CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ 11. PŘEDNÁŠKA Lineární programování - 1 © Ing. Václav Rada, CSc. Březen 2014

CW05 POKRAČOVÁNÍ ….. METODY ŘEŠENÍ s úvodem patřícím do oblasti lineárního programování ☺ Březen 2013

CW05 Lineární programování - historie Historie lineárního programování se datuje do poválečných let a je spojena hlavně se jmény: George B. Dantzig, který publikoval práci o simplexové metodě v roce 1947, John von Neumann, který vypracoval teorii duality v tomtéž roce, Leonid Kantorovich, ruský matematik, který použil obdobných technik (postupů) v eko-nomice dříve než Datzing. Březen 2009

CW05 Lineární programování V matematice se lineární programování (LP) týká optimalizace lineární cílové funkce, která je subjektem lineárních rovnic a nerovnic. Při řešení rozhodovacích problémů je nezbyt-né respektovat větší či menší počet omezují-cích podmínek a předpokladů a přitom je nez-bytné i tehdy najít nejlepší (pokud možno optimální) řešení. Březen 2010

CW05 Lineární programování Při reprezentaci optimalizace matematickými formulacemi se používá lineárních matem. rovnic, nerovnic, funkcí, … = lineární modelování, programování nebo lineární optimalizační model. Březen 2013

CW05 Lineární programování Varianta řešení rozhodovacích problémů pomocí LP, je jednou z nejoblíbenějších typů optimalizačních úloh. I tyto modely obsahují určitou dávku nepřes-ností vyplývající z nutného předpokladu linearity zobrazovaných procesů. Březen 2014

CW05 Lineární programování Malé modely lze řešit celkem jednoduše graficky – geometrickou interpretací lineárních nerovnic, pomocí vlastností konvexních množin a grafickým sčítáním vektorů. Březen 2014

CW05 Lineární programování Větší a složitější modely - univerzální simplexová metoda založená na Jordanově eliminační metodě pro řešení soustavy lineárních rovnic – byla speciálně vyvinuta pro oblast lineárního programování. Březen 2013

CW05 Lineární programování Lineární programování (LP) - oblast mate-matického programování zabývající se řešením úloh, které je možné formulovat s pomocí modelů v nichž jsou kriteriální funkce i všechny rovnice a nerovnice podmínek tvořeny lineárními výrazy. Březen 2010

procesy k ovlivňování výsledného efektu (řidi-telné vstupy) CW05 Lineární programování – matematický popis Při sestavování matematického modelu je bezpod-mínečně nutné znát modelovaný systém a mít řešený problém dobře definovaný …. v praxi: procesy k ovlivňování výsledného efektu (řidi-telné vstupy) cíl jehož dosažení je potřeba (většinou obsahuje i optimalizační kritéria) činitelé omezující jakýmkoliv způsobem realizaci těchto procesů a které v rámci řešení daného prob-lému nelze ovlivňovat (neřiditelné vstupy). Březen 2010

CW05 Lineární programování – matematický popis Protože jednou z hlavních aplikačních oblastí je ekonomika, předpokládá se obvyklý postup kon-struování matematického modelu na základě zna-lostí ekonomického modelu. Vzhledem k různorodosti reálné praxi nelze sta-novit (poskytnout) jednoznačný, konkrétní a po-drobný obecný postup sestavování matema-tického modelu – pouze doporučení … Březen 2010

CW05 Lineární programování – matematický popis … pouze 3 doporučení: definování rozhodovacích proměnných [zejména všech jejich možných číselných hodnot i mezních – dávají pak výslednou hodnotu kritéria + dtto znalost pro hodnoty kritérií i výsledků s nimiž lze považovat úlohu za vyřešenou -►na počátku řešení jsou ne-známé a proto jsou (každá jedna hodnota) repre-zentovány (jednou) rozhodovací proměnnou u které je znám její reálný (existující a platný) význam i její fyzikální rozměr, počty a hodnoty, atd.] …….. Březen 2010

