Modeling claim size in time via copulas (Gaida Pettere & Tonu Kollo) Mgr. Jan Šváb

Lotyšská pojišťovnaPovinné ručení Modelování závislostivelikosti škody a zpoždění nahlášení Vývojové koeficientyArchimédovské kopuly Aplikace: výpočet IBNR rezerv – Claytonovou kopulí Úvod

1.Odhady marginálních rozdělení 2.Hledání závislosti 3.Odhad IBNR rezerv 4.Poznámky a souvislosti s praxí v ČR

Výše škody Marginální rozdělení Testovány rozdělení: Pareto, t, logaritmicko normální a Waldovo

Zpoždění mezi vznikem a nahlášením škody ve dnech Testováním různých rozdělení zjištěno, že lze také použít logaritmicko normální rozdělení Marginální rozdělení

Podrobně viz i SAV (J. Strnad). Dvourozměrná kopula – C takové, že: C(u,v), kde u, v   0,1  C(0,v) = C(u,0) = 0 a C(u,1) = u, C(1,v) = v Kopuly C je distribuční funkce a marginální rozdělení jsou rovnoměrná Nejdůležitější kopuly: Nezávislá C(u,v) = u · v Fréchetova dolní a horní

Kopuly Nechť U,V jsou R(0,1) náhodné veličiny U je s. j. klesající funkcí V  C(u,v) = min(u,v) U je s. j. rostoucí funkcí  C(u,v) = max(0,u+v-1) U, V jsou nezávislé  C(u,v) = u · v Spearmanův korelační koeficient Kendallův korelační koeficient

Kopuly Testovány archimédovské kopuly:

Kopuly Test archimédovské kopuly: Genest, Rivest (1993) Z dvourozměrných dat (x i,y i ) sestrojíme proměnnou Z, která má pozorování z i Potomkde Nyní lze použít Kolmogorov-Smirnovův test a porovnat empirickou distribuční funkci danou hodnotami z i a distribuční funkci

Kopuly Parametr  se odhadne metodou nejmenších čtverců:

Kopuly

Odhad IBNR rezerv Počet nahlášených škod za k dníPočet škod vzniklých za den Normální n.v. - počet škod vzniklých za den Logaritmicko normální n. v. – pravděpodobnost nahlášení do k dní

Odhad IBNR rezerv Simulace: počet vzniklých škod za den: V ~ N( ,  2 ) pravděpodobnost zpoždění v nahlášení škody o i dní: p i Z Claytonovy kopuly generovány dvojice - zpoždění, výše škody Vypočteny průměrné škody k danému zpoždění i: x i Vynásobením průměrů a počtů škod získáme rezervu pro škody vzniklé v den d a zpožděné o i dní Celková IBNR se získá sečtení přes d a i, v článku není uveden konkrétní postup, lze si představit různé přístupy

Poznámky k tématu: Problematika zpoždění v nahlášení, je otázkou ne jednoho dne, ale postupného nahlašování dalších a dalších nároků Korelace na rentách - zpoždění registrace renty okolo 10% Model v povinném ručení pro ČR musí být komplexnější Jiná odvětví – nejvyšší korelace v odpovědnosti Poznámky a souvislosti

Literatura

Konec Děkuji za pozornost