Druhá mocnina dvojčlenu, rozdíl druhých mocnin Autor Mgr. Lenka Závrská Anotace Prezentace PowerPoint je určena pro studenty druhých ročníků všech učebních oborů, je zaměřena na osvojení pojmů jednočlen, dvojčlen, druhá mocnina dvojčlenu a rozdíl druhých mocnin. Výukový materiál slouží také k procvičení a osvojení druhé mocniny dvojčlenu a rozdílu druhých mocnin. Žáci si své vědomosti ověří samostatně na daných příkladech a následně zkontrolují správnost výpočtů. Očekávaný přínos Žák bude umět používat vzorce pro druhou mocninu dvojčlenu a rozdíl druhých mocnin. Tematická oblast Výrazy a jejich úpravy Téma Druhá mocnina dvojčlenu, rozdíl druhých mocnin Předmět Matematika Ročník Druhý Obor vzdělávání Učební obory Stupeň a typ vzdělávání Střední odborné vzdělávání Název DUM Š21_S3_6_Druhá mocnina dvojčlenu, rozdíl druhých mocnin Datum 30.7.2013 SOŠ Josefa Sousedíka Vsetín Zlínský kraj

Druhá mocnina dvojčlenu Připomeňme si: 32 = 3 ∙ 3 = 9 42 = 4 ∙ 4 = 16 52 = 5 ∙ 5 = 25 Pokud máme druhou mocninu dvojčlenu, počítáme: (a + b)2 = (a + b) ∙ (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 Platí tedy: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Příklad: (3x + y)2 = 9x2 + 6xy + y2 Postup: 1. Celý první člen dáme na druhou (3x dáme na druhou = 9x2) 2. První a druhý člen vynásobíme mezi sebou a pak to ještě vynásobíme dvěma (3x ∙ y ∙ 2 = 6xy) 3. Druhý člen dáme na druhou (y dáme na druhou = y2)

Druhá mocnina dvojčlenu Příklady: (5a + 3b)2 = (v + 5z)2 = (3 + 2x)2 = (0,2x + 4y)2 = (x3 + 2y4)2 = (2p + 6q2)2 = (0,1 + x4)2 =

Druhá mocnina dvojčlenu Řešení: (5a + 3b)2 = 25a2 + 30ab + 9b2 (v + 5z)2 = (3 + 2x)2 = (0,2x + 4y)2 = (x3 + 2y4)2 = (2p + 6q2)2 = (0,1 + x4)2 =

Druhá mocnina dvojčlenu Řešení: (5a + 3b)2 = 25a2 + 30ab + 9b2 (v + 5z)2 = v2 + 10vz + 25z2 (3 + 2x)2 = (0,2x + 4y)2 = (x3 + 2y4)2 = (2p + 6q2)2 = (0,1 + x4)2 =

Druhá mocnina dvojčlenu Řešení: (5a + 3b)2 = 25a2 + 30ab + 9b2 (v + 5z)2 = v2 + 10vz + 25z2 (3 + 2x)2 = 9 + 12x + 4x2 (0,2x + 4y)2 = (x3 + 2y4)2 = (2p + 6q2)2 = (0,1 + x4)2 =

Druhá mocnina dvojčlenu Řešení: (5a + 3b)2 = 25a2 + 30ab + 9b2 (v + 5z)2 = v2 + 10vz + 25z2 (3 + 2x)2 = 9 + 12x + 4x2 (0,2x + 4y)2 = 0,04x2 + 1,6xy + 16y2 (x3 + 2y4)2 = (2p + 6q2)2 = (0,1 + x4)2 =

Druhá mocnina dvojčlenu Řešení: (5a + 3b)2 = 25a2 + 30ab + 9b2 (v + 5z)2 = v2 + 10vz + 25z2 (3 + 2x)2 = 9 + 12x + 4x2 (0,2x + 4y)2 = 0,04x2 + 1,6xy + 16y2 (x3 + 2y4)2 = x6 + 4x3y4 + 4y8 (2p + 6q2)2 = (0,1 + x4)2 =

Druhá mocnina dvojčlenu Řešení: (5a + 3b)2 = 25a2 + 30ab + 9b2 (v + 5z)2 = v2 + 10vz + 25z2 (3 + 2x)2 = 9 + 12x + 4x2 (0,2x + 4y)2 = 0,04x2 + 1,6xy + 16y2 (x3 + 2y4)2 = x6 + 4x3y4 + 4y8 (2p + 6q2)2 = 2p2 + 24pq2 + 36q4 (0,1 + x4)2 =