CW05 Lineární programování – matematický popis …….. formulování kriteriální (účelové) funkce [je měřít-kem kvality nebo efektivnosti aktuálního řešení – je to funkce závislá na hodnotách definovaných rozho-dovacích proměnných – definice závisí na formulací cílů řešení – při řešení matematického modelu se hledají takové hodnoty pro které proměnné nabývají maximální (zisk, produktivita, počty výrobků, vytíže-nost, objem výroby, atp.) nebo minimální (náklady, počet pracovníků, spotřeba (vyčerpávání) zdroje, atp.) velikosti (hodnoty) – …. Březen 2009

CW05 Lineární programování – matematický popis … – kriteriální funkce musí být sestavena tak, aby její hodnota“oceňovala“ každé myslitelné řešení úlohy – tj. dávala pokud možno optimální výsledek (řešení) splňující kriterium] ……… Březen 2009

CW05 Lineární programování – matematický popis - formulování všech omezení působících na úlohu [jedná se o správné zformulování všech omezují-cích činitelů ve formě rovnic nebo nerovnic –►čím je hledání řešení omezeno + jak to omezení funguje (které proměnné a jakým způsobem jsou omezeny) – – pokud nejsou formulovány skutečně všechny potřebné (platné, existující, relevantní, …) omezení = řešení je chybné – řešení musí zahrnovat i tzv. vazební podmínky mezi nejrůznějšími proměnnými a musí obsahovat (v neposlední řadě) i „obligátní“ podmínky určující obor hodnot jednotl. proměných.] Březen 2010

CW05 Lineární programování – matematický popis Další rozpracované (detailnější) „pomůcky“ vedoucí k úspěšnému sestavení lineárního modelu: - formulování neřiditelných vstupů (koeficienty úlo-hy) – všechny neřiditelné vstupy lze zapsat do ta-bulky – neřiditelné vstupy jsou dány souhrnem všech relevantních číselných údajů z úplného (!) zadání úlohy – jsou to vlastně konstanty vstupující (řešením neovlivnitelně) do řešení a takto musí být respektovány Březen 2010

CW05 Lineární programování – matematický popis - formulování řiditelných vstupů (rozhodovací pro-měné) – pro úspěšnou konstrukci matematického modelu je správné určení rozhodovacích proměn-ných modelu – někdy je určení jednoduché, někdy musí předcházet hluboký rozbor – je mnohdy i zá-ležitostí zkušenostní – i schopností myslet v daných kategoriích –►mohou vznikat různé modely (dokon-ce mohou i správně úlohu popisovat) … proto ná-sleduje příklad popisu Březen 2010

CW05 Lineární programování – matematický popis Popis jednoho z mnoha správných přístupů k volbě proměnných lineárního matematického modelu: především je nutno si uvědomit, že prakticky jedi-ným výstupem modelu je řešení tvořené konkrétní-mi číselnými hodnotami proměnných – proto výsle-dek (vyřešení úlohy) se musí získat z těchto údajů a jejich výstupního řešení … Březen 2014

CW05 Lineární programování – matematický popis … - pro každý číselný údaj musí být definována jedna proměnná, což musí znamenat, že každému pro-cesu je přirazena jedna proměnná označovaná jako strukturní proměnná - hodnotami těchto proměn-ných jsou úrovně jednotlivých procesů Březen 2014

CW05 Lineární programování – matematický popis cíle prováděné analýzy (kritérium) – ze zadání vyplyne, co je výsledkem (obvykle jím bývá zisk, neboli řešení ekonomické) – v každém případě se hledá funkční závislost vyjadřující tento vztah – bude se maximalizovat nebo minimalizovat ….. Cíl analýzy: nalezení extrému (maxima či minima) lineární funkce označované jako účelová nebo kriteriální funkce. Březen 2014

CW05 Lineární programování – matematický popis - omezující faktory (omezující podmínky) – musí rovněž vyplynout ze zadání úlohy – a jsou to údaje nějakým způsobem omezující množinu řešení – je zde vhodné použít kontrolu rozměrů fyzikálních veličin (fyzikálních jednotek) představujících kon-krétní hodnoty úlohy Březen 2010

