5.4. Účinné průřezy tepelných neutronů Při interakci neutronu s nehybným jádrem může dojít pouze ke snížení energie neutronu. Díky tepelnému pohybu jader může být neutronu jádrem předána určitá energie a to vede ke zvýšení rychlosti jeho pohybu. Proto vliv tepelného pohybu jader nelze zanedbat pokud je energie neutronu řádově kT, kde k = 1,38056.10-5 [aJ/K] = 8,6167.10-5 [eV/K] je Boltzmannova konstanta a T je absolutní teplota prostředí 5.4.1. Maxwell-Boltzmanovo rozdělení - aproximací fyzikálních jevů v oblasti tepelných energií: procesy mezi jádry a tepelnými neutrony, budeme zkoumat jako procesy vzájemného působení dvou plynů (neutronů a jader), které jsou v tepelné rovnováze

Rychlostní rozdělení: Pomocí tohoto modelu lze získat funkční závislost jak pro neutrony, tak i pro jádra. Rychlostní rozdělení: n() - počet neutronů v jednotkovém objemu s rychlostí v jedn. int. kolem  N(w) - počet jader v jednotkovém objemu s rychlostí v jedn. int. kolem w n - celkový počet neutronů v jednotkovém objemu N - celkový počet jader v jednotkovém objemu  - rychlost neutronů w - rychlost jader m - hmotnost neutronu M - hmotnost jader

Celkový počet neutronů, resp Celkový počet neutronů, resp. celkový počet jader v jednotkovém objemu soustavy: resp. Funkce: , se nazývají Maxwell-Boltzmannovy funkce rozložení podle rychlosti. Parametr T vystupující v obou funkcích je stejná veličina jak pro neutrony, tak i pro jádra. Je to přímý důsledek toho, že vztahy byly odvozeny za předpokladu, že v prostředí dochází mezi jádry a neutrony pouze k rozptylovým interakcím.

Deformace spektra tepelných neutronů způsobená přítomností absorpčních materiálů ve zpomalujícím prostředí: Obr. 5.15 – 1 – čistě rozptylující prostředí 2 – prostředí s absorbátorem

Rozbor Maxwell-Boltzmannova rozložení neutronů: Funkce popisující rychlostní rozložení tepelných neutronů, může být transformací převedena na funkci popisující energetické rozložení. Substituce: E=m2/2 Jacobián: d /dE = (m)-1  Na obr.5.16 jsou znázorněny Maxwell-Boltzmannovy funkce rozložení neutronů podle rychlosti i podle energie. Nejpravděpodobnější hodnota nezávisle proměnné je hodnota odpovídající maximu funkce rozložení

Maxwell-Boltzmannovo rozdělení tepelných neutronů při teplotě T=293,15 K Obr. 5.16

Nejpravděpodobnější rychlost tepelných neutronů získáme jako maximální hodnotu funkce n():  Energie odpovídající této nejpravděpodobnější rychlosti: Rychlost tepelných neutronů středovaná přes Maxwell-Boltzmannovo rychlostní rozložení:

Nejpravděpodobnější energii tepelných neutronů E určíme jako maximální hodnotu funkce n(E) popisující jejich energetické rozložení:  odpovídající rychlost neutronů: Střední hodnota kinetické energie tepelných neutronů:

Pokud známe funkční závislost rozložení hustoty neutronů, můžeme odvodit funkci rozložení hustoty toku neutronů v jednotkovém intervalu energie v okolí energie E: nebo kde celková hustota toku neutronů je: Ze srovnání rozložení hustoty neutronů s rozložením hustoty toku neutronů je vidět, že rozložení hustoty toku je vždy posunuto k vyšším energiím.

