Mnohočleny- výpočty pomocí vzorců Autor Mgr. Šárka Čížová Anotace Prezentace PowerPoint je určena pro studenty prvních ročníků všech studijních oborů, je zaměřena na druhou a třetí mocninu dvojčlenu, rozdíl druhých mocnin , součet a rozdíl třetích mocnin. Výukový materiál slouží také k procvičení svých vědomostí na daných příkladech a následnou kontrolu výpočtů. Očekávaný přínos Žák si zopakuje umocňování dvojčlenu a rozklad na součin užitím vzorců, upevní a následně ověří své znalosti na příkladech. Tematická oblast Operace s čísly a výrazy Téma Mnohočleny- výpočty pomocí vzorců Předmět Matematika Ročník První Obor vzdělávání Studijní obory Stupeň a typ vzdělávání Střední odborné vzdělávání Název DUM Š21_S1_16_Mnohočleny – výpočty pomocí vzorců Datum 31.7.2013 SOŠ Josefa Sousedíka Vsetín Zlínský kraj

Připomeňte si základní vzorce 𝒂 +𝒃 𝟐 = 𝒂+𝒃 ∙ 𝒂+𝒃 = 𝒂 𝟐 + 2𝒂𝒃 + 𝒃 𝟐 𝒂 −𝒃 𝟐 = 𝒂−𝒃 ∙ 𝒂−𝒃 =𝒂 𝟐 − 2𝒂𝒃 + 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 − 𝒃 𝟐 = (𝒂−𝒃) ∙ (𝒂+𝒃) = (𝒂+𝒃) ∙ (𝒂−𝒃) 𝒂+𝒃 𝟑 = (𝒂+𝒃) ∙ (𝒂+𝒃) ∙ (𝒂+𝒃) = 𝒂 𝟑 + 𝟑 𝒂 𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂 𝒃 𝟐 + 𝒃 𝟑 𝒂−𝒃 𝟑 = (𝒂−𝒃) ∙ (𝒂−𝒃) ∙ (𝒂−𝒃) = 𝒂 𝟑 − 𝟑 𝒂 𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂 𝒃 𝟐 − 𝒃 𝟑 𝒂 𝟑 + 𝒃 𝟑 = (𝒂+𝒃) ∙ 𝒂 𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃 𝟐 𝒂 𝟑 − 𝒃 𝟑 = (𝒂−𝒃) ∙ 𝒂 𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃 𝟐

Druhá mocnina dvojčlenu Druhá mocnina součtu : 𝒂 +𝒃 𝟐 = −𝒂 −𝒃 𝟐 =𝒂 𝟐 + 2𝒂𝒃 + 𝒃 𝟐 Druhá mocnina rozdílu : 𝒂 −𝒃 𝟐 = −𝒂+𝒃 𝟐 = 𝒂 𝟐 − 2𝒂𝒃 + 𝒃 𝟐 Umocněte podle vzorce : 𝒏 𝟐 +𝟑 𝟐 = 𝑛 2 2 + 2∙ 𝑛 2 ∙3 + 3 2 = 𝒏 𝟐 𝟒 + 𝟑𝒏 + 𝟗 −𝟓𝒌 −𝟐 𝟐 = 5𝑘 2 +2∙5𝑘∙2 + 2 2 = 𝟐𝟓 𝒌 𝟐 +𝟐𝟎𝒌+𝟒 𝟎,𝟒𝒅−𝟔𝒖 𝟐 = 0,4𝑑 2 − 2∙0,4𝑑∙6𝑢 + 6𝑢 2 = 𝟎,𝟏𝟔 𝒅 𝟐 − 𝟒,𝟖𝒅𝒖 +𝟑𝟔 𝒖 𝟐 − 𝟐 𝟕 𝒑+ 𝟕 𝟐 𝟐 = 2 7 𝑝 2 −2∙ 2 7 𝑝∙ 7 2 + 7 2 2 = 𝟒 𝟒𝟗 𝒑 𝟐 − 𝟐𝒑 + 𝟒𝟗 𝟒

