) = cos x. D ( f ) = R R ( f ) = <-1, 1> f je periodická na svém definičním oboru s periodou 2p, f (0) = 1

Funkce y = f ( x ) = tg x = sin x / cos x. D ( f ) = R \ {(2k + 1) p/2, k  Z } R ( f ) = (- ∞, + ∞ ) f je periodická na svém definičním oboru s periodou p, f (0) = 0 Na intervalech ((2k - 1) p/2, (2k + 1) p/2) je funkce rostoucí

Funkce y = f ( x ) = cotg x = cos x / sin x. D ( f ) = R \ {kp, k  Z } R ( f ) = (- ∞, + ∞ ) f je periodická na svém definičním oboru s periodou p, f (p / 2) = 0 Na intervalech (-kp, kp) je funkce klesající

+ - + - Pravidla pro počítání s goniometrickými funkcemi. sin [0, 1] cos - [-1, 0] [0, 0] [1, 0] + p 0, 2p - [0, -1] 3p/2

Pro x  0 je sin (x )  x

Příklady. 1. Určete periodu funkce, posunutí po osách, obor hodnot a hodnotu v bodě 0. Pak graf funkce nakreslete.   Posun o p/2 po ose x do kladných hodnot. R( f ) = <-2, 6> 0 < 2x – p < 2p určuje základní periodu funkce cosinus. Odtud p/2 < x < 3p/2. Perioda je tedy p. Pro x = 0 je y = 4 cos(-p) + 2 = -2. perioda 

2. Poločas rozpadu C14 je 5730 let. Proces rozpadu se řídí funkcí Určete l. 3. Víme, že povrch krychle S závisí na délce hrany krychle L (S = aL2) a objem krychle V závisí na délce hrany L (V = bL3). Určete zvislost mezi S a V. Položme Pak

Limita funkce. Koncentrace 137Cs v odpadním kanálu jaderné elektrárny se v časovém intervalu (t1, t2) řídí rovnicí c (t) = c0e -(t-t0). V čase t1 dojde k úniku tohoto prvku z elektrárny. Koncentrace v kanálu se zvýší na c1 > c0. Rozpad pak pokračuje podle vztahu c (t) = c1e -(t-t1) c0 = 10 c1 = 20 t0 = 0 t1 = 2 zleva zprava

Na tomto příkladu je vidět Kdyby pokračoval trend rozpadu z bodu t = 0 i v bodě t = 2, pak c (2) = 10e -2. “Prodloužení“ trendu je limita funkce v bodě t = 2 (v našem případě zleva). Kdybychom se blížili k bodu t = 2 zprava, (proti času), pak c(2) = 20 e -2. Na tomto příkladu je vidět limita funkce v bodě je pokračování trendu funkce podle jejího chování v okolí tohoto bodu. limita funkce v bodě nemusí být rovna funkční hodnotě v bodě. Funkce nemusí být v bodě vůbec definovaná!! Pokud existují limity funkce v bodě zleva a zprava a obě se rovnají, pak limita znamená “přemostění“ kritického bodu podle chování funkce v okolí tohoto bodu. Pokud existují limity funkce zleva a zprava v bodě a nerovnají se, pak nelze kritický bod “přemostit“, takže limita funkce v bodě neexistuje. Příklad y = 0.5x, x  R – {0}, y = 10 pro x = 0. Limita zleva se rovná limitě zprava. Podezřelou funkční hodnotu lze překlenout limitou v tomto bodě. Graf funkce “se spojí“. [0, 0]

Přesněji: ( ) Viz předchozí příklad. Body, které mohou být limitami jsou A = 0, A = 10. Vezmeme malý interval (-0.1, 0.1) v okolí bodu A = 0. Vzorem tohoto intervalu je interval na ose x tvaru (-0.2, 0.2) s “vykousnutým“ Bodem x = 0. Tyto intervaly si odpovídají ve smyslu, když x  (-0.2, 0.2) - {0}, pak y  (-0.1, 0.1). Tento postup popisuje průběh funkce v okolí bodu 0. Proto limita v bodě 0 je rovna 0. Zkusíme vzít malý interval (9.9, 10.1) v okolí bodu A = 10. Vzorem tohoto intervalu je interval (19.8,20.2), tedy interval, který neobsahuje bod x = 0. Proto A = 10 není limitou funkce v bodě 0. Ještě přesněji: ( ) Ať vezmu libovolný interval (A – e, A + e), pak existuje prstencové okolí bodu a, P = (a – d, a + d)-{a} tak, že pro každé x  P je f ( x )  (A – e, A + e)

