Materiály jsou určeny pro výuku matematiky: 3. ročník, Ekonomické lyceum Učivo v elektronické podobě zpracovala Mgr. Iva Vrbová 1 1

Goniometrický tvar komplexního čísla (GT KČ) 2

Lze nalézt obraz KČ a jiným způsobem? Hledáme tvar zápisu, který bude používat nové charakteristiky: |a|, α. Lze nalézt obraz KČ a jiným způsobem? y a = a1 + a2i a2 |a| α x a1

Bod M je obrazem komplexní jednotky m: 1 M = [m1; m2] = [cos α; sin α] m2 1 učivo 2. ročníku – goniometrické funkce obecného úhlu (souřadnice bodu na jednotkové kružnici) r = 1 α x –1 m1 1 –1

trojúhelníky podobné: Bod A je obrazem hledaného KČ a: y A = [a1; a2] a2 |a| 1 m2 M = [m1; m2] = [cos α; sin α] 1 trojúhelníky podobné: r = 1 α x –1 m1 a1 1 –1

Goniometrický tvar (GT) se nazývá zápis: , kde |a| je vzdálenost KČ od počátku, |a|  R+ (vždy číslo kladné),  je argument KČ – úhel, který svírá vektor 0A s kladnou částí osy x, Z  0; 2 ) je základní argument KČ

POZOR! Komplexnímu číslu 0 nepřiřazujeme goniometrický tvar.

a = a1 + a2i = |a|.(cosα + i.sinα) Charakteristiky zápisu v AT, GT y GT KČ a = |a|.(cos + i.sin) využívá: |a|: vzdálenost daného KČ od počátku, : velikost úhlu, který svírá vektor spojující počátek a obraz daného KČ s kladnou částí osy x. AT KČ a = a1 + a2i využívá: a1, a2: kolmé průměty obrazu daného KČ do souřadných os a2 a = a1 + a2i a = |a|.(cosα + i.sinα) a = a1 + a2i = |a|.(cosα + i.sinα) |a| AT GT α x a1 r = |a|

Orientovaný úhel představuje v rovině uspořádanou dvojici polopřímek. Uspořádanou dvojici polopřímek chápeme tak, že jedna z nich je první, nazýváme ji počátečním ramenem orientovaného úhlu, a druhou nazýváme koncovým ramenem orientovaného úhlu. y x koncové rameno orientovaného úhlu α vrchol počáteční rameno orientovaného úhlu !!! vždy kladná část souřadné osy x

Velikost orientovaného úhlu uvádíme v míře stupňové jednotka je 1 stupeň obloukové jednotka 1 radián

Velikost každého orientovaného úhlu  lze vyjádřit pomocí základní velikosti úhlu Z 0  Z  360 pro stupňovou míru, 0  Z  2 pro obloukovou míru, a pro každé celé číslo k platí:

 ~ Z k vyjádření KČ lze vždy použít základní argument KČ vyjadřujeme vždy pomocí Z y x koncové rameno α αZ počáteční rameno pozice počátečního a koncového ramene obou úhlů je stejná:  ~ Z

 = Z + k . 360 například: 1 500 ~ 60, protože 1 500 = 60 + 4.360 „1 500 : 360 = 4,1667 1500-4.360=60° „ 2 040 ~ 240, protože 2 040 = 240 + 5.360 „2 040 : 360 = 5,6667 2040-5.360 = 240“

 = Z + 2k = Z + k .2 například: ~ , ~ , ~ , 51:4=12,75 odečteme 12 (sudý násobek) a zbytek je základní úhel ~ , 17:3=5,66 odečteme 4 (sudý násobek) a zbytek je základní úhel

Příklad: Zapište dané KČ pomocí hodnoty základního argumentu  > 360 „1 440 : 360 = 4, zbytek 0 “

 > 360 „900 : 360 = 2,5 900-2.360 = 180“  > 360 „380 : 360 = 1,0556 380-1.360 = 20“

19:2=9,5 odečteme sudý násobek , tedy 8  > 2 19:2=9,5 odečteme sudý násobek , tedy 8

 > 2

 > 2

Znázornění KČ pomocí charakteristik GT

Příklad: Znázorněte graficky KČ x y 2 z 45 r = 2 –2 2 –2

x y 210 z

x y z 125,4

 > 360 x y 1 300 –1 1 z –1

y z x y x z

y z x y z x

y x z y x z

y z x y z x

y x z y x z

Převod AT na GT

počáteční rameno = koncové rameno KČ reálné kladné: obrazy těchto KČ leží v kladné části osy x  Z = 0 = 0 rad například: a = 4 | a | = + 4 y x |a| 4 počáteční rameno = koncové rameno AT GT

KČ reálné záporné: | a | = + 2 obrazy těchto KČ leží v záporné části osy x  Z = 180 =  rad například: a = –2 | a | = + 2 y x 180 –2 |a| AT GT

KČ ryze imaginární kladné: obrazy těchto KČ leží v kladné části osy y  Z = 90 = rad například: a = 3i | a | = + 3 y x 3i |a| 90 AT GT

KČ ryze imaginární záporné: obrazy těchto KČ leží v záporné části osy y  Z = 270 = rad například: a = –2i | a | = + 2 y x 270 |a| –2i AT GT

Příklad: Zapište daná KČ v GT

KČ imaginární (neleží na souřadných osách) y x a1 + a2i a2 |a| a2  a1 a1

Hodnoty goniometrické funkce sinus (2. ročník) „tabulkové hodnoty“ x´ (stupně) 0°/ 30°/ 45°/ 60°/ 90°/ sin x´ I. kv.: x´ II. kv.: 180° – x´ =  – x´ III. kv.: 180° + x´ =  + x´ IV. kv.: 360° – x´ = 2 – x´ + – 1 –1 ostatní úhly určíte pomocí kalkulačky

Hodnoty goniometrické funkce cos (2. ročník) „tabulkové hodnoty“ x´ (stupně) 0°/ 30°/ 45°/ 60°/ 90°/ cos x´ I. kv.: x´ II. kv.: 180° – x´ =  – x´ III. kv.: 180° + x´ =  + x´ IV. kv.: 360° – x´ = 2 – x´ + – 1 –1 ostatní úhly určíte pomocí kalkulačky

Příklad: Zapište daná KČ v GT ... I. kvadrant I. nebo II. kvadrant ´= 45º

... IV. kvadrant III. nebo IV. kvadrant ´= 60º

... II. kvadrant I. nebo II. kvadrant ´= 45º

... III. kvadrant III. nebo IV. kvadrant ´= 45º

... II. kvadrant I. nebo II. kvadrant ´= 63º 26´

... III. kvadrant III. nebo IV. kvadrant ´= 53º 08´

... II. kvadrant I. nebo II. kvadrant ´= 60º

... I. kvadrant I. nebo II kvadrant ´= 30º

Příklad: Zapište daná KČ v GT

Převod GT na AT

Postup Argument KČ převeďte z obloukové míry na stupňovou pro lepší srozumitelnost. Určete hodnoty goniometrických funkcí kosinus a sinus pomocí tabulek – pro hodnoty argumentu 0, 30, 45, 60, 90 a jejich násobků, kalkulátoru – pro zbylé hodnoty argumentu. Roznásobte tyto hodnoty vzdáleností KČ od počátku.

například: 30 ... tabulková hodnota

90 ... tabulková hodnota – MFCHT, str. 32 220 ... není tabulková hodnota – kalkulátor

Z příkladů je zřejmé, že je mnohem snadnější převést zápis KČ z AT na GT než-li naopak.

Příklad: Zapište daná KČ v AT