Mocniny s celočíselným exponentem Autor Mgr. Šárka Čížová Anotace Prezentace PowerPoint je určena pro studenty prvních ročníků všech studijních oborů, je zaměřena k osvojení pojmů mocnina s celočíselným exponentem, záporný mocnitel. Výukový materiál slouží také k procvičení svých vědomostí na daných příkladech a následnou kontrolu výpočtů. Očekávaný přínos Žák si zopakuje zápis mocniny, vlastnosti mocnin, výpočty s mocninami, upevní a následně ověří své znalosti na příkladech. Tematická oblast Operace s čísly a výrazy Téma Mocniny s celočíselným exponentem Předmět Matematika Ročník První Obor vzdělávání Studijní obory Stupeň a typ vzdělávání Střední odborné vzdělávání Název DUM Š21_S1_12_Mocniny s celočíselným exponentem Datum 30.6.2013 SOŠ Josefa Sousedíka Vsetín Zlínský kraj

Základní pojmy Mocnina je součin několika stejných činitelů . Pro každé reálné číslo a, kde a ≠ 0, a pro každé přirozené číslo n definujeme následující mocniny: 𝒂 −𝒏 = 𝟏 𝒂 𝒏 𝒂 𝒏 = 𝟏 𝒂 −𝒏 𝒂 𝟎 = 1 Např. 4 −5 = 1 4 5 4 0 = 1 𝟎 𝟎 není definováno

𝑎 𝑛 Základní pojmy základ mocniny( mocněnec) mocnitel( exponent) mocnina základ mocniny( mocněnec) 𝑎 𝑛

Věty o počítání s mocninami Pro každé a, b ∈ R, s, r ∈ N : Součin mocnin se stejným základem 𝒂 𝒓 ∙ 𝒂 𝒔 = 𝒂 𝒓+𝒔 Podíl mocnin se stejným základem 𝒂 𝒓 : 𝒂 𝒔 = 𝒂 𝒓−𝒔 , a ≠ 0 Mocnina mocniny ( 𝒂 𝒓 ) 𝒔 = 𝒂 𝒓 ∙ 𝒔 Mocnina součinu ( 𝒂𝒃) 𝒓 = 𝒂 𝒓 ∙ 𝒃 𝒓 Mocnina podílu 𝒂 𝒃 𝒓 = 𝒂 𝒓 𝒃 𝒓 , b ≠ 0 Ilustrační příklady: Exponenty sčítáme 𝟐 −𝟓 ∙ 𝟐 𝟐 = 𝟐 −𝟑 = 𝟏 𝟐 𝟑 = 𝟏 𝟖 Exponenty odčítáme 𝟐 𝟓 : 𝟐 −𝟐 = 𝟐 𝟕 = 128 Exponenty násobíme 𝟐 −𝟓 𝟐 = 𝟐 −𝟏𝟎 = 𝟏 𝟐 𝟏𝟎 = 𝟏 𝟏 𝟎𝟐𝟒 Součin mocnin 𝟐∙𝟓 −𝟐 = 𝟐 −𝟐 ∙ 𝟓 −𝟐 = 𝟏 𝟒 ∙ 𝟏 𝟐𝟓 = 𝟏 𝟏𝟎𝟎 Podíl mocnin 𝟐 𝟓 −𝟐 = 𝟓 𝟐 𝟐 = 𝟐𝟓 𝟒

Procvičování 1.Vypočítejte: 𝟓 −𝟑 = −𝟑 −𝟓 = 𝟎,𝟐 −𝟑 = −𝟎,𝟎𝟏 −𝟒 = − −𝟐 𝟑 −𝟐 = − − 𝟐 𝟕 −𝟑 = −𝟓 −𝟏 + 𝟒 −𝟐 − 𝟗 𝟎 − −𝟐 −𝟑 = 𝟔 𝟕 −𝟑 ∙ − 𝟏𝟒 𝟑 −𝟒 = 𝟒 𝟗 −𝟓 ∙ 𝟒 𝟗 −𝟐 : 𝟒 𝟗 −𝟔 =