CW05 Lineární programování – matematický popis - jednotlivé omezující podmínky (č. 1, č. 2, atd. ) – přesná specifikace omezujících podmínek a jejich hodnoty – obvykle je to třeba nějaké nepřekročitelné maximum Březen 2010

CW05 Lineární programování – matematický popis - obligátní podmínky (podmínky nezápornosti) – logicky je tato podmínka samozřejmá, ale matema-ticky musí být určena (vymezena) a vyloučena. Březen 2010

Zobecněný matematický popis: CW05 Lineární programování – matematický popis Zobecněný matematický popis: V následujících slidech je uvedeno zobecnění před-cházejících podmínek a potřeb nezbytných ke sprá-vnému (a vůbec realizovatelnému) řešení v podobě obvyklých matematických vztahů. Prvním krokem je vždy definice proměnných - mate-matický model se vždy skládá z - účelové funkce a - množiny podmínek. Březen 2010

Zobecněný matematický popis vychází z předpo-kladu, že v modelu bude: CW05 Lineární programování – matematický popis Zobecněný matematický popis vychází z předpo-kladu, že v modelu bude: n … počet definovaných proměnných m … počet potřebných omezení úlohy xj … označení proměnných (j = 1, 2, .. n). K sestavení modelu je potřeba znát hodnoty koeficientů účelové funkce, podmínek a pravých stran rovnice – viz dále. Březen 2013

CW05 Lineární programování – matematický popis Model úlohy lineárního matematického programování lze zapsat obecně ve tvaru: maximalizuje se (minimalizuje se) rovnice z = c1*x1 + c2*x2 + … + cn*xn za podmínek ……… Březen 2013

CW05 Lineární programování – matematický popis Koeficienty: cj … pro j = 1, 2, … n – vystupují u každé proměnné v úče- lové funkci / koeficient účelové funkce aij … pro i = 1, 2, … m; j = 1, 2, … n – vystupují u každé pro- měnné v podmínkách vyjadřujících vztah mezi j-tou podmínkou a i-tým omezujícím faktorem / koeficient podmínek bi … pro i = 1, 2, … m – vystupují na pravých stranách pod- mínek (= konstantní hodnoty, které v podmínkách stojí samostatně a nejsou svázány pouze s jednou konkrét- ní proměnnou – obvykle jsou to hodnoty vyjadřující výši daného limitujícího faktoru a staví s vpravo od znamén- ka = nebo ≠ / hodnoty pravých stran podmínek Březen 2011

am1*x1 + am2*x2 + … + amn*xn = bm CW05 Lineární programování – matematický popis Model úlohy LP … za podmínek daných soustavou rovnic (nebo maticí) a11*x1 + a12*x2 + … + a1n*xn = b1 a21*x1 + a22*x2 + … + a2n*xn = b2 …………. am1*x1 + am2*x2 + … + amn*xn = bm pro xj ≥ 0, kde j = 1, 2, … n Březen 2011

… lze zapsat i zjednodušenou (součtovou) formou: CW05 Lineární programování – matematický popis … lze zapsat i zjednodušenou (součtovou) formou: maximalizuje se (minimalizuje se) rovnice z = Σ cj * xj - sumace při j = 1, 2, … n za podmínek daných soustavou rovnic (nebo maticí) Σ aij*xj = bi - sumace při i = 1, 2, … m pro jednotlivé rovnice dané vztahem xj ≥ 0, kde j = 1, 2, … n Březen 2011

A * x <= (nebo >= nebo =) b CW05 Lineární programování – matematický popis … nebo maticovou formou: maximalizuje se (minimalizuje se) rovnice z = cT * x za podmínek daných soustavou rovnic (nebo maticí) A * x <= (nebo >= nebo =) b x ≥ 0 Březen 2014

… kde značí: CW05 Lineární programování – matematický popis x … n - složkový sloupcový vektor rozhodovacích proměnných modelu cT … n - složkový řádkový (transponovaný) vektor koeficientů účelové funkce A … matice koeficientů podmínek rozměru m * n b … m - složkový sloupcový vektor hodnot pravých stran podmínek Březen 2014