Maxwell-Boltzmannovo rozložení hustoty neutronů a hustoty toku neutronů Obr. 5.17

5.4.2. Efektivní teplota neutronů Při popisu rozložení tepelných neutronů použijeme efektivní teplotu, která je vyšší než teplota prostředí, ve kterém neutrony difundují Nejmenší střední kvadratickou odchylku Maxwell-Boltzmannova rozložení hustoty toku neutronů od vypočtené hustoty toku neutronů ve studované oblasti obdržíme, když do vztahu pro hustotu neutronů dosadíme místo teploty T efektivní teplotu neutronů Tn : kde TN je teplota moderujícího prostředí, A je poměr hmotností moderátoru a neutronu a T0 = 293,15 K Tento vztah vyhovuje s dostatečnou přesností v případech, kdy 1  A25 a

Jiná vyjádření efektivní teploty: Cohen: Brown:

5.4.3. Středování účinných průřezů pro tepelné neutrony soustava s makroskopickým účinným průřezem S(E) umístěna v poli tepelných neutronů, energetické rozložení můžeme popsat Maxwell-Boltzmannovou funkcí odpovídající efektivní teplotě neutronů Tn. Počet interakcí v 1m3 za 1s je: Střední hodnota makroskopického účinného průřezu: Předpokládáme, že účinný průřez pro absorpci tepelných neutronů se řídí zákonem 1/. potom

Po integraci: Vztah pro střední hodnotu makroskopického účinného průřezu materiálu, pro který platí zákon 1/ a platí ET=kTn a bude mít v Maxwell-Boltzmannově rozložení hustoty toku tvar: Pro materiály, u kterých se účinný průřez pro absorpci neřídí přesně zákonem 1/, se zavádí faktor g(Tn ) 

Závislost g-faktoru na teplotě pro 235U a 238U Středování mikroskopického účinného průřezu:

5.4.4. Efektivní účinný průřez zavádí se pro velmi dobře moderované reaktorové systémy (Westcott) kde 0 = 2200 m/s, () je účinný průřez při rychlosti . Předpokládá se, že neutronové spektrum n(u) má dvě složky. První je tvořena Maxwell-Boltzmannovým rozložením při efektivní teplotě neutronového plynu Tn, druhá složka je epitermální, která je úměrná 1/u2 ~ 1/E. Pro přechodovou oblast mezi Maxwellovským rozložením a epitermální částí spektra 1/E, tj. kolem tzv. hraniční energie mkTn (cut-off energy), Westcott zavedl spojovací funkci D (joining function). Pro těžkovodní moderátory je veličina m = 5, pro grafitový moderátor je nižší.

Spektrum neutronů v tepelném reaktoru - znázorňuje spojení Maxwellovské a epitermální složky při hraniční energii kTn Obr. 5.18

Westcottův formalismus - pro štěpnou i neštěpnou absorpci neutronů, jejichž účinný průřez se řídí zákonem 1/u, se efektivní hodnota účinného průřezu pro libovolné spektrum neutronů rovná účinnému průřezu při rychlosti u0, který je tabelován, tj. Neutronové spektrum můžeme vyjádřit ve tvaru: uT - nejpravděpodobnější rychlost v Maxwell-Boltzmannově rozdělení při teplotě Tn D - spojovací (hraniční) funkce r - epitermální index, který vyjadřuje relativní příspěvek epitermální složky (pro čistě Maxwellovské spektrum je r = 0) Funkce D se používá ve tvaru:

Celková hustota neutronů zahrnující tepelné i epitermální neutrony: Efektivní účinný průřez můžeme vyjádřit ve tvaru: s0 - mikroskopický účinný průřez pro 0, g(Tn ) - faktor, který je mírou odchylky účinného průřezu od zákona 1/u v Maxwellovské oblasti (pro 1/u absorbátor je g(Tn ) = 1), s(Tn ) - faktor, který je mírou odchylky účinného průřezu od zákona 1/u v epitermální oblasti. Celková reakční rychlost:

Konvenční hustota toku: Účinný průřez při rychlosti  v čistě Maxwellovském spektru: Střední hodnota mikroskopického účinného průřezu: S využitím rovnosti dostaneme pro Maxwellovské spektrum:

Po dosazení za pro T = Tn obdržíme vztah pro střední hodnotu mikroskopického účinného průřezu ve tvaru: Po dosazení za efektivní účinný průřez v tepelné oblasti (r = 0) dostaneme znovu výraz: