Soustava lineárních rovnic

Soustava 2 lineárních rovnic Soustavou dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými je každá dvojice rovnic, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na tvar ax + by = c px + qy = r kde a, b, c, p, q, r jsou reálná čísla, x a y neznámé. Řešením této soustavy je uspořádaná dvojice čísel [x;y], která splňují obě rovnice.

Metody početního řešení soustavy metoda dosazovací (substituční) vyjádříme jednu neznámou z jedné rovnice a dosadíme ji do druhé rovnice metoda sčítací rce násobíme vhodnými čísly tak, aby se po sečtení vynásobených rovnic jedna neznámá vyloučila metoda srovnávací (komparační) z obou rovnic vyjádříme stejnou neznámou, výsledky dáme do rovnosti a tím tuto neznámou vyloučíme

Příklad 1: a) Řešení metodou dosazovací: P = [2;3] 2x – y = 1 Řešte soustavu rovnic: x + 3y = 11 a) Řešení metodou dosazovací: 2x – y = 1 vyjádříme neznámou x x + 3y = 11 x = 11 – 3y = 11 – 3·3 = 2 2(11 – 3y) – y = 1 22 – 7y = 1 P = [2;3] 21 = 7y y = 3

Příklad 1: b) Řešení metodou sčítací: P = [2;3] 2x – y = 1 Řešte soustavu rovnic: x + 3y = 11 b) Řešení metodou sčítací: vyloučíme neznámou y vyloučíme neznámou x 2x – y = 1 3 2x – y = 1 x + 3y = 11 (–2) x + 3y = 11 6x – 3y = 3 2x – y = 1 + + x + 3y = 11 –2x – 6y = –22 7x = 14 –7y = –21 x = 2 P = [2;3] y = 3

Příklad 1: c) Řešení metodou srovnávací: P = [2;3] 2x – y = 1 Řešte soustavu rovnic: x + 3y = 11 c) Řešení metodou srovnávací: 2x – y = 1 y = 2x – 1 = 2·2 – 1 = 3 x + 3y = 11 y = y P = [2;3] 6x – 3 = 11 – x Poznámka: Metodu volíme dle zadání, lze také kombinovat metodu sčítací a dosazovací. x = 2

Příklad 2: Řešení (sčítací + dosazovací): P = {[x; 2x – 3]; x  R} 2x – y = 3 Příklad 2: Řešte soustavu rovnic: –4x + 2y = –6 Řešení (sčítací + dosazovací): 2 2x – y = 3 –4x + 2y = –6 4x – 2y = 6 2·x – y = 3 –4x + 2y = –6 2·x – 3= y 0 = 0  řešení y = 2x – 3 x  R P = {[x; 2x – 3]; x  R}

Příklad 3: Řešení (dosazovací): P = 0 2x – y = 3 Řešte soustavu rovnic: –4x + 2y = 6 Řešení (dosazovací): 2x – y = 3 y = 2x – 3 –4x + 2y = 6 –4x + 2(2x – 3) = 6 –4x + 4x – 6 = 6 P = 0 – 6 = 6 nemá řešení Shrnutí (řešení soustavy): Soustava 2 lin. rovnic o 2 neznámých má buď právě jedno řešení [x;y], nebo nemá žádné řešení nebo jich má nekonečně mnoho.

Určete věk otce a syna, jestliže za 3 roky bude otec 5 starší než syn, avšak za 5 let bude otec jen 4 starší než syn. Příklad 4: Řešení: věk otce … x x + 3 = 5(y + 3) věk syna … y x + 5 = 4(y + 5) za 3 roky: věk otce … x + 3 (-1) x – 5y = 12 + věk syna … y + 3 x – 4y = 15 y = 3 x + 3 = 5(y + 3) x – 4·3 = 15 za 5 let: věk otce … x + 5 x = 27 věk syna … y + 5 x + 5 = 4(y + 5) Otci je 27 let a synovi 3 roky.

Cvičení: Příklad 1: Najděte dvě čísla tak, aby jejich součet byl 137 a rozdíl 41. Příklad 2: Řešte dané soustavy rovnic: 3x = 2y + 1 4y = 3 + 6x 5(y +2) = 3(x  3) + 7 3(y +2) + 23 = 5(x  3) 3x  2y = 1 6x = 2 + 4y !! podmínky

Cvičení: Příklad 3: Řešte dané soustavy rovnic v ZZ: Příklad 4: Ze dvou druhů ovoce v ceně 15 Kč a 21 Kč za 1 kg je třeba namíchat 78 kg směsi po 17,50 Kč za 1 kg. Kolik kterého ovoce budeme potřebovat? Příklad 5: Dva dělníci by práci vykonali za 12 dní. Po osmi dnech byl jeden z nich odvolán a druhý dokončil práci sám za dalších 10 dní. Za kolik dní by ji udělal každý sám?

Grafické řešení soustavy 2 rovnic z každé rovnice vyjádříme neznámou y každou rovnici převedeme na funkci do jedné kartézské soustavy souřadné narýsujeme grafy obou funkcí určíme průsečík - jeho souřadnice jsou řešením soustavy 2 lineárních rovnic ?? typ funkce ?? graf lin. fce ?? vzáj. poloha 2 přímek x y x y všechny spol. body x y P neex. f f g f =g y g x K = [x;y] K = 0 K = R

Cvičení: Příklad 1: Graficky řešte dané soustavy rovnic: x + 2y = 4 2x – y = 5,5 2x = 3 + y 2y = 4x – 6 3x = 2y + 1 4y = 3 + 6x 2x – y = 3 2y – 4x = 6 osa x - hodiny osa y - km Příklad 2: Z místa A vyjíždí do místa B v 9 hodin nákl. vlak rychlostí 50 km/h. Z místa B vyjede v 9 hodin 20 minut po vedlejší koleji rychlík rychlostí 80 km/h. V kolik hodin a na kterém místě se vlaky potkají? Řešte graficky i výpočtem

Soustava lin. rovnic s více neznámými využíváme stejné metody jako u soustav dvou lineárních rovnic postupně snižujeme počet rovnic a neznámých, např. soustavu 3 rovnic o 3 neznámých převedeme na soustavu 2 rovnic o 2 neznámých, … NELZE použít grafické řešení Řešením soustavy n lin. rovnic o n neznámých je uspořádaná n-tice čísel [x1; x2;…;xn], která splňuje všechny rovnice. ?? kolik neznámých u soustavy 4 rovnic, aby měla jednozn. řešení

Cvičení: Příklad: Řešte dané soustavy rovnic: a) d) b) e) f) c)