Lineární programování – vložený (ilustrační) příklad CW05 Balírny a pražírny kávy plánují výrobu dvou směsí, kávy Super a Standard – jako vstup pro výrobu mají tři druhy kávových bobů v množstvích 40, 60 a 25 tun - vyráběné směsi mají mít následující složení v tunách komponent na jednu tunu směsi. Komponenta Super Standard Kapacita K1 0,5 0,25 40 K2 0,5 0,5 60 K3 0,0 0,25 25 Na základě výrobních nákladů a vzhledem k předpokládané ceně byl vykalkulován zisk 20 000 Kč na tunu směsi Super a 14 000 Kč na tunu směsi Standard. Management chce naplánovat produkci, aby celkový zisk byl maximální. Březen 2014

Lineární programování – vložený (ilustrační) příklad CW05 Lineární programování – vložený (ilustrační) příklad Převede se ekonomický model na matematický. Každému procesu se přiradí jedna proměnná: Super x1, Standard x2 Celkový zisk popisuje účelová funkce z = 20000* x1 + 14000 * x2 jejíž koeficienty jsou ceny. Na výrobu tuny směsi Super se spotřebuje 0,5 tuny komponenty K1, tuna Standard potřebuje 0,25 tuny K1 --- a tedy celková spotřeba komponenty K1 bude 0,5*x1 + 0,25*x2 <= 40 tj., přitom nesmí převýšit dispo-nibilní kapacitu této komponenty, což je 40 tun. Obdobně další…. Nerovnice jsou matematickým vyjádřením činitelů ekonomického modelu úlohy a označují se jako vlastní omezení úlohy LP. Časté jsou podmínky nezápornosti: x1 >= 0, x2 >= 0, které plynou z toho, že všechny proměnné v matematickém modelu mají reálnou ekonomickou interpretaci, takže nemohou nabývat záporných hodnot. Březen 2014

Lineární programování – vložený (ilustrační) příklad CW05 Matematický model: 0,5*x1 + 0,25*x2 <= 40, 0,5*x1 + 0,5 * x2 <= 60, 0,25*x2 <= 25, x1 >= 0, x2 >= 0 Maticový zápis: Tabulka obsahuje hodnoty proměnných, zbylou kapacitu komponent a hodnotu účelové funkce pro některé možnosti výroby směsí. x1 x2 K1 K2 K3 z 1. 0 0 40 60 25 0 2. 80 0 0 20 25 1600000 3. 0 100 15 10 0 1400000 4. 50 50 25 10 12,5 1700000 5. 80 20 −5 10 20 1880000 Komentář…. Březen 2014

Lineární programování – vložený (ilustrační) příklad CW05 Komentář k výsledku (k tabulce)…. Ad 1. Nic se nevyrábí ani nespotřebovává, nulový zisk. Ad 2. Výroba jen směsi Super (maximální vzhledem k daným kapacitám), zisk 1,6 mil. Ad 3. Maximálně možná výroba jen směsi Standard, zisk 1,4 mil. Ad 4. Výroba obou směsí v poměru 50 na 50, zisk 1,7 mil. Ad 5. Výroba směsí 80 t + 20 t, která by dala zisk 1,88 mil, je nerealizovatelná, neboť vyžaduje 45 tun K1, které nejsou k dispozici. Přípustné řešení úlohy LP je takové řešení, které vyhovuje všem podmínkám (vlastním omezením i nezápornosti). Řešení 1. – 4. jsou přípustná, řešení 5. je nepřípustné. Další postup…. Březen 2014

Lineární programování – vložený (ilustrační) příklad CW05 Doplnění a komentář k řešení …. Základní řešení úlohy LP je přípustné základní řešení ekvivalentní soustavy rovnic této úlohy. Ekvivalentní soustava rovnic se získáme úpravou soustavy vlast-ních omezení na soustavu rovnic pomocí přídatných proměnných -to jsou nové nezáporné proměnné, které přičítáme k levé straně nerovnice typu a odečítáme u nerovnic. Aby základní řešení ekvivalentní soustavy rovnic bylo i základním řešením úlohy LP, musí navíc splňovat podmínky nezápornosti. Přídatné proměnné x3, x4, x5 . Ekvivalentní soustava rovnic bude mít tvar: 0,5*x1 + 0,25*x2 + x3 = 40 0,5*x1 + 0,5 *x2 + x4 = 60 0,25*x2 + x5 = 25 Březen 2014