Řešení 1.Vypočítejte: 𝟓 −𝟑 = 𝟏 𝟓 𝟑 = 1 125 −𝟑 −𝟓 = 𝟏 −𝟑 𝟓 = - 𝟏 𝟐𝟒𝟑 𝟎,𝟐 −𝟑 = 𝟐 𝟏𝟎 −𝟑 = 𝟏 𝟓 −𝟑 = 𝟓 𝟏 𝟑 = 125 −𝟎,𝟎𝟏 −𝟒 = − 𝟏 𝟏𝟎𝟎 −𝟒 = −𝟏𝟎𝟎 𝟒 = 100 000 000 − −𝟐 𝟑 −𝟐 = − −𝟖 −𝟐 = 𝟖 −𝟐 = 𝟏 𝟔𝟒 − − 𝟐 𝟕 −𝟑 = − − 𝟕 𝟐 𝟑 = − − 𝟑𝟒𝟑 𝟖 = 𝟑𝟒𝟑 𝟖 −𝟓 −𝟏 + 𝟒 −𝟐 − 𝟗 𝟎 − −𝟐 −𝟑 = − 𝟏 𝟓 + 𝟏 𝟏𝟔 − 1 − − 𝟏 𝟖 = − 𝟏𝟔+𝟓−𝟖𝟎+𝟏𝟎 𝟖𝟎 = − 𝟗𝟔+𝟏𝟓 𝟖𝟎 = − 𝟖𝟏 𝟖𝟎 = −1 𝟏 𝟖𝟎 𝟔 𝟕 −𝟑 ∙ − 𝟏𝟒 𝟑 −𝟒 = 𝟕 𝟔 𝟑 ∙ − 𝟑 𝟏𝟒 𝟒 = 𝟕 𝟑 𝟐 𝟑 ∙ 𝟑 𝟑 ∙ 𝟑 𝟒 𝟐 𝟒 ∙ 𝟕 𝟒 = 𝟑 𝟐 𝟕 ∙ 𝟕 𝟏 = 𝟑 𝟖𝟗𝟔 𝟒 𝟗 −𝟓 ∙ 𝟒 𝟗 −𝟐 : 𝟒 𝟗 −𝟔 = 𝟗 𝟓 𝟒 𝟓 ∙ 𝟗 𝟐 𝟒 𝟐 ∙ 𝟒 𝟔 𝟗 𝟔 = 𝟗 𝟕 ∙ 𝟒 𝟔 𝟒 𝟕 ∙ 𝟗 𝟔 = 𝟗 𝟒 = 2 𝟏 𝟒

Procvičování 𝟐∙ 𝟏𝟎 −𝟓 ∙𝟑∙ 𝟏𝟎 −𝟖 𝟏𝟐∙ 𝟏𝟎 −𝟔 ∙𝟓∙ 𝟏𝟎 𝟖 2. Zjednodušte: 𝒂 𝟑 𝟒 −𝟐 𝟔 −𝟑 ∙ 𝒌 −𝟔 ∙ 𝒓 −𝟕 𝟖 −𝟏 − 𝟒𝒙 −𝟕 𝒚 𝟐 −𝟑 : 𝟏𝟎𝒙 −𝟏𝟏 𝒚 𝟓 −𝟐 3. Zapište jednotky jako součin: 𝒎 𝟐 ∙𝒌𝒈 𝒔 𝟐 ∙𝑨 4. Vypočítejte: 𝟐∙ 𝟏𝟎 −𝟓 ∙𝟑∙ 𝟏𝟎 −𝟖 𝟏𝟐∙ 𝟏𝟎 −𝟔 ∙𝟓∙ 𝟏𝟎 𝟖

Řešení 2. Zjednodušte: 𝒂 𝟑 𝟒 −𝟐 = 𝑎 3 4 −2 = 4 𝑎 3 2 = 𝟏𝟔 𝒂 𝟔 𝟔 −𝟑 ∙ 𝒌 −𝟔 ∙ 𝒓 −𝟕 𝟖 −𝟏 = 8 6 3 ∙ 𝑘 6 ∙ 𝑟 7 = 8 216∙ 𝑘 6 ∙ 𝑟 7 = 𝟏 𝟐𝟕∙ 𝒌 𝟔 ∙ 𝒓 𝟕 − 𝟒𝒙 −𝟕 𝒚 𝟐 −𝟑 : 𝟏𝟎𝒙 −𝟏𝟏 𝒚 𝟓 −𝟐 = − 𝑦 2 4∙ 𝑥 −7 3 : 𝑦 5 10∙ 𝑥 −11 2 = − 𝑦 6 ∙ 𝑥 21 64 : 𝑦 10 ∙ 𝑥 22 100 = − 𝑦 6 ∙ 𝑥 21 64 ∙ 100 𝑦 10 ∙ 𝑥 22 = − 𝟐𝟓 𝟏𝟔∙𝒙∙ 𝒚 𝟒 3. Zapište jednotky jako součin: 𝒎 𝟐 ∙𝒌𝒈 𝒔 𝟐 ∙𝑨 = 𝒎 𝟐 ∙ kg ∙ 𝒔 −𝟐 ∙ 𝑨 −𝟏 4. Vypočítejte: 𝟐∙ 𝟏𝟎 −𝟓 ∙𝟑∙ 𝟏𝟎 −𝟖 𝟏𝟐∙ 𝟏𝟎 −𝟔 ∙𝟓∙ 𝟏𝟎 𝟖 = 10 −13 2∙ 10 −6 ∙5∙ 10 8 = 10 −13 10∙ 10 2 = 10 −13−1−2 = 𝟏𝟎 −𝟏𝟔

