Stereometrie Odchylky rovin VY_32_INOVACE_M3r0116 Mgr. Jakub Němec

Odchylky rovin Při zjišťování odchylek dvou rovin využijeme téměř všech znalostí, které jsme se doposud naučili. Pro nás však bude nejdůležitější pravidlo, bez něhož nelze odchylku rovin určit: Odchylka dvou rovin je odchylka jejich průsečnic s rovinou, která je k oběma rovinám kolmá. Hlavním úkolem při hledání odchylky rovin a při získávání její velikosti pro nás bude najít kolmou rovinu. Dále bude příklad založen na dopočtení úhlu v rovinném útvaru, jenž získáme z řezu, který určí získaná kolmá rovina. Pro velikost odchylky rovin platí, že 𝛼≤90°. V případě, že výsledek vyjde větší než 90°, dopočteme vedlejší úhel, tedy doplněk do 180°, což bude námi hledaná odchylka.

V krychli ABCDEFGH o hraně 7 cm určete odchylku rovin ACG a BDH. Nejprve musíme sestrojit řezy rovin, aby bylo možné určit rovinu, která bude k oběma rovinám kolmá.

V tomto příkladu je evidentní, že kolmou rovinou je dolní podstava krychle (popř. horní podstava, nebo jiné rovnoběžné roviny). Vycházíme z definice kolmosti rovin, kdy jsou roviny kolmé, pokud nalezneme v jedné rovině přímku, která je kolmá k druhé rovině.

V nalezené rovině určíme průsečnice zadaných rovin. Tyto přímky svírají úhel, který je naší hledanou odchylkou.

Z vlastností čtverce (jsme ve stěně krychle) je jasné, že hledaná odchylka je α= 90° (průsečnice jsou úhlopříčky ve čtverci).

V krychli ABCDEFGH o hraně 8 cm určete odchylku rovin ABC a BDE. Nejprve musíme sestrojit řezy rovin, aby bylo možné určit rovinu, která bude k oběma rovinám kolmá.

Hledaná kolmá rovina je úhlopříčná rovina v krychli.

Zde jsou znázorněny kolmice, které jsou kolmé na zadané roviny a zároveň leží v námi určené rovině. Rovina ACG je tedy kolmá na roviny ABC a BDE.

Nalezená rovina určí řez v krychli, získáme tedy rovinný útvar – v tomto případě obdélník ACGE. V něm znázorníme průsečnice s rovinami ABC a BDE, které svírají hledanou odchylku 𝛼. Vzhledem k tomu, že známe dva rozměry v pravoúhlém trojúhelníku ASE (a je hrana krychle a x je polovina úhlopříčky), můžeme pro výpočet využít funkce tangens.

tan 𝛼 = 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑎× 2 2 = 2 𝛼≐𝟓𝟓° tan 𝛼 = 𝑎 𝑥 = 8 4× 2 = 2× 2 2 = 2 𝑎=8 cm Zde vidíte výpočet (obecný – jsme přece jen v krychli, a s konkrétními hodnotami). Řešiteli však nic nebrání v dopočtení rozměru y pomocí Pythagorovy věty a poté využít jiné goniometrické funkce. 𝑥= 𝑢 2 = 𝑎× 2 2 = 8× 2 2 =4× 2 tan 𝛼 = 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑎× 2 2 = 2 𝛼≐𝟓𝟓° tan 𝛼 = 𝑎 𝑥 = 8 4× 2 = 2× 2 2 = 2 𝛼≐𝟓𝟓°

V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV s podstavnou hranou 6 cm a s výškou 13 cm určete odchylku rovin ABC a ADV. Nejprve musíme sestrojit řezy rovin, aby bylo možné určit rovinu, která bude k oběma rovinám kolmá.

Rovina STV (znázorněna zeleno barvou) je kolmá k rovinám ABC a ADV. Na dalším obrázku je zdůvodnění její kolmosti.

Zde jsou znázorněny kolmice, které jsou kolmé na zadané roviny a zároveň leží v námi určené rovině.

Nalezená rovina určí řez v krychli, získáme tedy rovinný útvar – v tomto případě rovnoramenný trojúhelník STV, kde body S a T jsou po řadě středy hran AD a BC. V trojúhelníkovém řezu znázorníme průsečnice s rovinami ABC a ADV, které svírají hledanou odchylku 𝛼.

tan 𝛼 = 𝑣 𝑎 2 = 2𝑣 𝑎 tan 𝛼 = 26 6 = 13 3 𝛼≐𝟕𝟕° 𝑎=6 cm 𝑣=13 cm Zde je uveden výpočet úhlu. Řešiteli však nic nebrání v dopočtení rozměru w (výška boční stěny) pomocí Pythagorovy věty a poté využít jiné goniometrické funkce. 𝑎=6 cm 𝑣=13 cm tan 𝛼 = 𝑣 𝑎 2 = 2𝑣 𝑎 tan 𝛼 = 26 6 = 13 3 𝛼≐𝟕𝟕°

Ještě jedna užitečná vlastnost rovin Na závěr musíme zmínit jednu velmi důležitou vlastnost rovin, kterou lze využít pro usnadnění výpočtu odchylky rovin: Mějme roviny 𝜌 𝑎 𝜎, které mají určitou odchylku 𝛼. Jakákoliv rovina, která bude rovnoběžná s rovinou 𝜌, bude mít s rovinou 𝜎 stejnou odchylku 𝛼. Využití této vlastnosti rovin si ukážeme v následujícím příkladu.

V krychli ABCDEFGH o hraně 8 cm určete odchylku rovin ABC a KLM, kde body K, L a M jsou po řadě středy hran BC, CD a CG. Nejprve musíme sestrojit řezy rovin, aby bylo možné určit rovinu, která bude k oběma rovinám kolmá.

Odchylku rovin lze vypočítat i s rovinou KLM (museli bychom určit čtvrtinu úhlopříčky čtverce a polovinu hrany krychle – sami si můžete příklad v této podobě vyzkoušet), ale my si můžeme usnadnit práci tím, že najdeme rovnoběžnou rovinu k rovině KLM (odchylka tak bude zachována). Ta je určena body BDG (rovnoběžky KL a BD, KM a BG, LM a DG). Tento příklad už jsme dnes již řešili, takže by pro vás neměl být problém jej vyřešit.

Úkol závěrem 1) V krychli ABCDEFGH o hraně 12 cm určete odchylku rovin BDG a EFG. 2) V krychli ABCDEFGH o hraně 8 cm určete odchylku rovin BDG a CFH. 3) V kvádru ABCDEFGH o hraně |AB|= 4 cm, |BC|= 10 cm a |AE|= 12 cm určete odchylku rovin BDG a EFG. 4) V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV s podstavnou hranou 9 cm a s výškou 5 cm určete odchylku rovin BCV a ADV.

Zdroje Literatura: POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7. Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.