Druhá mocnina dvojčlenu Řešení: (5a + 3b)2 = 25a2 + 30ab + 9b2 (v + 5z)2 = v2 + 10vz + 25z2 (3 + 2x)2 = 9 + 12x + 4x2 (0,2x + 4y)2 = 0,04x2 + 1,6xy + 16y2 (x3 + 2y4)2 = x6 + 4x3y4 + 4y8 (2p + 6q2)2 = 2p2 + 24pq2 + 36q4 (0,1 + x4)2 = 0,01 + 0,2x4 + x8

Druhá mocnina dvojčlenu Jestliže je mezi členy znaménko minus počítáme: (a - b)2 = (a - b) ∙ (a - b) = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2 Platí tedy: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Příklad: (3x - y)2 = 9x2 - 6xy + y2 Postup: Postup je stejný, jak když jsme měli v závorce znaménko plus, pouze ve výsledku dáme mezi prvním a druhým členem znaménko minus.

Druhá mocnina dvojčlenu Příklady: (3u - v)2 = (6a - 7b)2 = (10 - 2x)2 = (0,4x - 5y)2 = (2x3 - 5y6)2 = (3xy - 2z2)2 = (0,6 - 2a5)2 =

Druhá mocnina dvojčlenu Řešení: (3u - v)2 = 9u2 - 6uv + v2 (6a - 7b)2 = (10 - 2x)2 = (0,4x - 5y)2 = (2x3 - 5y6)2 = (3xy - 2z2)2 = (0,6 - 2a5)2 =

Druhá mocnina dvojčlenu Řešení: (3u - v)2 = 9u2 - 6uv + v2 (6a - 7b)2 = 36a2 - 84ab + 49b2 (10 - 2x)2 = (0,4x - 5y)2 = (2x3 - 5y6)2 = (3xy - 2z2)2 = (0,6 - 2a5)2 =

Druhá mocnina dvojčlenu Řešení: (3u - v)2 = 9u2 - 6uv + v2 (6a - 7b)2 = 36a2 - 84ab + 49b2 (10 - 2x)2 = 100 - 40x + 4x2 (0,4x - 5y)2 = (2x3 - 5y6)2 = (3xy - 2z2)2 = (0,6 - 2a5)2 =

Druhá mocnina dvojčlenu Řešení: (3u - v)2 = 9u2 - 6uv + v2 (6a - 7b)2 = 36a2 - 84ab + 49b2 (10 - 2x)2 = 100 - 40x + 4x2 (0,4x - 5y)2 = 0,16x2 - 4xy + 25y2 (2x3 - 5y6)2 = (3xy - 2z2)2 = (0,6 - 2a5)2 =

Druhá mocnina dvojčlenu Řešení: (3u - v)2 = 9u2 - 6uv + v2 (6a - 7b)2 = 36a2 - 84ab + 49b2 (10 - 2x)2 = 100 - 40x + 4x2 (0,4x - 5y)2 = 0,16x2 - 4xy + 25y2 (2x3 - 5y6)2 = 4x6 - 20x3y6 + 25y12 (3xy - 2z2)2 = (0,6 - 2a5)2 =

Druhá mocnina dvojčlenu Řešení: (3u - v)2 = 9u2 - 6uv + v2 (6a - 7b)2 = 36a2 - 84ab + 49b2 (10 - 2x)2 = 100 - 40x + 4x2 (0,4x - 5y)2 = 0,16x2 - 4xy + 25y2 (2x3 - 5y6)2 = 4x6 - 20x3y6 + 25y12 (3xy - 2z2)2 = 9x2y2 - 12xyz2 + 4z4 (0,6 - 2a5)2 =

Druhá mocnina dvojčlenu Řešení: (3u - v)2 = 9u2 - 6uv + v2 (6a - 7b)2 = 36a2 - 84ab + 49b2 (10 - 2x)2 = 100 - 40x + 4x2 (0,4x - 5y)2 = 0,16x2 - 4xy + 25y2 (2x3 - 5y6)2 = 4x6 - 20x3y6 + 25y12 (3xy - 2z2)2 = 9x2y2 - 12xyz2 + 4z4 (0,6 - 2a5)2 = 0,36 - 2,4a5 + 4a10

Rozdíl druhých mocnin (a + b) ∙ (a - b) = a2 + ab – ab – b2 = a2 – b2 Platí tedy: (a + b) ∙ (a - b) = a2 – b2 Příklad: (3x + 5y) ∙ (3x - 5y) = 9x2 + 15xy - 15xy - 25y2 =9x2 - 25y2 Tento vzorec se používá i obráceně: a2 – b2 = (a + b) ∙ (a - b) 25x2 – 16 = (5x + 4) ∙ (5x - 4) Postup: 1. První člen odmocníme: 25𝑥 2 =5𝑥 2. Druhý člen odmocníme: 16 =4 3. Tyto výsledky dáme do závorky a v jedná závorce bude mezi prvním a druhým členem znaménko plus a v druhé závorce znaménko minus.