Kontrola znalostí A Vypočítejte: 1. −𝟎,𝟓 −𝟒 2. 𝟒 −𝟑 − 𝟒 −𝟐 + 𝟒 𝟎 − 𝟒 −𝟏 3. 𝟓 𝟖 −𝟐 ∙ 𝟐𝟎 𝟏𝟔 −𝟑 : 𝟓 𝟖 −𝟔 4. 𝟑 −𝟓 ∙ 𝟏𝟎 −𝟔 ∙ 𝟓 −𝟒 ∙ 𝟏𝟎 𝟐 𝟗 −𝟒 ∙ 𝟏𝟎 −𝟏𝟎 ∙ 𝟐𝟓 −𝟐 ∙ 𝟏𝟎 𝟖 Zjednodušte: 5. − 𝟐∙ 𝒂 −𝟖 𝒃 𝟒 −𝟑 : 𝟐𝟎∙ 𝒂 −𝟒 𝒃 𝟐 −𝟐 B Vypočítejte: 1. −𝟎,𝟎𝟒 −𝟐 2. 𝟑 −𝟒 + 𝟑 −𝟐 − 𝟑 𝟎 + 𝟑 −𝟑 3. 𝟑 𝟓 −𝟑 ∙ 𝟗 𝟏𝟓 −𝟐 : 𝟑 𝟓 −𝟕 4. 𝟒 −𝟔 ∙ 𝟏𝟎 −𝟖 ∙ 𝟔 −𝟔 ∙ 𝟏𝟎 −𝟓 𝟏𝟔 −𝟒 ∙ 𝟏𝟎 −𝟏𝟎 ∙ 𝟑𝟔 −𝟑 ∙ 𝟏𝟎 −𝟏 Zjednodušte: 5. 𝟑∙ 𝒄 −𝟗 𝒅 𝟓 −𝟒 : − 𝟑𝟎∙ 𝒄 −𝟐 𝒅 𝟑 −𝟐

Výsledky A Vypočítejte: 1. −𝟎,𝟓 −𝟒 = 32 1. −𝟎,𝟓 −𝟒 = 32 2. 𝟒 −𝟑 − 𝟒 −𝟐 + 𝟒 𝟎 − 𝟒 −𝟏 = 𝟒𝟓 𝟔𝟒 3. 𝟓 𝟖 −𝟐 ∙ 𝟐𝟎 𝟏𝟔 −𝟑 : 𝟓 𝟖 −𝟔 = 𝟓 𝟔𝟒 4. 𝟑 −𝟓 ∙ 𝟏𝟎 −𝟔 ∙ 𝟓 −𝟒 ∙ 𝟏𝟎 𝟐 𝟗 −𝟒 ∙ 𝟏𝟎 −𝟏𝟎 ∙ 𝟐𝟓 −𝟐 ∙ 𝟏𝟎 𝟖 = 0,09 Zjednodušte: 5. − 𝟐∙ 𝒂 −𝟖 𝒃 𝟒 −𝟑 : 𝟐𝟎∙ 𝒂 −𝟒 𝒃 𝟐 −𝟐 = − 50 𝒃 𝟖 B Vypočítejte: 1. −𝟎,𝟎𝟒 −𝟐 = 625 2. 𝟑 −𝟒 + 𝟑 −𝟐 − 𝟑 𝟎 + 𝟑 −𝟑 = − 𝟔𝟖 𝟖𝟏 3. 𝟑 𝟓 −𝟑 ∙ 𝟗 𝟏𝟓 −𝟐 : 𝟑 𝟓 −𝟕 = 𝟗 𝟐𝟓 4. 𝟒 −𝟔 ∙ 𝟏𝟎 −𝟖 ∙ 𝟔 −𝟔 ∙ 𝟏𝟎 −𝟓 𝟏𝟔 −𝟒 ∙ 𝟏𝟎 −𝟏𝟎 ∙ 𝟑𝟔 −𝟑 ∙ 𝟏𝟎 −𝟏 = 0,16 Zjednodušte: 5. 𝟑∙ 𝒄 −𝟗 𝒅 𝟓 −𝟒 : − 𝟑𝟎∙ 𝒄 −𝟐 𝒅 𝟑 −𝟐 = 81 𝒄 𝟑𝟐 ∙ 𝒅 𝟏𝟒

Zdroje Literatura: 1. Čermák, P., Červinková, P.: Odmaturuj ! z matematiky 1 . 3.vydání(opravené). Brno: DIDAKTIS, 2004. 239s.ISBN 80- 7358-014-4 2.Kubešová, N. Matematika- přehled středoškolského učiva. 2. vydání dotisk. Třebíč: Petra Velanová, 2007. 239 s. ISBN 978-80-86873-05-3 3.Hudcová, M. ,Kubičíková, L.: Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium.2. vydání dotisk. Praha: Prometheus, 2006. 416s. ISBN 80- 7196- 318-6 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Šárka Čížová.