Lineární programování – vložený (ilustrační) příklad CW05 Doplnění a komentář k řešení …. Dohromady je pět základních řešení. 1., 2. a 3. řádek tabulky popisují základní řešení úlohy, která jsou „degenerovaná“ = v praxi bez významu nebo obtížně akceptova-telná (nevyhovují přesně zadání,….). Zbývající nedegenerovaná základní řešení jsou: x1 x2 x3 x4 x5 z 6. 20 100 5 0 0 1700000 7. 40 80 0 0 5 1920000 Optimální řešení je na 7. řádku tabulky. Maximální zisk 1,92 milionu Kč dosáhne firma při produkci 40 tun směsi Super a 80 tun směsi Standard - přitom zbude 5 tun třetí K3. Protože druhým způsobem řešení je grafický postup, je zde doku-mentována i tato možnost….. i když je popsána až v dalším… Březen 2014

Lineární programování – vložený (ilustrační) příklad CW05 Grafické řešení množiny přípustných řešení – je to pětiúhelník: průnik polo-rovin geometricky vyja-dřující význam podmínek. Základní řešení úlohy LP představují vrcholy množi-ny přípustných řešení, kterou obecně je konvexní polyedr (mnohostěn, který s kaž-dými svými dvěma body obsahuje i jejich spojnici). Březen 2014

CW05 Lineární programování – matematický popis Zadání obecné úlohy, s řešením v nalezení bodů: x Є Rn (tj. množiny reálných čísel), v nichž nabývá lineární forma n proměnných: L (x) = cT * x = ∑cjxj = c1x1 + c2x2 + … +cnxn pro j = 1 až n Má maximum na množině: S  Rn všech bodů x = ( x1 , x2 , … , xn)T vyhovujících rovnicím a …. Březen 2011

CW05 Lineární programování – matematický popis …. vyhovujících rovnicím a nerovnicím: ∑ aij * xj ≤ bi pro sumaci j = 1 až n a pro index i = 1 až p ∑ aij * xj = bi pro sumaci j = 1 až n a pro index i = p+1 až m xj  0 pro j = 1 až n . Pozn.: na čísla bi , i = 1 až m nejsou kladena žádná omezení – mohou být kladná, záporná nebo nulová - někdy se požaduje nezápornost všech xj , pro j = 1 až n . Březen 2014

Lineární programování – matematický popis CW05 Lineární programování – matematický popis Protože se s rovnicemi pracuje lépe než s nerovnicemi, lze je na rovnice převést (tzv. kanonický tvar úlohy LP – používají se i názvy normovaný nebo standardní tvar) a platí: ∑ aij1 * xj1 + ∑ δij2 * xn+j2 = bi pro sumaci j1 = 1 až n , a j2 = 1 až p a pro index i = 1 až p kde δij … je Krocknerův symbol (Krocknerovo delta) – umožňující kratší formáty zápisu – definovaný podmínkami, že pro přirozená i a j bude platit: δij = 1 , pro i = j δij = 0 , pro i ≠ j . Březen 2011

CW05 Lineární programování – matematický popis Podrobný rozpis sumační rovnice - soustava lineárních rovnic: a11 * x1 + a12 * x2 + … + a1n * xn + xn+1 = b1 a21 * x1 + a22 * x2 + … + a2n * xn + xn+2 = b2 ……………… ap1 * x1 + ap2 * x2 + … + apn * xn + xn+p = bp Nově zavedeným proměnným xn+j pro j = 1 až p se jmenují přídatné proměnné. Březen 2009

CW05 Lineární programování – matematický popis Zadání - podrobný kanonický tvar jednoduché úlohy LP: a) nalézt body: kx Є Rn+p v nichž nabývá lineární forma n + p proměnných: kL (kx ) = cT * x = ∑cj1 * xj1 + ∑0 * xj2 = c1* x1 + + c2* x2 +…+ cn* xn + 0 * xn+1 + 0 * xn+2 +…+ 0 * xn+p pro sumaci j1 = 1 až n a pro sumaci j2 = n + 1 až p Březen 2009

