str. 1 TMF045 letní semestr 2006 VI a VII Vlastní řešení Hamiltoniánu s komplexní energií metoda komplexního škálování rozptylové stavy s komplexní energií (Lekce VI a VII)

str. 2 TMF045 letní semestr 2006 VI a VII Metoda komplexního škálování –zde uvádíme některé poznámky vedle výkladu k semináři (viz TMF045_6b ) –komplexní škálování (CS) – poprvé použil Hartree, potom Balslev, Combes,Simon (70. léta) –doporučená lit. - reviews: Reinhardt, Moiseyev operátor komplexního škálování –pro spojité funkce platí: –důkaz: napíšeme S pomocí operátoru hybnosti, abychom potom mohli využít známých komutačních relací:

str. 3 TMF045 letní semestr 2006 VI a VII Metoda komplexního škálování – pokud je funkce spojitá a lze ji vyjádřit jako mocninný rozvoj, potom stačí dokázat: – napíšeme exponenciálu S jako řadu: – dále změníme „ozávorkování“ – a znovu dáme dohromady exponenciálu (nyní s opačným pořadím x a p)

str. 4 TMF045 letní semestr 2006 VI a VII Metoda komplexního škálování – využijeme známé komutační relace x a p – výše získaná rovnice lze užít rekurzívně, takže – jelikož aplikace S na 1 dává 1, důkaz je hotov operátor S působí na funkce v p- reprezentaci takto: Příklad: Dokažte!

str. 5 TMF045 letní semestr 2006 VI a VII Metoda komplexního škálování transformace stacionární Schrödingerovy rovnice – je třeba si uvědomit, že Hamiltonián má obecně řešení v celé komplexní rovině energií. V hermitovské mechanice si klademe okrajovou podmínku, aby řešení byla kvadraticky integrovatelná (vázané stavy) nebo omezená (tj. nedivergující, rozptylové stavy). Taková řešení se nachází na reálné ose energie. – transformací komplexního škálování se nemění vlastní energie, ale transformují se vlnové funkce. Podmínku kvadratické integrovatelnosti či omezenosti nyní splňují jiná řešení v komplexní rovině, ležící na jiné křivce než je reálná osa.

str. 6 TMF045 letní semestr 2006 VI a VII Metoda komplexního škálování výsledkem transformace komplexního škálování je nehermitovský operátor energie na prostoru kvadraticky integrovatelných funkcí. S není unitární transformace, takže získáváme komplexní hodnoty E jako řešení H θ v kvadraticky integrovatelné bázi Důkaz: –ukážeme, že S + = e iθ S –s využitím x + =x a p + =p pro kv.int.fce...

str. 7 TMF045 letní semestr 2006 VI a VII Metoda komplexního škálování – z předchozího vyplývá toto pro hermitovsky sdružený transformovaný Hamiltonián: c.b.d.

str. 8 TMF045 letní semestr 2006 VI a VII Metoda komplexního škálování komplexně škálované operátory: – operátory, které komutují s x a jsou spojité (např. potenciál apod., pozor na nespojitost např. u kulombického potenciálu nebo u interpolačních polynomů.) – důkaz: – dokážeme pro operátor x – dokážeme pro operátor x n

str. 9 TMF045 letní semestr 2006 VI a VII Metoda komplexního škálování – platí-li pro mocniny x n, tak platí také pro spojité operátory o(x) – podobně ukážeme pro operátory komutující s p: – obecné spojité operátory o(x,p) – pro mocniny x n p m platí: – proto: – komplexně škálovaný Hamiltonián: Příklad: Dokažte!

str. 10 TMF045 letní semestr 2006 VI a VII Metoda komplexního škálování zobecněná definice skalárního součinu u nehermitovských funkcí – pravý vektor (rezonance) je řešením stacionární Schrödingerovy rovnice, případně řešením časově závislé Schrödingerovy rovnice pro t nekonečné – zavedeme skalární součin tak, aby jednotlivá řešení Schrödingerovy rovnice byla ortogonální: – z tohoto vyplývá, že levý vektor je řešením transponovaného Hamiltoniánu. – z definice střední hodnoty energie:

str. 11 TMF045 letní semestr 2006 VI a VII Metoda komplexního škálování – levou stranu lze zapsat také takto: – aby se levá a pravá strana rovnaly pak platí (s použitím požadavku ortogonality pravých a levých vektorů): – c.b.d. – pro speciální případ reálné energie dostáváme obvyklý skalární součin. Pro komplexní energie (jako u rezonancí) obvyklá definice levého vektoru pomocí komplexního sdružení neplatí: – pro reálné energie jsou funkce omezené, takže H + =H

str. 12 TMF045 letní semestr 2006 VI a VII Metoda komplexního škálování transformovaný levý vektor : – transformace Schröd. rov. pro levý vektor: str.7

str. 13 TMF045 letní semestr 2006 VI a VII Metoda komplexního škálování – z toho vyplývá, že transformované levé vektory jsou řešením transponovaného komplexně škálovaného Hamiltoniánu: levý vektor v x-reprezentaci – je roven odpovídajícímu pravému vektoru v x- reprezentaci, protože Hamiltonián je symetrická reálná matice v x-reprezentaci – rezonance jsou komplexní a neplatí zde tudíž běžný hermitovský skalární součin – srovnej případ reálných vázaných stavů

str. 14 TMF045 letní semestr 2006 VI a VII Metoda komplexního škálování fyzikální význam odlišné definice skalárního součinu u rezonancí – definice normy u rezonancí (integrovatelnost, pomocí transformace S či pomocí obálky) – význam: omezení integrace na zachycenou částici, odchozí částice se nezapočítá do normy – definice normy všech stavů v komplexní rovině (rozptylové stavy pro nenulové gamma se integrují podobně jako reálné rozptylové stavy na intervalu) – střední hodnoty veličin jsou nyní dobře definované (viz norma) – význam: – reálné: průměrné hodnoty fyzikálních veličin pro zachycenou část vlnové funkce – imaginární: měří úbytek částic v každém bodě fázového prostoru (v projekci do konjugované veličiny), vztah k principu neurčitosti E t

str. 15 TMF045 letní semestr 2006 VI a VII Metoda komplexního škálování konečná báze a komplexní variační princip – dE/dth = 0 – nutno měnit ještě další parametr výhody výpočtu rezonancí pro výpočet průřezů – Greenův operátor se napíše v bázi nehermitovských stavů – často lze zanedbat rotované kontinuum, které má vliv pouze na pozadí spektra, ale ne na rezonanční strukturu, která dominuje – získáme sumu přes diskrétní stavy