Rozdíl druhých mocnin Příklady: 9x2 - 25y2 = u2 - 100v2 = 16x2 - 25y2 = 100a2 - 36b2 = 49a4 - 25b6 = 0,25x6 - 16y8 = 0,36a2 - b2 =

Rozdíl druhých mocnin Řešení: 9x2 - 25y2 = (3x + 5y) ∙ (3x - 5y) u2 - 100v2 = 16x2 - 25y2 = 100a2 - 36b2 = 49a4 - 25b6 = 0,25x6 - 16y8 = 0,36a2 - b2 =

Rozdíl druhých mocnin Řešení: 9x2 - 25y2 = (3x + 5y) ∙ (3x - 5y) u2 - 100v2 = (u + 10v) ∙ (u - 10v) 16x2 - 25y2 = 100a2 - 36b2 = 49a4 - 25b6 = 0,25x6 - 16y8 = 0,36a2 - b2 =

Rozdíl druhých mocnin Řešení: 9x2 - 25y2 = (3x + 5y) ∙ (3x - 5y) u2 - 100v2 = (u + 10v) ∙ (u - 10v) 16x2 - 25y2 = (4x - 5y) ∙ (4x + 5y) 100a2 - 36b2 = 49a4 - 25b6 = 0,25x6 - 16y8 = 0,36a2 - b2 =

Rozdíl druhých mocnin Řešení: 9x2 - 25y2 = (3x + 5y) ∙ (3x - 5y) u2 - 100v2 = (u + 10v) ∙ (u - 10v) 16x2 - 25y2 = (4x - 5y) ∙ (4x + 5y) 100a2 - 36b2 = (10a - 6b) ∙ (10a + 6b) 49a4 - 25b6 = 0,25x6 - 16y8 = 0,36a2 - b2 =

Rozdíl druhých mocnin Řešení: 9x2 - 25y2 = (3x + 5y) ∙ (3x - 5y) u2 - 100v2 = (u + 10v) ∙ (u - 10v) 16x2 - 25y2 = (4x - 5y) ∙ (4x + 5y) 100a2 - 36b2 = (10a - 6b) ∙ (10a + 6b) 49a4 - 25b6 = (7a2 + 5b3) ∙ (7a2 - 5b3) 0,25x6 - 16y8 = 0,36a2 - b2 =

Rozdíl druhých mocnin Řešení: 9x2 - 25y2 = (3x + 5y) ∙ (3x - 5y) u2 - 100v2 = (u + 10v) ∙ (u - 10v) 16x2 - 25y2 = (4x - 5y) ∙ (4x + 5y) 100a2 - 36b2 = (10a - 6b) ∙ (10a + 6b) 49a4 - 25b6 = (7a2 + 5b3) ∙ (7a2 - 5b3) 0,25x6 - 16y8 = (0,5x3 + 4y4) ∙ (0,5x3 - 4y4) 0,36a2 - b2 =

Rozdíl druhých mocnin Řešení: 9x2 - 25y2 = (3x + 5y) ∙ (3x - 5y) u2 - 100v2 = (u + 10v) ∙ (u - 10v) 16x2 - 25y2 = (4x - 5y) ∙ (4x + 5y) 100a2 - 36b2 = (10a - 6b) ∙ (10a + 6b) 49a4 - 25b6 = (7a2 + 5b3) ∙ (7a2 - 5b3) 0,25x6 - 16y8 = (0,5x3 + 4y4) ∙ (0,5x3 - 4y4) 0,36a2 - b2 = (0,6a - b) ∙ (0,6a + b)

Zdroje Literatura: CALDA, E., PETRÁNEK O, ŘEPOVÁ J. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1996, 184 s. ISBN 80-719-6041-1 CALDA, E. Matematika pro dvouleté a tříleté učební obory SOU. 1. vydání. Praha: Prometheus, 2002. 239 s. ISBN 80-7196-253-8 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Lenka Závrská.