CW05 Lineární programování – matematický popis b) maximum na množině: kS  Rn+p všech bodů kx = ( x1 , x2 , … , xn+p)T vyhovujících ∑ aij1 * xj1 + ∑ δij2 * xn+j2 = bi pro sumaci j1 = 1 až n , j2 = 1 až p a index i = 1 až p ∑ aij1 * xj1 = bi pro sumaci j1 = 1 až n a pro index i = p + 1 až m xj  0 pro j = 1 až n + p. V praxi se používá i maticový (respektive maticově – vektorový) zápis. Březen 2009

CW05 Lineární programování – matematické definice Pojmy: * každý bod množiny S resp. v kanonickém tvaru kS, se nazývá přípustné řešení úlohy LP v obecném a kanonickém tvaru * každý krajní bod množiny S, respektive kS se na-zývá základní řešení úlohy LP (bázové či basické) * každý bod x Є S, respektive kx Є kS v němž nabývá L(x), resp. kL(kx) maxima na množině S, resp. kS se nazývá optimální řešení úlohy LP Březen 2011

CW05 Lineární programování – matematické definice * funkce L(x), resp. kL(kx) se nazývá účelová (cílová nebo kriteriální) funkce * optimální řešení se obvykle označuje „hvězdič-kou“ – tj. x* … nebo se používá označení: arg max L(x) na množině S Březen 2011

CW05 Lineární programování – matematický popis Pokud se má tato úloha řešit graficky, je nutno provést dva kroky: * velmi přesně nakreslit množinu přípust-ných řešení S * znázornit v grafu danou účelovou funkci – nejjednodušším znázorněním jsou vrstevnice (izočáry), které tvoří soustavu rovnoběžek. Březen 2009

CW05 Lineární programování – matematický popis Formulace modelu lineár. programování Model LP má svoje pravidla, podle nichž se sestaví a použije - má prvky s mat. popisem: * vektor proměnných sloužící k popisu jed-notlivých složek hledaného rozhodnutí má tvar účelové (kriteriální) funkce x = ( x1 , x2 , x3 , ...... , xn) Є Rn Březen 2009

CW05 Lineární programování – matematický popis * účelová (kriteriální) funkce popisující cíl (kritérium) hledaného rozhodnutí má tvar z ( x ) = cT * x → MIN nebo MAX omezující podmínky popisující reálná omezení vplývající z konkrétní situace při hledání reál-ných omezení a ….. Březen 2011

CW05 Lineární programování – matematický popis …. a mají tvar: A * x ≤ nebo = nebo ≥ b pro i = 1 , 2, ... , m vyjádřená omezení kde: ** cT = (c1 , c2 , ... cn) je vektor sazeb nebo hodnota ocenění proměnných Březen 2009

CW05 Lineární programování – matematický popis ** A = (aij) je matice technicko-ekonomických koeficientů ** b = ( b1 , b2 , ... , bn )T je vektor pravých stran soustavy omezujících podmínek Březen 2009

CW05 Lineární programování – matematický popis ** x ≥ 0 je podmínka nezápornosti (což zároveň pre-zentuje reálnost situace i modelu – a simple-xový algoritmus neumí se zápornými hodno-tami počítat) ** xj ≥ 0 pro j = ( 0 , 1 , 2 ... , n ) ... je rozpis jednotli-vých podmínek. Březen 2009

CW05 Lineární programování – matematický popis Cíl modelu LP - nalézt řešení splňující ome-zující podmínky. Řešení zde nabývá požado-vaného extrému. U lin. modelu jsou omezující podmínky zob-razeny pomocí lin. matem. vztahů (rovnic, nerovnic, funkcí). Při řešení musí - nejprve definovat jednotlivé procesy – vyjádřené pomocí proměnných (ve vhodných jednotkách reálných veličin). Březen 2009

