Podíl (dělení) mnohočlenů Matematika pro 8. ročník Podíl (dělení) mnohočlenů

Opakování Sčítání mnohočlenů (polynomů) Mnohočleny sčítáme tak, že sečteme jednotlivé koeficienty u odpovídajících si členů těchto mnohočlenů. Příklad: (x2 + 9x3 – 6x + 11) + (2x3 – 5x2 + x – 17) = = x2 + 9x3 – 6x + 11 + 2x3 – 5x2 + x – 17 = = 11x3 – 4x2 – 5x – 6 Odčítání mnohočlenů (polynomů) Mnohočleny odčítáme tak, že přičteme mnohočlen opačný. Opačný mnohočlen k danému mnohočlenu je mnohočlen, který má tytéž členy, ale s opačnými znaménky. mnohočlen opačný mnohočlen 2x3 – 5x2 + x – 17 – 2x3 + 5x2 – x + 17 Příklad: (x2 + 9x3 – 6x + 11) – (2x3 – 5x2 + x – 17) = = (x2 + 9x3 – 6x + 11) + (– 2x3 + 5x2 – x + 17) = = x2 + 9x3 – 6x + 11 – 2x3 + 5x2 – x + 17 = = 7x3 + 6x2 – 7x + 28

Závěr Násobení mnohočlenů Mnohočleny násobíme tak, že každý člen jednoho mnohočlenu vynásobíme každým členem druhého mnohočlenu a všechny takto vzniklé součiny pak sečteme. ( x – 5y ) . ( 2x – 3y + 4 ) = 2x2 – 3xy + 4x – 10xy + 15y2 – 20y = = 2x2 + 15y2 – 13xy + 4x – 20y

Tak to bychom měli. Pojďme to teď zkusit ještě jednou, ale jinak. Dělení mnohočlenů (polynomů) Mějme dělení závorky číslem: ( 12 + 8 ) : 4 = 20 : 4 = 5 ( 12 + 8 ) : 4 = Vypočítáme jej nejprve tak, jak nám velí naše dosavadní znalosti. To znamená vypočítáme závorku a získaný výsledek pak vydělíme. Tak to bychom měli. Pojďme to teď zkusit ještě jednou, ale jinak.

Dělení mnohočlenů (polynomů) Mějme dělení závorky číslem: ( 12 + 8 ) : 4 = 20 : 4 = 5 ( 12 + 8 ) : 4 = 3 + 2 = 5 Tak máme na světě další možnost, jak počítat podobné příklady s dělením závorky. Asi ale zůstaneme u prvního již zažitého postupu. Jenže my už nebudeme počítat jen s číselnými výrazy, ale i s výrazy s proměnnou a u nich je první postup obvykle nerealizovatelný, neboť závorka většinou vypočítat nejde. Tam by nám v tom případě mohl nově uvedený postup pomoci. Zkusme to. Zkusme vydělit každé číslo závorky zvlášť a pak získané hodnoty sečíst. Vyjde nám stejný výsledek jako v postupu prvním? ( 12x3 + 8x ) : 4x =

Dělení mnohočlenů (polynomů) Mějme dělení závorky číslem: ( 12 + 8 ) : 4 = 20 : 4 = 5 ( 12 + 8 ) : 4 = 3 + 2 = 5 2 ( 12x3 + 8x ) : 4x = 3x2 + 2 3 2

Dělení mnohočlenů (polynomů) Mějme dělení závorky číslem: ( 12 + 8 ) : 4 = 20 : 4 = 5 ( 12 + 8 ) : 4 = 3 + 2 = 5 ( 12x3 + 8x ) : 4x = 3x2 + 2 A nyní se podíváme na dvě základní možná dělení mnohočlenu: 1.) Dělení mnohočlenu celým číslem 2.) Dělení mnohočlenu jednočlenem

Dělení mnohočlenu celým číslem 3 ( 8x2 – 12xy + 4y3 ) : 4 = 2x2 – 3xy + y3 2 Podíl mnohočlenu a celého čísla vypočítáme tak, že celým číslem vydělíme postupně každý člen mnohočlenu a jednotlivé vzniklé podíly pak sečteme.

Dělení mnohočlenu jednočlenem Pozor na podmínky (nulou nelze dělit)! Nejsou určeny definičním oborem již v samotném zadání, musíme je stanovit sami. 5 x  0 ( 9x3 – 15x2y – 3xy2 ) : 3x = 3x2 – 5xy – y2 3 2 Podíl mnohočlenu a jednočlenu vypočítáme tak, že jednočlenem vydělíme postupně každý člen mnohočlenu a jednotlivé vzniklé podíly pak sečteme.

Závěr Dělení mnohočlenu jednočlenem Mnohočlen dělíme jednočlenem tak, že jednočlenem vydělíme postupně všechny členy mnohočlenu a jednotlivé vzniklé podíly pak, bude-li to možné, sečteme. (18x3y2 – 15x2y – 24xy + 81xy3) : (– 3xy) = – 6x2y + 5x + 8 – 27y2 Zapomenout nesmíme na určení podmínek řešitelnosti (toho, kdy má dělení smysl): Nulou nelze dělit! Dělitel (jednočlen) se nesmí rovnat nule. 3xy  0  x  0  y  0