INTERVALY SOŠ Josefa Sousedíka Vsetín Zlínský kraj Anotace Autor Mgr. Šárka Čížová Anotace Prezentace PowerPoint je určena pro studenty prvních ročníků všech maturitních oborů, je zaměřena k osvojení pojmů interval, interval otevřený, uzavřený, polouzavřený, omezený interval, neomezený interval. Výukový materiál slouží také k procvičení svých vědomostí na daných příkladech a následnou kontrolu výpočtů. Očekávaný přínos Žák si zopakuje zápis intervalu, zobrazení intervalu na číselné ose, zobrazení dané množiny, sjednocení a průnik intervalů, upevní a následně ověří své znalosti na příkladech. Tematická oblast Operace s čísly a výrazy Téma Intervaly Předmět Matematika Ročník První Obor vzdělávání Maturitní obory Stupeň a typ vzdělávání Střední odborné vzdělávání Název DUM Š21_S1_05_Intervaly Datum 31.5.2013 SOŠ Josefa Sousedíka Vsetín Zlínský kraj

INTERVAL Interval je podmnožina množiny všech reálných čísel, která se na číselné ose zobrazí jako úsečka, polopřímka nebo jako celá číselná osa. Intervaly: omezené – zobrazujeme úsečkou 𝑎,𝑏 neomezené - zobrazujeme polopřímkou nebo přímkou 𝑎, ∞) a a b

Přehled omezených intervalů Uzavřený interval od a do b: 𝑎,𝑏 = 𝑥∈𝑅;𝑎≤𝑥≤𝑏 a b Polouzavřený interval od a do b : a) zleva otevřený a zprava uzavřený ( 𝑎,𝑏 = 𝑥∈𝑅;𝑎<𝑥≤𝑏 a b b) zleva uzavřený a zprava otevřený: 𝑎 , 𝑏 = 𝑥∈𝑅;𝑎≤𝑥<𝑏 a b Otevřený interval od a do b: 𝑎,𝑏 = 𝑥∈𝑅;𝑎<𝑥<𝑏

𝑃řehled neomezených intervalů K zápisu neomezených intervalů se používá: znak +∞ (nebo ∞) – čteme plus nekonečno -∞ čteme minus nekonečno Interval zleva uzavřený od a do nekonečna: 𝑎, ∞ = 𝑥∈𝑅;𝑥≥𝑎 a Interval zleva otevřený od a do nekonečna: 𝑎,∞ = 𝑥∈𝑅;𝑥>𝑎 Interval zprava uzavřený od minus nekonečna do a: −∞, 𝑎 = 𝑥∈𝑅;𝑥≤𝑎 a Interval zprava otevřený od minus nekonečna do a: −∞,𝑎 = 𝑥∈𝑅;𝑥<𝑎 a Interval od plus do minus nekonečna: −∞,∞

Sjednocení a průnik intervalů Určete a zobrazte na číselné ose sjednocení a průnik intervalů: a) −1, 3 , 0, 4 -1 0 3 4 sjednocení: −1, 3 ∪ 0, 4 = −𝟏, 𝟒 průnik: −1, 3 ∩ 0, 4 = 𝟎, 𝟑 b) 0, 1 , 1, 3 0 1 3 sjednocení: 0, 1 ∪ 1, 3 = 𝟎,𝟑 průnik: 0, 1 ∩ 1, 3 = 𝟎,𝟏 c) −3, 0 , 1,∞ -3 0 1 sjednocení: −3, 0 ∪ 1,∞ = −𝟑,𝟎 ∪ 𝟏,∞ průnik: −3, 0 ∩ 1,∞ = ∅

Zápis některých množin intervalem Napiš následující množiny jako intervaly a) 𝑅 + ∪ 0 0 𝟎 , ∞ b) 𝑅 − −∞ , 𝟎 c) Q nelze

