© Institut biostatistiky a analýz SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA Č ASOVÝCH Ř AD prof. Ing. Jiří Holčík, CSc.

© Institut biostatistiky a analýz VI. SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA POMOCÍ METODY VLASTNÍCH Č ÍSEL

© Institut biostatistiky a analýz ZA Č ÍNÁME AR(p) proces znehodnocený aditivním bílým šumem  ARMA(p,p) proces; teď bude … periodický signál + bílý šum x(nT vz ) = 2.cos(2πf k T vz ).x(nT vz -T vz ) – x(nT vz -2T vz ) tento systém generuje signál x(nT vz ) = 2.cos(2πf k nT vz ) pro n ≥ 0 pokud jsou počáteční podmínky x(-1)=-1 a x(-2)=0

© Institut biostatistiky a analýz ZA Č ÍNÁME obecně, signál skládající se z p harmonických složek splňuje diferenční rovnici (  ) což odpovídá systému s přenosovou funkcí (  ) (Polynom A(z)=1+∑a m z -m má 2p kořenů na jednotkovém kruhu v místech, která odpovídají frekvencím harmonického signálu.)

© Institut biostatistiky a analýz PRINCIP  přepokládejme periodický signál + bílý šum w(nT) {E(|w(nT vz ) 2 |)=σ w 2 } y(nT vz ) = x(nT vz ) + w(nT vz ) po dosazení za x(nT) z tohoto vztahu do (  ) máme což představuje ARMA proces s identickými AR i MA parametry y T.a = w T.a (  ) y T =[y(nT vz ), y(nT vz -T vz ),…,y(nT vz -2pT vz )], w T =[w(nT vz ),w(nT vz -T vz ),…,w(nT vz -2pT vz )], a T =[1, a 1,…, a 2p-1,a 2p ],

© Institut biostatistiky a analýz PRINCIP  vynásobením obou stran (  ) vektorem y a určením střední hodnoty E(y.y T ).a = E(y.w T ).a = E((x+w).w T ).a Γ yy.a = 0 + σ w 2.a (Γ yy – σ w 2.I).a = 0 … vlastní (charakteristická) rovnice σ w 2 je vlastní číslo autokorelační matice Γ yy ; a je vlastní vektor Γ yy spojený s vlastním číslem σ w 2 ;

© Institut biostatistiky a analýz PISARENKOVA HARMONICKÁ DEKOMPOZICE Mějme p náhodně fázově posunutých harmonických signálů s aditivním bílým šumem. Hodnoty autokorelační funkce jsou je průměrný výkon i-té sinusovky, A i je její amplituda

© Institut biostatistiky a analýz  maticově  známe-li frekvence f i, 1≤i≤p, můžeme spočítat výkon jednotlivých harmonických složek, místo hodnot  yy (mT vz ) použijeme odhady r yy (mT vz ), známe-li výkony, určíme rozptyl šumu PISARENKOVA HARMONICKÁ DEKOMPOZICE

© Institut biostatistiky a analýz podle Pisarenka platí pro ARMA proces obsahující p harmonických složek v aditivním bílém šumu, že rozptyl σ w 2 odpovídá minimálnímu vlastnímu číslu autokorelační matice, pokud je rozměr autokorelační matice větší nebo roven (2p+1) x (2p+1). Potom požadovaný vektor koeficientů ARMA modelu je dán vlastním vektorem náležejícím minimálnímu vlastnímu číslu. Frekvence f i, i=1,…,p se určí řešením rovnice, dané položením jmenovatele ve vztahu (  ) rovno nule, kde koeficienty a m jsou určeny vlastním vektorem spojeným s minimálním vlastním číslem. PISARENKOVA HARMONICKÁ DEKOMPOZICE

© Institut biostatistiky a analýz VLADIMIR FEDOROVICH PISARENKO ? Ph.D. Moskevská státní univerzita 1963 disertační práce: Matematická klasifikace objektů obor: Teorie pravděpodobnosti a stochastické procesy školitel: Roland Lvovich Dobrushin Pisarenko, V. F. The retrieval of harmonics from a covariance function Geophysics, J. Roy. Astron. Soc., vol. 33, pp , 1973.

