(řešení pomocí diskriminantu) Řešení rovnic Kvadratické rovnice (řešení pomocí diskriminantu) Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Šárka Macháňová. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Princip řešení rovnic ‒ hledání kořenů rovnice: Hledání kořenů rovnice je proces, při kterém místo dané rovnice píšeme nové rovnice, většinou takové, které mají stejná řešení, jako rovnice původní. O takové nové rovnici řekneme, že je s tou naší původní rovnicí ekvivalentní. Úpravy, které budeme provádět s příslušnou rovnicí, se nazývají ekvivalentní úpravy. Ekvivalentní úpravy jsou takové úpravy rovnice, při nichž žádný kořen neztratíme a také obráceně, žádný kořen nedostaneme navíc. Množiny kořenů původní rovnice a nové rovnice jsou si vždy po celou dobu řešení rovny.

Ekvivalentní úpravy využívané při řešení rovnic: 1. Vzájemná výměna obou stran rovnice. 2. Nahrazení některé strany rovnice výrazem, který je této straně rovnice roven Úprava (zjednodušení) strany rovnice provedením možných početních operací a úprav – sčítání, odčítání, krácení zlomku, roznásobení závorek,… 3. Přičtení (odečtení) téhož čísla nebo výrazu majícího smysl v celém oboru řešení rovnice k jejím (od jejích) oběma stranám (obou stran). 4. Násobení/dělení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly.

Kvadratickou rovnicí s neznámou x se nazývá rovnice typu: Kvadratická rovnice: Kvadratickou rovnicí s neznámou x se nazývá rovnice typu: ax2 + bx + c = 0, a, b, c R, a  0 Například: nebo rovnice, které můžeme ekvivalentními úpravami převést na rovnici typu : ax2 + bx + c = 0. Čísla a, b, c se nazývají koeficienty kvadratické rovnice. Výraz ax2 se nazývá kvadratický člen kvadratické rovnice. Výraz bx se nazývá lineární člen kvadratické rovnice. Výraz c se nazývá absolutní člen kvadratické rovnice.

ax2 + c = 0, a, c R, a  0 ax2 + bx = 0, a, b R, a  0 Kvadratická rovnice: Kvadratický koeficient a je vždy nenulový. Nastat však mohou případy, kdy buď b = 0 nebo c = 0. Rovnice bude neúplná. Je-li b = 0, rovnici nazveme ryze kvadratickou rovnicí. Má tvar: ax2 + c = 0, a, c R, a  0 Například: Je-li c = 0, rovnici nazveme kvadratickou rovnicí bez absolutního členu. Má tvar: ax2 + bx = 0, a, b R, a  0 Například: Nejčastějším typem jsou však kvadratické rovnice úplné, tzn. se všemi koeficienty, a těm se nyní budeme věnovat.

Kvadratické rovnice (úplné): …a po dosazení za diskriminant, pak... Úplná kvadratická rovnice je tedy rovnice tvaru ax2 + bx + c = 0. O řešitelnosti libovolné kvadratické rovnice rozhoduje výraz D = b2 – 4ac zvaný diskriminant. Pro výpočet hodnot kořenů kvadratické rovnice platí následující vzorec. …a po dosazení za diskriminant, pak...

Kvadratické rovnice (úplné): Úplná kvadratická rovnice je tedy rovnice tvaru ax2 + bx + c = 0. O řešitelnosti libovolné kvadratické rovnice rozhoduje výraz D = b2 – 4ac zvaný diskriminant. Pro výpočet hodnot kořenů kvadratické rovnice platí následující vzorec. Kořeny kvadratické rovnice lze vypočítat užitím vzorce, kde stěžejní roli hrají koeficienty kvadratické rovnice. Ty je tedy nutné určit a dosadit bezchybně! O řešitelnosti kvadratické rovnice rozhoduje diskriminant. Pojďme si tedy na následujících řešených příkladech ukázat jednak použití uvedeného vzorce pro výpočet kvadratických rovnic a jednak si na nich i ukážeme možné druhy řešení úplných kvadratických rovnic.

Kvadratické rovnice (úplné): Řešte v R rovnici: Nejprve si správně stanovíme koeficienty dané kvadratické rovnice: a = 1 , b = 3 , c = -10 Nyní tedy koeficienty správně dosadíme do vzorce: Rovnice se nám nyní „větví“ na dvě části, tzn. na dvě řešení, dva kořeny!