CW05 Lineární programování – matematický popis Pomocí lineárních rovnic a nerovnic musí být definována jednotlivá omezení. Určí hodnoty technicko-ekonomických koeficientů a jedno-tlivé kapacity, požadavky nebo bilanční nero-vnováhy a poměry. Poslední se opisuje kritérium rozhodnutí po-mocí cenových koeficientů vyjadřujících vý-hodnost nebo nevýhodnost. Březen 2009

CW05 Lineární programování – matematický popis Přitom nelze říci, že nevýhodné procesy se (zásadně) nebudou realizovat, protože někte-ré procesy s méně výhodným cenovým koe-ficientem v rámci daných omezení k hodnotě kritéria, přispějí v rozhodovacím procesu více než proces s koeficientem výhodnějším. Metoda LP je poměrně jednoduchá, její apli-kovatelnost je složitější, než se na první po-hled zdá – neexistuje univerzální návod. Březen 2009

CW05 Lineární programování – matematický popis Základní úlohy vhodné pro LP: * optimalizace výrobní struktury – omeze-ním jsou dané výrobní kapacity a struktura výrobního parku * alokační problémy – rozdělení nebo přiřa-zení zdrojů, optimalizace portfólia, optimali-zace reklamy, volba technologií, atd. Březen 2009

CW05 Lineární programování – matematický popis * směšovací problémy – nalezení optimál-ního poměru složek ve směsi se zaručenými (optimálními) vlastnostmi * problematika dělení materiálů s minimál-ním odpadem (zbytky) – tzv. řezné nebo dě-licí plány * distribuční problémy – optimalizace dodá-vek odběrateli. Březen 2009

CW05 Lineární programování – grafické úlohy Pro úlohy LP s pouze dvěma proměnnými nebo dvěma omezujícími podmínkami, lze použít grafického způsobu řešení. V praxi se moc neužívá, protože se tak jedno-duchá zadání prakticky nevyskytují. Ale případné použití na druhé straně dává velmi dobrý názor na postup a vyhodnocová-ní. Její význam je spíš historický a teoretický. Březen 2009

CW05 Lineární programování – grafické úlohy Při grafickém zpracování - prostor řešení je prostor - leží všechna přípustná řešení pro-blému. Musí se vhodným způsobem zobrazit i účelová funkce a její chování. Množina přípustných řešení úlohy LP je pak průnikem poloprostorů představujících jednotlivé omezující podmínky. Březen 2009

CW05 Lineární programování – grafické úlohy Protože poloprostor je konvexní množina, je i jejich průnik konvexní množinou – je-li omezená, nazývá se konvexní polyedr. Je-li neomezená, nazývá se polyedrický kužel. Neomezená konvexní množina vždy obsahu-je alespoň jednu polopřímku – znázorňuje body patřící do daného prostoru. Březen 2009

CW05 Lineární programování – grafické úlohy Lineární účelová funkce je znázorněna: * přímkou ... pokud je jen jedna proměnná * rovinou ... v případě, že existují dvě proměnné * nadrovinou ... pokud je více proměn. než dvě. Lze ji také zobrazit s pomocí gradientu, který je vektorem prvních parciálních derivací (je tedy shodný s vektorem cen – tento vektor má směr kolmý na zobrazené přímky. Březen 2009

CW05 Lineární programování – grafické úlohy Podmínkou řešitelnosti lineárních optimali-začních úloh je splnění jednoho z následují-cích vztahů pro množinu přípustných ře-šení: * množina je prázdná – omezující podmínky jsou nekonzistentní a model nemá řešení Březen 2009

CW05 Lineární programování – grafické úlohy * množina je konvexní polyedr – lineární optimalizační model má optimální řešení * množina je neomezená (je polyedrickým kuželem) – účelová funkce může v jednom směru na množině přípustných řešení nabývat libovolně malých nebo velkých hodnot. Březen 2011

…..… SIMPLEXOVÁ METODA Informace pokračují ……1… cw05 – p.11. CW05 POKRAČOVÁNÍ PŘÍŠTĚ ……. Informace pokračují ……1… SIMPLEXOVÁ METODA …..… cw05 – p.11. březen 2014

CW05 ……… Březen 2014