© Institut biostatistiky a analýz Předpokládejme hodnoty AKF  yy (0)=3,  yy (1)=1 a  yy (2)=0. Proces obsahuje jeden harmonický signál v bílém šumu. Určete jeho frekvenci, výkon a rozptyl, tj. výkon šumu. Řešení: autokorelační matice je PISARENKOVA HARMONICKÁ DEKOMPOZICE P Ř ÍKLAD

© Institut biostatistiky a analýz její minimální vlastní číslo je rovno nejmenšímu kořenu charakteristického polynomu 1 = 3, 2 = 3+2, 3 = 3-2   w 2 = min = 3-2 odpovídající charakteristický vektor má složky a 0 =1, a 1, a 2, pro které platí PISARENKOVA HARMONICKÁ DEKOMPOZICE P Ř ÍKLAD

© Institut biostatistiky a analýz řešením získáme a 1 = -2 a a 2 = 1 z 2 - 2 + 1 = 0 tj. leží na jednotkové kružnici výkon P 1.cos(2пf 1 T vz ) =  yy (1)=1  P 1 = 2, proto kontrola:  w 2 =  yy (0) - P 1 = 3-2, což souhlasí s min. PISARENKOVA HARMONICKÁ DEKOMPOZICE P Ř ÍKLAD

© Institut biostatistiky a analýz  zbývá určit frekvence f i, 1≤i≤p, - to vyžaduje znalost vlastního vektoru a pro vlastní číslo  w 2 ;  protože jsme si již uvedli, že: pro ARMA proces skládající se z p sinusovek v aditivním bílém šumu je rozptyl  w 2 roven nejmenšímu vlastnímu číslu matice Γ yy za předpokladu, že rozměr Γ yy ≥ (2p+1)(2p+1) požadovaný vektor koeficientů ARMA systému je dán hodnotami vlastního vektoru odpovídajícímu nejmenšímu vlastnímu číslu – frekvence f i, 1≤i≤p, pak odpovídají kořenům polynomu, jehož koeficienty PISARENKOVA HARMONICKÁ DEKOMPOZICE P Ř ÍKLAD

© Institut biostatistiky a analýz PRONYHO METODY Gaspard Clair François Marie Riche, Baron de Prony ( – ) zákony (rozumějme funkce) popisující expanzi plynů lze vyjádřit součtem exponenciál  navrhnul metodu na interpolaci naměřených hodnot na základě exponenciálního modelu interpolační funkce Essai éxperimental et analytique: sur les lois dilatabilité de fludes élastique et sur celles de la force expansive de la vapuer de l’alkool, à différentes températures. Journal de l’École Polytechnique, Floréal et Plairial, an III (1795), vol 1, cahier 22, 24-76

© Institut biostatistiky a analýz PRONYHO METODY předpokládejme, že vzorky signálu neobsahují šum a skládají se z p exponenciálních signálů problém je určit A k a s k z daných N vzorků. Potřebujeme nejméně 2p hodnot x(nT vz ) – problém je bohužel nelineární. To co Prony vymyslel je, že výpočet A k a s k může být vzájemně oddělen a realizován řešením dvou soustav lineárních rovnic + řešení polynomiální rovnice.

