Konstruktivní geometrie Jana Čápová Katedra matematiky B-304 Konzultační hodiny: St 14-15 capova@mat.fsv.cvut.cz http://mat.fsv.cvut.cz/capova

Co dnes uslyšíte? Harmonogram předmětu Úvod do geometrie přednášky, cvičení Úvod do geometrie co, kam, jak Zobrazení prostoru způsoby, jednoznačnost, řešní

Literatura Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie (skripta, FSv ČVUT, 2005) Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie (monografie, FSv ČVUT, 1998, 2003) http://mat.fsv.cvut.cz/capova

Harmonogram Zobrazení – rovnoběžné (Mongeovo, axonometrie), středové (perspektiva), fotogrammetrie Osvětlení (rovnoběžné) Křivky – analytický popis, tečny, normály Šroubovice a šroubové plochy Kvadriky – analytický popis, skicování

Harmonogram Zobrazení – rovnoběžné (Mongeovo, axonometrie), středové (perspektiva), fotogrammetrie Osvětlení (rovnoběžné) Křivky – analytický popis, tečny, normály Šroubovice a šroubové plochy Kvadriky – analytický popis, skicování

Harmonogram Zobrazení – rovnoběžné (Mongeovo, axonometrie), středové (perspektiva), fotogrammetrie Osvětlení (rovnoběžné) Křivky – analytický popis, tečny, normály Šroubovice a šroubové plochy Kvadriky – analytický popis, skicování

Harmonogram Zobrazení – rovnoběžné (Mongeovo, axonometrie), středové (perspektiva), fotogrammetrie Osvětlení (rovnoběžné) Křivky – analytický popis, tečny, normály Šroubovice a šroubové plochy Kvadriky – analytický popis, skicování

Harmonogram Zobrazení – rovnoběžné (Mongeovo, axonometrie), středové (perspektiva), fotogrammetrie Osvětlení (rovnoběžné) Křivky – analytický popis, tečny, normály Šroubovice a šroubové plochy Kvadriky – analytický popis, skicování

Panama

Bochumi

Möglingen

Londýn

Úvod do geometrie

Úvod Konstruktivní geometrie Co? Kde? Jak? je věda o grafickém a numerickém zobrazení a řešení rovinných problémů. Co? Body-Přímky-Roviny-Křivky-Plochy-Tělesa Kde? Souřadnicový systém Jak? Výpočtem (analytická a diferenciální geometrie) Konstrukčně (zobrazení)

Co … Jehlanová a kuželová plocha: jehlanová = řídicí polygon + vrchol kuželová = řídicí křivka + vrchol str. 5-7

Co … Hranolová a válcová plocha: hranolová = řídicí polygon + směr válcová = řídicí křivka + směr

pravidelný čtyřboký jehlan Jaká tělesa znáte? kvádr kosý šestiboký hranol osmistěn dvanáctistěn pravidelný čtyřboký jehlan

What solids have you already known? kolmý trojboký hranol pravidelný pětiboký jehlan dvacetistěn kulová plocha rotační kužel rotační válec

Kde … Pravoúhlá kartézská soustava souřadná: Pevný bod O (počátek) a 3 vzájemně kolmé přímky x, y, z, (osy). π(x,y) – půdorysna ν(x,z) – nárysna μ(y,z) – bokorysna Souřadnice bodu M: xM=|MM3|, M3- bokorys M, yM=|MM2|, M2- nárys M, zM=|MM1|, M1- půdorys M, M=[xM, yM, zM]. str. 15-16

Kde … Pravotočivá… Levotočivá…

Kde … Chybějící souřadnice může být nahrazena podmínkou… Př.1: M=[2,0,?], M leží na kuželové ploše K, zM>0 . Př.2: M=[?,3,?], M leží v rovině α: x/4 +z/2=1 a β: x/2 +z/4=1. Př.3: Vymyslete vlastní návrh.

Jak… Promítáním! Promítání P je zobrazení prostoru E3 na rovinu ρ (průmětna). P: E3 → E2 A → A‘ 2 základní druhy promítání: rovnoběžné a středové. str. 18-19

Rovnoběžné promítání

Rovnoběžné promítání Průmětna … ρ Směr … s (s  ρ) A’ = průmět bodu A. s  ρ … pravoúhlé s  ρ … kosoúhlé A’ = průmět bodu A.

Rovnoběžné promítání - vlastnosti Průmět bodu je Průmět přímky je Průmět roviny je bod. přímka nebo bod. celá průmětna nebo přímka.

Rovnoběžné promítání - vlastnosti

Rovnoběžné promítání - vlastnosti

Rovnoběžné promítání - vlastnosti Sdružené průměry…

Rovnoběžné promítání - jednoznačnost

Rovnoběžné promítání - jednoznačnost

Rovnoběžné promítání – jednoznačnost Řešení Kótované promítání E3 → (ρ, ) A → (A1, kA) kóta vrstevnice na mapách

Rovnoběžné promítání – jednoznačnost Řešení Mongeovo promítání E3 →  E3 →   →  E3 →  x 

Rovnoběžné promítání – jednoznačnost Řešení Axonometrie E3 → ρ  → ρ  → ρ  → ρ E3 → ρ x ρ

Středové promítání

Středové promítání… … je promítání prostoru (bez S) na ρ tak, že obraz bodu A je bod A‘=SAρ. … je určené průmětnou ρ a středem promítání S (Sρ). Rozšířená Euklidovská přímka Rozšířená Euklidovská rovina Rozšířený Euklidovský prostor

Uplatnění středového promítání podoba lidské vidění jedním okem (S ohnisko čočky, ρ je sítnice) snímek z fotoaparátu (S je ohnisko objektivu, ρ je film) bodové osvětlení (S je zdroj světla, ρ je rovina se stínem)

Středové promítání - vlastnosti Středový průmět bodu je bod. Středový průmět nevlastního bodu je úběžník ( U  U‘ ). Středový průmět přímky je přímka. Středový průmět úsečky nemusí být úsečka. Dělící poměr obecně není zachován.

Středové promítání - vlastnosti Středový průmět přímky p||ρ je přímka p’, p’||p. Poměry na p jsou zachovány. Středový průmět dvojice rovnoběžných přímek (ani jedna neprochází S a není rovnoběžná s ρ) je dvojice různoběžek protínajících se ve společném úběžníku U’.

Pro dnešek děkuji za pozornost… Příští přednáška: Kolmé promítání Speciální přímky v rovině Obecná axonometrie Kosoúhlé promítání jednoduchých útvarů a těles