BioTech 2011, Strážná

O čem to bude? Stochastické simulace Diferenciální rovnice (ODR) Automaty

Stochastické simulace - problém N chemikálií, M reakcí, objem V Nebere v úvahu tvary molekul, fyziku okolo jejich prostorových natočení Probíhají chemické reakce Vývoj počtů molekul v čase?

Látky E (enzym), S (substrát), P (produkt). Reakce: R 1 : S + E → ES R 3 : ES → S + E R 2 : ES → P + E Objem celého systému V, daná teplota, dobré promíchání Stochastické simulace - příklad

Stochastické simulace - princip Daný počáteční počet molekul každého druhu Pravděpodobnosti srážek, reakcí Posloupnost reakcí KDY nastane další reakce? KTERÁ z reakcí to bude?

Stochastické simulace - srážky

V coll = rychlost ∙ čas ∙ plocha kolizního kruhu

Stochastické simulace - srážky Pravděpodobnost srážky dvou konkrétních molekul: V coll / V Pro danou teplotu, počty molekul, reakci, V a časový interval je pravděpodobnost průběhu reakce: Počet kombinací reaktantů ∙ konstanta reakce ∙ čas

Látky: E (15 molek.), S (20 molek.), P (0 molek.), ES (0 molek.) Reakce: R 1 : S + E → ES konstanta c 1 R 3 : ES → S + E konstanta c 2 R 2 : ES → P + E konstanta c 3 P(1, [0,t]) = 20 ∙ 15 ∙ c1 ∙ t P(2, [0,t]) = P(3, t) = 0 Stochastické simulace - příklad

Označme a m = Kombinace pro R m ∙ c m Že nastane reakce R m do času t od současnosti: a m ∙ t Že nenastane reakce R m do času dt od současnosti 1 - (a m ∙ t) Stochastické simulace – pravděp.

Že nenastane žádná reakce do času t od současnosti (1 - a 1 ∙ t) ∙ (1 - a 2 ∙ t) ∙ … ∙(1 - a M ∙ t) Lze pro malá t aproximovat jako 1- (a 1 +a 2 +…+a M ) ∙ t Stochastické simulace – pravděp.

P(„nastane R m v čase t“) = „do t nenastane nic“ ∙ „pak rychle nastane R m “ Rychle znamená v krátkém čase dt: P(m,t) ∙ dt = (e -(a 1 +…+a M ) t ) ∙ (a m ∙ dt) Stochastické simulace – pravděp.

Stochastické simulace - náhoda Všechny časy stejně pravděpodobné … t=r=random([0,1]) Exp. pokles: t = (-ln r)/(a 1 +…+a M )

Stochastické simulace - náhoda Všechny reakce stejně pravděpodobné… m=random(1..M) Různá a m - příklad: a 1 = 0,1 a 2 = 0,2 a 3 = 0,05

Stochastické simulace - algoritmus Algoritmus: 1. Iniciální hodnoty X 1, X 2, …, X N 2. Výpočet a 1,…,a M 3. Náhodný čas t a náhodná reakce m 4. Provedení R m - změna X 1,…X N 5. Pokud není konec simulace, běž na 2. Ukázka – Netlogo – Enzyme kinetics

Stochastické simulace - shrnutí Pro počty molekul – desítky Běhů se udělá mnoho, zprůměrují se výsledky

ODR - základy Funkce času Koncentrace látek jako funkce času Např. radioaktivní rozpad (jedna reakce X → ): N(t) = N 0 ∙ e - t / T Ukázka Netlogo – Radioactivity – Decay

ODR - základy Trajektorie Derivace podle času

ODR - základy Vektorové pole

ODR - analýza Nulkliny – křivky, kde je jedna z derivací nulová Příklad

ODR - analýza Pevný bod

ODR - analýza Analytická řešení

ODR - simulace Simulační krok Rychlost ∙ čas = dráha Eulerova metoda Chyba simulace Ukázka - Copasi

ODR - shrnutí Vysoké počty molekul, průměrné hodnoty Vícedimenzionální systémy

Automaty – proč? Inf grafy – dá se zkoumat dost vlastností, aniž by počítač prolézal nekonečně mnoho bodů Máme vektorové pole

Automaty – jak? RAA Ukázka – reakce,ODE,vektorové pole,automat,vlastnost

Závěr Stochastické simulace Numerické simulace řešení ODR Automaty