© Institut biostatistiky a analýz PRONYHO METODY A k i s k jsou obecně komplexní a je-li x(nT vz ) reálné, pak protože součet komplexních exponenciál je homogenním řešením lineární diferenční rovnice, tak musí taková diferenční rovnice existovat

© Institut biostatistiky a analýz pro koeficienty diferenční rovnice je a to všechno vede k definici tří kroků Pronyho metody: 1. konstrukce a řešení lineární soustavy rovnic pro koeficienty b k ; PRONYHO METODY

© Institut biostatistiky a analýz 2. po určení koeficientů b k stanovení kořenů rovnice k-tý kořen je roven 3. z definiční rovnice pak můžeme definovat lineární soustavu p rovnic, ze které vypočítáme amplitudy A k ; A TO JE ZÁKLADNÍ MYŠLÉNKA BARONA PRONYHO PRONYHO METODY

© Institut biostatistiky a analýz PRONYHO METODY z-transformace dané posloupnosti x(nT vz ) je výměnou součtů a sečtením geometrické řady je (  1)

© Institut biostatistiky a analýz PRONYHO METODY X(z) lze tedy vyjádřit pomocí poměru dvou polynomů (  2) srovnáním obou (  ) vztahů lze říci, že B(z) je polynom p-tého řádu s kořeny exp(s 1 T vz ), exp(s 2 T vz ), …, exp(s p T vz ); po zjednodušení čitatele C(z) je polynom (N+p-1)-ho řádu definovaného

© Institut biostatistiky a analýz PRONYHO METODY zatímco některé koefcienty polynomu C(z) (c 0, …, c p-1 a c N, …, c N+p-1 ) závisí na neznámých amplitudách a pólech (nebo frekvencích), jiné koeficienty c p, …, c N-1  0; protože X(z).B(z) = C(z), je v časové oblasti x(nT vz )b n = c n, což znamená

© Institut biostatistiky a analýz protože dále jsou c p, …, c N-1 nulové, středních N-p rovnic pro nulové pravé strany lze vyjádřit (  ) X f.b = 0 kde i,j-tý prvek matice X f je x f i,j = x(pT vz +iT vz -jT vz ), i=1,2,…, N-p; j = 1,2,…, p+1 a b=[1,b 1,b 2,…, b p ] T Je-li N=2p, pak máme právě dost rovnic k tomu určit b 1,b 2,…, b p. PRONYHO METODY

© Institut biostatistiky a analýz PRONYHO METODY Jakmile určíme b k, známe polynom B(z)=1+ b 1 z -1 + b 2 z -2 +…+ b p z -p a řešením rovnice B(z)=0 dostaneme kořeny exp(s 1 T vz ), exp(s 2 T vz ), …, exp(s p T vz );. Koeficienty A k jsou pak určeny řešením následujících p lineárních rovnic (  )

© Institut biostatistiky a analýz PRONYHO METODY SUMARIZACE ALGORITMU 1. vypočítat koeficienty b k z (  ); 2. spočítat kořeny polynomu B(z) a tak určit 3. určit amplitudy A 1,…, A p z rovnice (  );

© Institut biostatistiky a analýz PRONYHO METODA NEJMENŠÍCH Č TVERC Ů předpokládáme signál + aditivní šum Nechť diskrétní funkce (  ) je modelem signálu, reprezentovaného naměřenými hodnotami x 0,…, x N-1. Hodnoty b k, z k jsou obecně komplexní A k je amplituda, Φ k počáteční fáze, σ k koeficient tlumení a f k frekvence oscilací, T vz je vzorkovací perioda

© Institut biostatistiky a analýz cílem je nalézt {A k,Φ k,σ k,f k } a p takové, že je minimalizována chyba je to těžce nelineární problém nejmenších čtverců, který lze řešit iteračně postupným zlepšováním počátečního odhadu. pokusme se aplikovat Pronyho postup, poskytující suboptimální řešení, které sice nezaručuje nalezení globálního minima, ale poskytuje dostatečně přijatelné řešení PRONYHO METODA NEJMENŠÍCH Č TVERC Ů

© Institut biostatistiky a analýz tedy ještě jednou a trochu jinak: vztah (  ) představuje homogenní řešení lineární diferenční rovnice s konstantními parametry. Jakými? To určíme! definujme polynom z (  ) jeden způsob jak vyjádřit odhad je PRONYHO METODA NEJMENŠÍCH Č TVERC Ů

