ŠkolaStřední průmyslová škola Zlín Název projektu, reg. č.Inovace výuky prostřednictvím ICT v SPŠ Zlín, CZ.1.07/1.5.00/ Vzdělávací oblastMatematika a její aplikace (dle RVP) Vzdělávací oborMatematika (vyučovací předmět) Tematický okruhKomplexní čísla TémaKomplexní čísla Tematická oblastKomplexní čísla NázevBinomické rovnice AutorMgr. Zdena Žouželková Vytvořeno, pro obor, ročníkListopad 2012, elektrotechnika 2. roč., strojírenství 3. roč. AnotacePrezentace – výklad učiva, vzorové příklady Přínos/cílové kompetenceŘešení binomických a kvadratických rovnic v oboru C VY_32_INOVACE_06_05

KOMPLEXNÍ ČÍSLA

Binomické rovnice Řešení binomických a kvadratických rovnic v oboru C

Binomická rovnice má tvar kde tedy V oboru C má tato rovnice právě n různých kořenů, a to kde Hledáme vlastně n-tou odmocninu komplexního čísla

Příklad 1 Určete všechny čtvrté komplexní odmocniny z čísla -16. V goniometrickém tvaru Řešíme vlastně binomickou rovnici, tedy kde k=0,1,2,3

Odtud: pro k=0 pro k=1 pro k=2 pro k=3

Na obrázku jsou zobrazeny všechny 4 hodnoty, kořeny řešené binomické rovnice Obrazy komplexních čísel jsou vrcholy čtverce vepsaného do kružnice se středem v počátku a s poloměrem 2. Proč jsou všechny kořeny čísla imaginární? neboli

Příklad 2 Řešte v C rovnici:neboli

Obrazy komplexních čísel jsou vrcholy rovnostranného trojúhelníka vepsaného do kružnice se středem v počátku a s poloměrem 2. Jaký rovinný útvar tvoří kořeny rovnice ?

Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel

Víme, že rovnice nemá v množině R řešení. Řešením nemůže být žádné reálné číslo, protože druhá mocnina jakéhokoliv reálného čísla nemůže být číslo záporné. V R: Jak bychom řešili tuto rovnici v oboru komplexních čísel C? V C: Řešením rovnice v oboru C Jsou dvě komplexní čísla.

Příklad 3 V množině C řešte rovnici: Máme kvadratickou rovnici s reálnými koeficienty. Vypočítáme diskriminant: Jaká komplexní čísla jsou kořeny této kvadratické rovnice? Jsou to čísla komplexně sdružená.

Příklad 4 V množině C řešte rovnici: Máme kvadratickou rovnici s komplexními koeficienty. Vypočítáme diskriminant:

Zdroje a prameny Knihy: KUBÁT, Josef. Sbírka úloh z matematiky pro přípravu k maturitní zkoušce a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2004, 419 s. ISBN KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled středoškolského učiva. 1. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN X. HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium: přehled středoškolského učiva. 1. vyd. Praha: Prometheus, c2000, 415 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN PETÁKOVÁ, Jindra a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN ČERMÁK, Pavel a Petra ČERVINKOVÁ. Odmaturuj! z matematiky: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. Vyd. 3. opr. Brno: Didaktis, 2004, 208 s. Odmaturuj!. ISBN BOUCNÍK, Pavel a Petra ČERVINKOVÁ. Odmaturuj! z matematiky 3: [sbírka řešených příkladů]. Vyd. 1. Brno: Didaktis, 2004, 248 s. Odmaturuj!. ISBN Obrázky: vlastní, vytvořené v programu GEONEXT, verze 1.74, freeware vlastní, vytvořené v programu MALOVÁNÍ, OS WINDOWS XP