Rozdíl druhých mocnin 𝒂 𝟐 − 𝒃 𝟐 = (𝒂−𝒃) ∙ (𝒂+𝒃) = (𝒂+𝒃) ∙ (𝒂−𝒃) Rozložte na součin : 𝒛 𝟐 − 𝟏𝟔𝒗 𝟐 = 𝑧−4𝑣 ∙ 𝑧+4𝑣 𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟓 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟔 = 0,05𝑥+ 𝑦 3 ∙ 0,05𝑥+ 𝑦 3 −𝟔𝟒 𝒎 𝟒 + 𝒐 𝟐 𝟖𝟏 = −8 𝑚 2 + 𝑜 9 ∙ 8 𝑚 2 + 𝑜 9 − 𝒑 𝟐 −𝟏𝟎𝟎 = − 𝑝 2 +100 nelze rozložit −𝟑 + 𝒄 𝟐 = − 3 +𝑐 ∙ 3 +𝑐

Třetí mocnina dvojčlenu 𝒂+𝒃 𝟑 = (𝒂+𝒃) ∙ (𝒂+𝒃) ∙ (𝒂+𝒃) = 𝒂 𝟑 + 𝟑 𝒂 𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂 𝒃 𝟐 + 𝒃 𝟑 𝒂−𝒃 𝟑 = (𝒂−𝒃) ∙ (𝒂−𝒃) ∙ (𝒂−𝒃) = 𝒂 𝟑 − 𝟑 𝒂 𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂 𝒃 𝟐 − 𝒃 𝟑 Umocněte : 𝟑𝒑+𝒓 𝟑 = 3𝑝 3 +3∙ 3𝑝 2 ∙𝑟+3∙3𝑝∙ 𝑟 2 + 𝑟 3 =𝟐𝟕 𝒑 𝟑 +𝟐𝟕 𝒑 𝟐 𝒓+𝟗𝒑 𝒓 𝟐 + 𝒓 𝟑 𝟎,𝟏𝒙−𝟐 𝟑 = 0,1𝑥 3 −3∙ 0,1𝑥 2 ∙2+3∙0,1𝑥∙ 2 2 − 2 3 = = 0,001 𝒙 𝟑 − 𝟎,𝟎𝟔 𝒙 𝟐 +𝟏,𝟐𝒙−𝟖 − 𝒚 𝟑 −𝒙 𝟑 = −1 3 ∙ 𝑦 3 +𝑥 3 = −1 ∙ 𝑦 3 3 +3∙ 𝑦 3 2 ∙𝑥+3∙ 𝑦 3 ∙ 𝑥 2 + 𝑥 3 = = − 𝒚 𝟑 𝟐𝟕 − 𝒚 𝟐 𝟑 𝒙−𝒚 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟑

Součet a rozdíl třetích mocnin 𝒂 𝟑 + 𝒃 𝟑 = (𝒂+𝒃) ∙ 𝒂 𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃 𝟐 𝟏 𝒂 𝟑 − 𝒃 𝟑 = (𝒂−𝒃) ∙ 𝒂 𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃 𝟐 𝟐 Rozložte na součin: 27 𝒓 𝟑 +0,008 = 3𝑟+0,2 ∙ 9 𝑟 2 −0,6𝑟+0,04 𝟏 𝟕𝟐𝟗− 𝒎 𝟑 𝟔𝟒 = 9− 𝑚 4 ∙ 81+ 9𝑚 4 + 𝑚 2 16 𝟐 − 𝒄 𝟑 − 𝒅 𝟏𝟐 =− 𝑐 3 + 𝑑 4 3 =− 𝑐+ 𝑑 4 ∙ 𝑐 2 −𝑐 𝑑 4 + 𝑑 8 𝟏 −0,216 𝒂 𝟔 + 𝒌 𝟏𝟓 = 𝑘 15 −0,216 𝑎 6 = 𝑘 5 3 − 0,6𝑎 2 3 = = 𝑘 5 −0,6 𝑎 2 ∙ 𝑘 10 +0,6 𝑎 2 +0,36 𝑎 4 𝟐