© Institut biostatistiky a analýz vynásobením a m a sečtením přes posledních p+1 součinů po substituci je Ta nula plyne z toho, že poslední suma je právě hodnota polynomu (z s ), tj. pro jeden jeho kořen.  PRONYHO METODA NEJMENŠÍCH Č TVERC Ů

© Institut biostatistiky a analýz po dosazení za je to nám poskytuje alternativní model (součet exponenciál + aditivní šum) pomocí ARMA systému AR a MA parametry na rozdíl od Pisarenka nejsou koeficienty a i omezeny tak, aby kořeny měly jen jednotkový modul (automaticky jen harmonické složky) PRONYHO METODA NEJMENŠÍCH Č TVERC Ů a co takhle Pisarenko?!

© Institut biostatistiky a analýz minimalizace vede k soustavě nelineárních rovnic, proto alternativa (rozšířená Pronyho metoda): když pak to pak vede k minimalizaci  n  pouze AR model  linearita ( n je určena MA procesem řízeným chybou aproximace e n ) PRONYHO METODA NEJMENŠÍCH Č TVERC Ů

© Institut biostatistiky a analýz  n je rozdíl mezi x n a jeho lineární predikcí p- tého řádu, zatímco e n je rozdíl mezi x n a jeho exponenciální aproximací řád p je určen nějakým způsobem pro určení řádu AR procesu (modelu) PRONYHO METODA NEJMENŠÍCH Č TVERC Ů

© Institut biostatistiky a analýz určíme koeficienty a m AR procesu  najdeme kořeny AR polynomu a problém se redukuje na řešení soustavy lineárních rovnic s neznámými koeficienty b m kde minimalizace nejmenšími  vede na řešení (  ) PRONYHO METODA NEJMENŠÍCH Č TVERC Ů

© Institut biostatistiky a analýz při řešení pomůže, když víme, že parametry A i, Φ i, α i a f i pak určíme A i =|b i | Φ i = arctg(Imb i /Reb i ) α i =ln|z i |/T vz f i = arctg(Imz i /Rez i )/2πT vz PRONYHO METODA NEJMENŠÍCH Č TVERC Ů

© Institut biostatistiky a analýz Pronyho metoda užitečná při analýze přechodných dějů omezíme-li se na tlumené reálné sinusovky, pak (  ) pro reálné x(t) požadujeme komplexně sdružené a ; PRONYHO METODA NEJMENŠÍCH Č TVERC Ů dále předpokládáme, že koeficienty tlumení jsou záporné, tj. exponenciály jsou tlumené (je-li α=0, jsou sinusovky tak jak mají být)

© Institut biostatistiky a analýz protože vztah (  ) má v tom případě konečnou energii, jeho spektrální hustota je rovna FT tohoto vztahu kde spektrum je lineárně úměrné energii, nikoliv jako u AR modelů, kde je úměrné (nelineárně) výkonu PRONYHO METODA NEJMENŠÍCH Č TVERC Ů lze produkovat spektra s úzkými či širokými laloky – závisí na koeficientech tlumení (šířka pásma pro - 3dB je  [Hz])

© Institut biostatistiky a analýz PROBLÉMY  počet exponenciál ~ řád AR systému – protože je třeba určit 2p parametrů, max. řád by měl být p max N/2, zatímco u AR modelů je možné p>N/2;  přítomnost šumu ovlivňuje přesnost Pronyho odhadů;  šum může způsobit, že koeficienty tlumení jsou moc velké; PRONYHO METODA NEJMENŠÍCH Č TVERC Ů

© Institut biostatistiky a analýz

VÝHODY OPROTI PISARENKOVI  nejsou třeba odhady autokorelačních funkcí;  vyskytuje se méně falešných spektrálních čar díky možnému lepšímu odhadu řádu (?);  odhady frekvencí a výkonů mají menší chyby;  jednodušší výpočet (dvě lineární soustavy + nalezení kořenů polynomu x výpočet komplexních vlastních čísel) A JE TO! PRONYHO METODA PRO VÝPO Č ET SPEKTRÁLNÍCH Č AR