Využití Hilbertovy báze k ověření shodnosti strukturálních a kombinatorických imsetů Petr Šimeček(MFF UK) Milan Studený(ÚTIA AV ČR)

Motivace – podmíněná nezávislost  Nepodmíněná nezávislost: Diskrétní n.v. Spojité n.v.  Podmíněná nezávislost: Diskrétní n.v. Spojité n.v.

Motivace – podmíněná nezávislost N náhodných veličin X 1, X 2, …, X N a nějaké jejich rozdělení P Seznam všech podmíněných i nepodmíněných nezávislostí mezi nimi

Popis PN pomocí seznamu  Seznam musí splňovat určitá pravidla, např.  Tudíž je zbytečné skladovat v paměti celý seznam!  Neexistuje konečný počet pravidel schopný rozhodnout, zda něco je či není seznam.  Seznam je nepřehledný.

Popis PN pomocí grafů X1 X2 X3 X4X5 X6 X1X1 X3X3 X2X2 X4X4

Popis PN pomocí grafů  Výhody: Názornost, čitelné i pro laika Každý graf je pravděpodobnostně reprezentovatelný (dokonce diskrétní n.v.)  Nevýhody: Ne každé rozdělení je reprezentovatelné pomocí grafů (početní argument)

Popis PN pomocí imsetů Seznam PN popíšeme pomocí zobrazení z P({1,2,…,N}) do Z Př. pro N=3 (3 náhodné veličiny) {}{1}{2}{3}{1,2}{1,3}{2,3}{1,2,3}

Popis PN pomocí imsetů  Nevýhody: Méně intuitivní, těžší vyčíst nezávislosti Ne každý imset je reprezentovatelný Vyšší paměťová náročnost (oproti grafu)  Výhody: Libovolný seznam PN reprezentovatelný imsetem Méně paměťově náročné než seznam PN Grafovou reprezentaci lze na imsety snadno převést

Semielementární imsety A,B,C disjunktní podmnožiny {1,…,N}: Semielementárním imsetem rozumíme zobrazení, jež přiřadí 1 množinám a -1 množinám a a nulu ostatním prvkům z potenční množiny

Semielementární imsety Příklad: N=3, s.e. imset Odpovídající nezávislosti {}{1}{2}{3}{1,2}{1,3}{2,3}{1,2,3}

Elementární imsety E N Elementárním imsetem rozumíme zobrazení, jež přiřadí 1 množinám a -1 množinám a a nulu ostatním prvkům z potenční množiny, přičemž {i},{j} a C jsou disjunktní podmnožiny množiny {1,…,N}.

Příklad - E 3 {}{1}{2}{3}{1,2}{1,3}{2,3}{1,2,3}

Kombinatorické imsety C N Kombinatorickým imsetem nazveme každou nezápornou celočíselnou kombinaci elementárních imsetů. {}{1}{2}{3}{1,2}{1,3}{2,3}{1,2,3}

Strukturální imsety S N Strukturálním imsetem nazveme každou nezápornou reálnou kombinaci elementárních imsetů, jež je imsetem. Zjevně každý kombinatorický imset je i strukturálním imsetem neboli

Platí C N = S N ??? Existuje strukturální imset, který by nebyl kombinatorický? Otázku zodpovíme pro N<5, pro jiná N zatím není známa. Tato otázka je klíčovým problémem reprezentace pomocí imsetů.

Příklad na to, že by nemuselo E’ = {[1,2],[2,1]} nezáporná reálná kombinace (S) 1/3*[1,2] + 1/3*[2,1] = [1,1] ovšem [1,1] zjevně nelze získat jako nezápornou celočíselnou kombinaci (C)

Stupeň imsetu Stupeň imsetu je součtem koeficientů v kombinaci elementárních imsetů: Př.:u = 1*e 1 + 2*e 2 + 0,5*e 3 deg(u) = 3,5 Platí:

Postup ověření: Konvexní kužel generovaný E N lze popsat jako průnik jistých poloprostorů, které pro N<6 spočteme Fourier-Motzkinovou eleminací. Imsety S N jsou celočíselnými body v tomto kuželu. Stačí je tedy (po jednotlivých stupních) projít a ujistit se, že všechny jsou součtem imsetu stupně o 1 nižšího a elementárního imsetu.

Trik – celočíselná Hilbertova báze Důkaz v [Schrivjer] nám zaručuje, že pokud nějaký imset v S N - C N existuje, potom alespoň jeden takovýto leží v mnohostěnu:

Výsledky  N=3 Bez problémů v několika sekundách ověříme, že C 3 = S 3  N=4 Je potřeba využít dalších vlastností strukturálních imsetů, opět C 4 = S 4  N=5 Víme pouze to, že pokud existuje prvek Hilbertovy báze mimo E 5, pak je jeho stupeň alespoň 5

Literatura:  Studený M. (2001): On the mathematical description of probabilistic conditional independence structures, doktorská práce, ÚTIA AV ČR.  Studený M. (2004): On Probabilistic Independence Structures, Springer.  Studený, Bouckhaert, Kočka (2000): Extreme Supermodular Set Functions, výzkumná zpráva, UTIA AV ČR.  Schrijver A. (1998): Theory of Linear and Integral Programming, John Wiley.