Vyber správné řešení 𝟒𝒌−𝟓 𝟐 a) 16 𝑘 2 −20𝑘+25 b) 16 𝑘 2 −40𝑘+25 𝟑𝒓−𝟒 ∙ 𝟑𝒓+𝟒 a) 9 𝑟 2 −16 b) 9 𝑟 2 −24𝑟+16 −𝒎− 𝟏 𝟔 𝟐 a) 𝑚 2 + 1 3 𝑚+ 1 36 b) 𝑚 2 − 1 3 𝑚+ 1 36 −𝟎,𝟕𝒍+𝒖 𝟐 a) 4,9 𝑙 2 −1,4𝑙𝑢+ 𝑢 2 b) 0,49 𝑙 2 −1,4𝑙𝑢+ 𝑢 2 𝟓𝒂+𝟐 𝟑 a) 125 𝑎 3 +30 𝑎 2 +60𝑎+8 b) 125 𝑎 3 +150 𝑎 2 +60𝑎+8 −𝟎,𝟑𝒚+ 𝟏 𝟐 𝟑 a) 1 8 −0,225𝑦+0,135 𝑦 2 −0,027 𝑦 3 b) 1 8 +0,225 𝑦 2 −0,135𝑦+0,027 𝑦 3 (− 𝟐 𝟑 𝐡− 𝟏 𝟓 ) 𝟑 a) − 8 27 ℎ 3 − 4 15 ℎ 2 − 2 25 ℎ− 1 125 b) 8 27 ℎ 3 + 4 15 ℎ 2 + 2 25 ℎ+ 1 125

Správné řešení 𝟒𝒌−𝟓 𝟐 a) 16 𝑘 2 −20𝑘+25 b) 16 𝑘 2 −40𝑘+25 𝟑𝒓−𝟒 ∙ 𝟑𝒓+𝟒 a) 9 𝑟 2 −16 b) 9 𝑟 2 −24𝑟+16 −𝒎− 𝟏 𝟔 𝟐 a) 𝑚 2 + 1 3 𝑚+ 1 36 b) 𝑚 2 − 1 3 𝑚+ 1 36 −𝟎,𝟕𝒍+𝒖 𝟐 a) 4,9 𝑙 2 −1,4𝑙𝑢+ 𝑢 2 b) 0,49 𝑙 2 −1,4𝑙𝑢+ 𝑢 2 𝟓𝒂+𝟐 𝟑 a) 125 𝑎 3 +30 𝑎 2 +60𝑎+8 b) 125 𝑎 3 +150 𝑎 2 +60𝑎+8 −𝟎,𝟑𝒚+ 𝟏 𝟐 𝟑 a) 1 8 −0,225𝑦+0,135 𝑦 2 −0,027 𝑦 3 b) 1 8 +0,225 𝑦 2 −0,135𝑦+0,027 𝑦 3 (− 𝟐 𝟑 𝐡− 𝟏 𝟓 ) 𝟑 a) − 8 27 ℎ 3 − 4 15 ℎ 2 − 2 25 ℎ− 1 125 b) 8 27 ℎ 3 + 4 15 ℎ 2 + 2 25 ℎ+ 1 125