Nejpřesněji = Definice limity funkce: právě, když pro každé e > 0 existuje d > 0 tak, že když x  (a – d, a + d)-{a} , pak f ( x )  (A – e, A + e). “okolí“ nekonečna jsou intervaly (k, + ∞ ), resp. (- ∞, k). právě, když pro každé e > 0 existuje k > 0 tak, že když x > k , pak f ( x )  (A – e, A + e). právě, když pro každé m > 0 existuje n > 0 tak, že když x > n , pak f ( x ) > m. (limita v bodě a zprava – analogicky zleva) právě, když pro každé e > 0 existuje d > 0 tak, že když x  (a, a + d) , pak f ( x )  (A – e, A + e).

Vlastnosti limit a operace s limitami. Limita funkce nemusí existovat (viz 1. příklad přednášky). Pokud limita existuje, pak existuje právě 1. Pokud jednostranné limity existují a nerovnají se, pak limita funkce v tomto bodě neexistuje. Pokud některá z jednostranných limit neexistuje, pak limita funkce v tomto bodě Limita funkce v bodě existuje právě, když existují obě jednostranné limity v tomto bodě a rovnají se. Nechť existují vlastní (tj. ne nekonečné) limity Pak pokud

Výpočet limit Výpočty jsou založeny na asymptotických vlastnostech funkcí. = 0, n < m = an / bn, n = m = ∞, n > m = 0, k > l = ak / bl, k = l = ∞, k < l, k - l sudé neexistuje, k < l, k-l liché

Příklady Proto neexistuje. neexistuje

Spojitost funkce. Funkce f je spojitá v bodě a  D(f) právě, když Funkce f je spojitá zleva v bodě a  D(f) právě, když Funkce f je spojitá zprava v bodě a  D(f) právě, když Omezenost funkce na množině. Funkce f je omezená zdola na množině A  D( f )  existuje K tak, že pro každé x  A je f ( x )  K. omezená shora na množině A  D( f )  existuje K tak, že pro každé x  A je f ( x )  K. omezená na množině A  D( f )  je omezená shora a současně je omezená zdola na A. Funkce f je spojitá na intervalu (a, b), je-li spojitá v každém vnitřním bodě intervalu a v krajních bodech je spojitá zleva (resp. zprava). Je-li funkce f spojitá na intervalu (a, b), pak je na tomto intervalu omezená, tedy existují čísla m a M tak, že m  f (x)  M pro každé x  (a, b).

Postup při výpočtu limit. Počítejme . a  R, f je spojitá v bodě a. Pak = f ( a ). f není spojitá v bodě a, , f (a)  A, jedná se o odstranitelnou nespojitost. f se předefinuje v bodě a hodnotou A a upravená funkce je spojitá. , A  B, jedná se o neodstranitelnou nespojitost neexistuje. některá z jednostranných limit neexistuje, jedná se o neodstranitelnou nespojitost , neexistuje. Poznámka. Pokud výraz f (a) je typu , je nutno použít k výpočtu limit asymptotických vlastností funkcí.

Příklad. Dokažte, že funkce f ( x ) = -7, x = -2 je spojitá v bodě x = -2. 1. funkce je v tomto bodě definovaná. 2. Funkce je tedy v bodě -2 spojitá. Funkce f = 1/x je spojitá na svém definičním oboru. V bodě x = 0 funkce spojitá není (protože tam není definovaná). Funkce f = 1/x, x  0, f (0) = 10 není spojitá na svém definičním oboru. (Bodem nespojitosti je bod x = 0.) Na množině R – {0} je f spojitá.

Příklady. 1. Předpokládejme, že velikost populace v čase t je dána vztahem Jestliže N (0) = 10, vypočtěte limitní populační velikost, tj. limitu v + Pro který čas t je hodnota N ( t ) rovna polovině limitní velikosti populace. 2. Vypočítejte 3. Vypočítejte