I. Měřítka kvantového světa Cvičení KOTLÁŘSKÁ 2. BŘEZNA 2011 F4110 Kvantová fyzika atomárních soustav letní semestr

2 Šikovné jednotky Pro odhady veličin v atomárním světě je vhodná volba jednotek velmi důležitá

3 m e = 9.11  kg e = 1.60  C  = 1.05  Js c = 3.00  10 8 ms -1 k B = 1.38  JK -1 Jednotky atomistice přiměřené v rámci soustavy SI nm, eV, fs, V, K (místo m, kg, s, A, K) 1 eV je energie, kterou elementární náboj získá při průchodu potenciálním rozdílem 1 V, 1 eV = 1.60  J Pak  = 0.66 eVfs m e =5.7 eVfs 2 nm -2 e = 1.00 eVV -1 k B =1/11604 eVK -1 c = 3.00  10 2 nmfs -1 Šikovné jednotky -- k zapamatování

4 Relace neurčitosti Odhad bez počítání pro ionisační potenciály atomů

5 Harmonický oscilátor Odhad z Heisenbergových relací: energie nulových kmitů

6 3. Planckova konstanta jako hraniční hodnota Toto je generická forma Heisenbergových relací. Vlastně je to, ne Pořádně odvozeno To se nám teď hodí na oscilátor, kde pracujeme vlastně přesně, i když tak dalece bez počítání. Musí se ale připomenout

7 Odhad z relace neurčitosti To je standard, takže jen schematicky

8 Velikost atomů Jaké jsou empirické údaje o velikosti atomů Jaké jsou teoretické důvody pro tyto údaje

9 Opakování o atomech atom OBAL Z elektronů JÁDRO Z protonů N=A-Z neutronů náboj jádra hmotnost atomu poloměr jádra Q = Z |e| M ~ A u R = r 0 A 1/3 r 0 = 1,2  m V cm 3 atomový objem = rel. at. hmotnost g/ 10 3  hustota objem na atom = atomový objem / Avogadr. číslo … odhad z empirických dat

Výpočet empirických poloměrů 10

11 Relace neurčitosti -- aplikace Propojíme prostorovou rozlehlost L a energii E vázaného stavu částice o hmotnosti m … kriterium ultrakvantového režimu 1. krok kinetická energie částice ve vázaném stavu (v potenciál. jámě) 2. krok odhad z relace neurčitosti 3. krok kinetická a celková energie stejného řádu ~ příznak ultrakvantového stavu Platí pro coulombickou interakci:  Stabilita atomů a hmoty vůbec energie kvant. fluktuací

12 Odhad ionizační energie atomu z relace neurčitosti použijeme našich jednotek nm, eV, fs Empirické poloměry atomů mají hodnoty v řádu 0,1 nm (1Å) Energie valenčních elektronů v atomech pak vycházejí v řádu eV

Atomové (protonové) číslo Ionizační energie atomů Ionizační energie eV

Atomové (protonové) číslo Atomový poloměr nm 0,25 0,15 0,10 0,05 0,20

15 Atomové jednotky Rozměrové úvahy

16 Přirozené soustavy jednotek závisejí na výběru fundamentálních konstant Atomové přirozené jednotky Atomové jednotky Inspirace od Bohra(1913) Rozměrová úvaha  relevantní veličiny Dvě podmínky pro Bohrův poloměr a Hartreeho energii (rozměrové kombinace … kinetická energie a Coulomb. potenciál. energie) Výsledek v plné shodě s Bohrovou teorií

17 Přirozené soustavy jednotek závisejí na výběru fundamentálních konstant Atomové přirozené jednotky Atomové jednotky Inspirace od Bohra(1913) Rozměrová úvaha  relevantní veličiny Dvě podmínky pro Bohrův poloměr a Hartreeho energii (rozměrové kombinace … kinetická energie a Coulomb. potenciál. energie) Výsledek v plné shodě s Bohrovou teorií

19 Zobecnění Bohrovy teorie Iont s jediným elektronem Meze nerelativistické teorie O konstantě jemné struktury

20 Semiklasický popis vodíkupodobného iontu podle Bohra iont OBAL 1 elektron JÁDRO Z protonů náboj jádra hmotnost atomu poloměr jádra Q = Z |e| M ~ A u>2Z u >> m e R = r 0 A 1/3 << r r 0 = 1,2  m e<0 Elektron obíhá rychlostí v kolem nehybného jádra. Má hybnost p= m e v, moment hybnosti m e vr, odstředivá síla je m e v 2 /r … všecho klasické Přitahován je coulombickou silou Připojeno je kvantování, prostřednictvím kvanta akce, Planckovy konstanty . Veličina ke kvantování vhodná má rozměr akce. To je právě moment hybnosti.

21 Bohrova teorie vodíkupodobného iontu Dvě podmínky pro Bohrův poloměr a Hartreeho energii odstř. síla= dostř. síla Klasická podmínka kvantování momentu hybnosti Kvantová podmínka Výsledek

Vztah k relativitě 22

23 Planckovy přirozené jednotky ověříme průsečík v Bičákově diagramu

24 Přirozené soustavy jednotek závisejí na výběru fundamentálních konstant Planckovy "přirozené" jednotky Planckovy jednotky Sestavíme veličiny o rozměru délka, hmotnost, čas To jsou Planckovy jednotky, historicky první přirozené jednotky... jak je navrhl 1899, sotva svou konstantu zavedl, ještě bez dnešní interpretace Hodnoty Planckových jednotek jsou poněkud zarážející

25 a hmotnosti L (m) Hmotnost M (kg)

The end