Určete sjednocení a průnik intervalů b) 1, 2 ∪ 0,∞ = 1, 2 ∩ 0, ∞ = c) −∞, −2 ∪ 1, 3 = −∞, −2 ∩ 1, 3 = d) 3,∞ ∪ 4, ∞ = 3, ∞ ∩ 4, ∞ = e) −4, −3 ∪ −3, 4 = −4, −3 ∩ −3, 4 = f) ( -2, 1 ) ∪ −2, 1 = (-2, 1 ) ∩ −2, 1 =

Řešení a) −∞ , 5 ∪ 3 , ∞ = −∞ , ∞ −∞ , 5 ∩ 3 , ∞ = 𝟑 , 𝟓 3 5 3 5 b) 1 ,2 ∪ 0 ,∞ = 𝟎 ,∞ 1 , 2 ∩ 0,∞ = 𝟏 , 𝟐 0 1 2 c) −∞ ,−2 ∪ 1 , 3 = −∞ ,−𝟐 ∪ 𝟏 , 𝟑 −∞ , −2 ∩ 1 , 3 = ∅ -2 1 3 d) 3,∞ ∪ 4 ,∞ = 𝟑 ,∞ 3 ,∞ ∩ 4 ,∞ = 𝟒,∞ 3 4 e) −4, −3 ∪ −3 , 4 = −𝟒 , 𝟒 −4,−3 ∩ −3 , 4 = ∅ -4 -3 4 f) ( -2 , 1 ) ∪ −2 , 1 = −𝟐 , 𝟏 ( -2 , 1 ) ∩ −2 , 1 = −𝟐 , 𝟏 -2 1

Kontrola znalostí A B 1. Zapište množinu reálných čísel jako interval: 1. Zapište množinu reálných čísel jako interval: a ) -4 ≤ x ≤ 2 a ) x ≥ 2 b) x < - 1 b ) -3 < x ≤ 1 2. Zobrazte dané množiny na reálné ose: 2. Zobrazte dané množiny na reálné ose: a ) 𝑥 ∈ R; x ≥ 𝟏 a ) 𝑥 ∈ R; x < −𝟔 b ) 𝑥 ∈ R; 2 < x ≤ 𝟑 b ) 𝑥 ∈ R; -1 ≤ x < 4 Zapište jako interval. Zapište jako interval. 3. Určete sjednocení a průnik intervalů 3. Určete sjednocení a průnik intervalů ( zobrazte na reálné ose, výsledek zapiš jako interval) (zobrazte na reálné ose, výsledek zapiš jako interval a ) ( -∞ , 𝟔 , 𝟑 , ∞ a ) 𝟐 , 𝟓 , (2 , ∞) b ) −𝟑 , 𝟒 , −∞ , 𝟒 b ) −∞ , 𝟑 , 𝟑 , ∞ c ) −∞ , −𝟐 , −𝟐 , ∞ c ) −𝟏 ,𝟒 , 𝟒 , ∞ d ) 𝟏 ,𝟐 , 𝟏 , ∞ d ) ( -∞ , 𝟐 , −𝟏 , ∞

Výsledky 1. a) −4 , 2 1. a) ⟨2 , ∞) b) −∞ , −1 b) −3 , 1 1 -6 b) 2 , 3 b) −1, 4 2 3 -1 4 3. a) sjednocení: −∞ , ∞ 3. a) sjednocení: (2 , ∞) průnik: 3 , 6 průnik: 2 , 5 3 6 2 5 b) sjednocení : −∞ , 4 b) sjednocení: −∞ , ∞ průnik : −3 , 4 průnik: 3 -3 4 3 c) sjednocení: −∞ , ∞ c) sjednocení: −1 , 4 ∪ (4 , ∞ ) průnik: 2 průnik : ∅ -2 -1 4 d) sjednocení: 1 , ∞ d) sjednocení: −∞ , ∞ průnik: 1 , 2 průnik : −1 , 2 1 2 -1 2

Zdroje Literatura: CALDA, E. Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU, 1.díl. 1. vydání. Praha: Prometheus, 2003. 213 s. ISBN 80-7196-020-9 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Šárka Čížová.