Kontrola znalostí A B 1. Vypočítej: a) 𝟖𝒙− 𝟏 𝟐 𝟐 b) −𝟏,𝟏𝒏−𝟒 𝟐 c) 𝟎,𝟐𝒂+𝒓 𝟐 d) −𝟕𝒍+𝟎,𝟎𝟏 𝟑 2.Rozlož na součin: a) 225−𝟐 𝒓 𝟐 b) −𝟎,𝟏𝟔+ 𝟗 𝟐𝟓 𝒙 𝟔 c) 𝟔𝟒 𝒙 𝟑 −𝟎,𝟎𝟎𝟖 d) 𝒛 𝟑 𝟐𝟕 + 𝒍 𝟑 B Vypočítej : a) 𝟗𝒚+𝟎,𝟓 𝟐 b) −𝟏,𝟑+𝟕𝒃 𝟐 c) − 𝟏 𝟑 𝒎−𝒕 𝟑 d) 𝟎,𝟎𝟎𝟏−𝟒𝒌 𝟑 2.Rozlož na součin: a) 𝟓 𝒛 𝟐 −𝟏𝟗𝟔 b) −𝟎,𝟎𝟎𝟑𝟔+ 𝟔𝟒 𝟏𝟎𝟎 𝒂 𝟒 c) 𝒗 𝟑 𝟖 − 𝒃 𝟑 d) 𝟏𝟐𝟓 𝒖 𝟑 +𝟎,𝟎𝟐𝟕

Výsledky: A. B c) − 𝟏 𝟐𝟕 − 𝒎 𝟐 𝒕 𝟑 −𝒎 𝒕 𝟐 − 𝒕 𝟑 1. a) 𝟔𝟒 𝒙 𝟐 −𝟖𝒙+ 𝟏 𝟒 b) 𝟏,𝟐𝟏 𝒏 𝟐 +𝟖,𝟖𝒏+𝟏𝟔 c) 0,008 𝒂 𝟑 +𝟎,𝟏𝟐 𝒂 𝟐 r+𝟎,𝟔𝒂 𝒓 𝟐 + 𝒓 𝟑 d) 0,000 001−𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟏𝒍+𝟏,𝟒𝟕 𝒍 𝟐 −𝟑𝟒𝟑 𝒍 𝟑 2. a) 𝟏𝟓− 𝟐 𝒓 ∙ 𝟏𝟓+ 𝟐 𝒓 b) 𝟑 𝟓 𝒙 𝟑 −𝟎,𝟒 ∙ 𝟑 𝟓 𝒙 𝟑 +𝟎,𝟒 c) 𝟒𝒙−𝟎,𝟐 ∙ 𝟏𝟔 𝒙 𝟐 +𝟎,𝟖𝒙+𝟎,𝟎𝟒 d) 𝒛 𝟑 +𝒍 ∙ 𝒛 𝟐 𝟗 − 𝒛𝒍 𝟑 + 𝒍 𝟐 B 1. a) 𝟖𝟏 𝒚 𝟐 +𝟗𝒚+𝟎,𝟐𝟓 b) 𝟒𝟗 𝒃 𝟐 −𝟏𝟖,𝟐𝒃+𝟏,𝟔𝟗 c) − 𝟏 𝟐𝟕 − 𝒎 𝟐 𝒕 𝟑 −𝒎 𝒕 𝟐 − 𝒕 𝟑 d) 0,000 000 001−𝟎,𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟏𝟐𝒌+ +𝟎,𝟎𝟒𝟖 𝒌 𝟐 −𝟔𝟒 𝒌 𝟑 2. a) 𝟓 𝒛−𝟏𝟒 ∙ 𝟓 𝒛+𝟏𝟒 b) 𝟎,𝟖 𝒂 𝟐 −𝟎,𝟎𝟔 ∙ 𝟎,𝟖 𝒂 𝟐 −𝟎,𝟎𝟔 c) 𝒗 𝟐 −𝒃 ∙ 𝒗 𝟐 𝟒 +𝒗𝒃+ 𝒃 𝟐 d) 𝟓𝒖+𝟎,𝟑 ∙ 𝟐𝟓 𝒖 𝟐 −𝟏,𝟓𝒖+𝟎,𝟎𝟗 𝟐𝟓 𝒖 𝟐 −𝟏,𝟓𝒖+𝟎,𝟎𝟗

Zdroje Literatura: Hudcová, M. ,Kubičíková, L.: Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium.2. vydání dotisk. Praha: Prometheus, 2006. 416s. ISBN 80- 7196- 318-6 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Šárka Čížová.