Kvadratické rovnice (úplné): Řešte v R rovnici: Nejprve si správně stanovíme koeficienty dané kvadratické rovnice: a = 1 , b = 3 , c = -10 Nyní tedy koeficienty správně dosadíme do vzorce: Na závěr provedeme zkoušku pro oba kořeny kvadratické rovnice.

Kvadratické rovnice (úplné): Řešte v R rovnici: Zkouška:

Kvadratické rovnice (úplné): Rovnice má jedno řešení! Řešte v R rovnici: Nejprve si správně stanovíme koeficienty dané kvadratické rovnice: a = -2 , b = 16 , c = -32 Nyní tedy koeficienty správně dosadíme do vzorce: Rovnice má jedno řešení! Správnost řešení ověříme opět provedením zkoušky.

Kvadratické rovnice (úplné): Řešte v R rovnici: Zkouška:

Kvadratické rovnice (úplné): Řešte v R rovnici: Nejprve si správně stanovíme koeficienty dané kvadratické rovnice: a = 3 , b = -6 , c = 8 Nyní tedy koeficienty správně dosadíme do vzorce: Rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení, neboť druhá odmocnina záporného čísla neexistuje!

Kvadratické rovnice (úplné): Shrňme si nyní všechny příklady a zaměřme se na jejich řešení:

Kvadratické rovnice (úplné): Shrňme si nyní všechny příklady a zaměřme se na jejich řešení: Trošku vám pomohu. Mimochodem řeč o tom byla již na některém z předchozích snímků. Přijdete na to, na čem závisí řešitelnost a počet kořenů kvadratické rovnice? Ano, jde o hodnotu diskriminantu. Pojďme si ji tedy podrobně rozebrat!

Kvadratické rovnice (úplné): O řešitelnosti libovolné kvadratické rovnice a počtu řešení rozhoduje výraz D = b2 – 4ac zvaný diskriminant. 1) D < 0 … K =  V takovém případě je ve vzorci pro výpočet kořenů druhá odmocnina záporného čísla, a ta neexistuje! Kvadratická rovnice v případě záporné hodnoty diskriminantu nemá v oboru reálných čísel řešení! 2) D = 0 … K = {x} V takovém případě je ve vzorci pro výpočet kořenů kvadratické rovnice člen s diskriminantem nulový. Kvadratická rovnice v případě nulové hodnoty diskriminantu má v oboru reálných čísel jen jeden kořen! 3) D > 0 … K = {x1, x2} V takovém případě je ve vzorci druhá odmocnina kladného čísla! Kvadratická rovnice v případě kladné hodnoty diskriminantu má v oboru reálných čísel vždy dva kořeny!

Kvadratické rovnice (úplné): Většinou nebývají kvadratické rovnice zadány přímo ve tvaru, z něhož by šly koeficienty rovnou určit. Takovým rovnicím říkáme rovnice vedoucí k řešení kvadratické rovnice. První úkol pak spočívá v úpravě na tvar, ze kterého budeme schopni koeficienty kvadratické rovnice určit a pomocí nich rovnici vypočítat. Ukážeme si to opět na konkrétním příkladu. Vyřeš v R rovnici: Nejdříve pomocí známých postupů při počítání s výrazy a pomocí ekvivalentních úprav upravíme rovnici do základního tvaru ax2 + bx + c = 0.

Kvadratické rovnice (úplné): Ukážeme si to opět na konkrétním příkladu. Vyřeš v R rovnici: Nyní provedeme zkoušku.

Kvadratické rovnice (úplné): Vyřeš v R rovnici: Zkouška:

Kvadratické rovnice (úplné) ‒ příklad k procvičení řešení: Řešte v R rovnici:

Kvadratické rovnice (úplné) ‒ příklad k procvičení řešení: Řešte v R rovnici:

Kvadratické rovnice (úplné) ‒ příklad k procvičení řešení: Řešte v R rovnici: Zkouška:

Použité obrázky: Všechny uveřejněné odkazy [cit. 2010-06-10]. Dostupné pod licencí Public domain na WWW: <http://www.clker.com/clipart-white-board.html>

Citace: MACHÁŇOVÁ, Šárka. Kvadratická rovnice – úplná. Metodický portál : Digitální učební materiály [online]. 23. 08. 2011, [cit. 2012-07-08]. Dostupný z WWW: <http://dum.rvp.cz/materialy/kvadraticka-rovnice-uplna.html>. ISSN 1802-4785.