© Institut biostatistiky a analýz SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA Č ASOVÝCH Ř AD prof. Ing. Jiří Holčík, CSc.
© Institut biostatistiky a analýz II. PRINCIPY TOHO, JAK NA TO
© Institut biostatistiky a analýz ZÁV Ě RY Z MINULA časová řada = deterministická složka + + nedeterministická (náhodná) složka (koncept Hermana Wolda (1938) - A Study in the Analysis of Stationary Time Series) není konečná energie neexistuje Fourierův integrál výkonový koncept spektrální hustota výkonu – power spectral density (PSD)
© Institut biostatistiky a analýz H ERMAN O LE A NDREAS WOLD * – Skien, Norsko – Gothenburg, Švédsko oblasti zájmů: matematická ekonomie, ekonometrie, statistika, analýza časových řad školitel: Harald Cramér na čem se podepsal: Cramérův-Woldův teorém, Woldova dekompozice časových řad, metoda parciálních nejmenších čtverců; teorie užitku, teorie spotřebitelské poptávky
© Institut biostatistiky a analýz SPOJITÝ SIGNÁL Fourierova transformace Parsevalova věta spektrální hustota energie S xx (f)
© Institut biostatistiky a analýz SPEKTRÁLNÍ HUSTOTA ENERGIE (VÝKONU) SPOJITÝ P Ř ÍPAD autokorelační funkce signálu x a (t) obě funkce tvoří Fourierovský pár u stacionární funkce ztrácíme informaci o fázi A PROČPAK ???
© Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ SIGNÁL x(nT vz ), definovaný na nekonečném intervalu n - ; ; je frekvenčně omezený na pásmo o šířce B vzorkovací frekvence F = 1/T vz > 2B x(nT vz ) = x a (nT vz ) = ? x(n) energie diskrétního signálu
© Institut biostatistiky a analýz Vztah spektra analogového a diskrétního signálu: DISKRÉTNÍ SIGNÁL Spektrální vyjádření diskrétního signálu spektrální periodicita
© Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ SIGNÁL
© Institut biostatistiky a analýz REKONSTRUKCE SPOJITÉ FUNKCE předpokládejme, že je
© Institut biostatistiky a analýz REKONSTRUKCE SPOJITÉ FUNKCE
© Institut biostatistiky a analýz REKONSTRUKCE SIGNÁLU
© Institut biostatistiky a analýz RAYLEIGHOVA V Ě TA
© Institut biostatistiky a analýz J OHN W ILLIAM STRUTT, 3. BARON R AYLEIGH An Unerring Leader in the Natural Knowledge * , Maldon, Essex, U.K. , Witham, Essex, U.K. oblasti zájmu: fyzikální chemie, akustika, optický a elektromagnetický rozptyl světla,povrchové vlny; psychologie - telekineze na čem se podepsal: spolu s Williamem Ramsayem objevitel argonu (Nobelova cena 1904) a dalších vzácných plynů;
© Institut biostatistiky a analýz
WIENER-KHINCHINOVA V Ě TA
© Institut biostatistiky a analýz А ЛЕКСАНДР Я КОВЛЕВИЧ ХИНЧИН * 7.(19.)7.1894, село Кондрово, Медынский уезд, Калужская губерния, Россия , Москва, СССР zájmy: teorie pravděpodobnosti, statistika, teorie funkcí reálné proměnné, teorie čísel, limitní věty, řetězové zlomky, … na čem se podepsal: Pollaczekova-Chinčinova formule (teorie fronty),Wienerův- Chinčinův teorém, Chinčinova nerovnost (statistika, komplexní čísla), Chinčinova-Lévyho konstanta (konvergence řetězových zlomků), Chinčinova věta o diofantických aproximacích (aproximace reálných čísel pomocí racionálních čísel) ocenění: 1939 – člen korespondent AV SSSR; 1941 – Stalinova cena, ? - Leninova cena
© Institut biostatistiky a analýz WIENER-KHINCHINOVA V Ě TA
© Institut biostatistiky a analýz WIENEROVA-KHINCHINOVA V Ě TA
© Institut biostatistiky a analýz z toho plyne, že spektrální hustotu energie neperiodického signálu s konečnou energií lze spočítat dvěma způsoby: přímá metoda: S xx (f) = |X(f)| 2 = |T vz.Σx(nT vz ).exp(-2πjfnT vz )| 2 nepřímá metoda: 1) R xx (mT vz ) = T vz. Σx(nT vz ). x(nT vz +mT vz ); 2) S xx (f) = ΣR xx (mT vz ).exp(-2πjfmT vz ) DISKRÉTNÍ SIGNÁL
© Institut biostatistiky a analýz z toho plyne, že spektrální hustotu energie neperiodického signálu s konečnou energií lze spočítat dvěma způsoby: přímá metoda: S xx (f) = |X(f)| 2 = |T vz.Σx(nT vz ).exp(-2πjfnT vz )| 2 nepřímá metoda: 1) R xx (mT vz ) = T vz. Σx(nT vz ). x(nT vz +mT vz ); 2) S xx (f) = ΣR xx (mT vz ).exp(-2πjfmT vz ) SIGNÁL S KONE Č NOU ENERGIÍ - SHRNUTÍ
© Institut biostatistiky a analýz PRAXE Signál konečné délky = tj. násobení signálu obdélníkovým oknem, takže počítáme spektrum signálu ve frekvenční oblasti SIGNÁL S KONE Č NOU ENERGIÍ - SHRNUTÍ
© Institut biostatistiky a analýz Konvoluce funkce W(f) s X(f) vyhlazuje spektrum X(f) za předpokladu, že W(f) je relativně úzké ve srovnání s X(f) okno w(nT vz ) musí být dostatečně dlouhé Problémy: postranní laloky rozlišení dvou frekvenčních pásem SIGNÁL S KONE Č NOU ENERGIÍ - SHRNUTÍ
© Institut biostatistiky a analýz FREKVEN Č NÍ OKNA kde I 0 () je modifikovaná Besselova funkce 0. řádu 1. druhu; ω a je šířka hlavního laloku
© Institut biostatistiky a analýz FREKVEN Č NÍ OKNA
© Institut biostatistiky a analýz FREKVEN Č NÍ OKNA
© Institut biostatistiky a analýz VYHLAZOVÁNÍ OKNEM spektrální konvoluce obdélníkového okna (spektrum) X(f) = 1 pro |f| 0,1; X(f) = 0 pro |f| > 0,1; Blackmanova okna N = 61 obrazu obdélníka (N=61) a …
© Institut biostatistiky a analýz SIGNÁL S KONE Č NOU ENERGIÍ - P Ř ÍKLADY
© Institut biostatistiky a analýz SIGNÁL S KONE Č NOU ENERGIÍ - P Ř ÍKLADY
© Institut biostatistiky a analýz SIGNÁL S KONE Č NOU ENERGIÍ - P Ř ÍKLADY