MIROSLAV KUČERA Úvodní informace Matematika B 2 Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Studijní středisko Kladno (kanceláře studijního oddělení) Kontakt miroslav.kucera@vsfs.cz Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení) Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Po – Pá 8:30 – 15:00 možno i jindy po dohodě Konzultační hodiny Po – Pá 8:30 – 15:00 možno i jindy po dohodě Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Funkce, konstrukce grafu funkce, derivace Předpokládané znalosti Funkce, konstrukce grafu funkce, derivace Cíl předmětu Rozšířit znalosti v oblasti funkcí – vzhled, průběh, vlastnosti dále v oblasti Integrálního počtu – integrování funkcí, posloupnosti Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Požadavky k získání zápočtu Účast na cvičeních minimálně 50% Vypracování zápočtové práce se ziskem minimálně 51% Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Vypracování písemné práce Ústní část zkoušky Požadavky k získání zkoušky Vypracování písemné práce Ústní část zkoušky Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Literatura Budínský, Havlíček: Matematika pro vysoké školy ekonomického a technického zaměření Sbírka příkladů z matematika pro vysoké školy ekonomického a technického zaměření Kaňka, Coufal, Klůfa: Učebnice matematiky pro ekonomy http://maths.cz/redaktor/jakub-vojacek.html ... a jiná literatura na probírané téma Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Učební materiály v IS VSFS is.vsfs.cz Student E-learning Matematika B 2 Studijní materiály Učební materiály Kučera Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Fce je předpis, kterým je všem x z množiny přiřazeno Funkce Průběh funkce Fce je předpis, kterým je všem x z množiny přiřazeno právě jedno y z množiny . Definiční obor, obor hodnot, proměnná, funkční hodnota, soustava souřadnic, graf, tabulka, značení, Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Lineární: y = ax + b přímka Typy a vlastnosti fcí Lineární: y = ax + b přímka y x Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Typy a vlastnosti fcí Lineárně lomená: y x Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Typy a vlastnosti fcí Kvadratická: parabola y x Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Typy a vlastnosti fcí Mocninné: y x Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Vlastnosti fcí Rostoucí Klesající Prostá Sudá Lichá Omezená - minimum, maximum Konvexní Konkávní Inverzní Spojitá Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Průběh funkce je aplikace derivací Vlastnosti fcí Průběh funkce je aplikace derivací Směrnice tečny v bodě - tedy derivace funkce v bodě Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Vlastnosti fcí Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Kdy je funkce v bodě rostoucí? Když je tečna v tomto bodě rostoucí. Vlastnosti fcí Kdy je funkce v bodě rostoucí? Když je tečna v tomto bodě rostoucí. Kdy tečna roste? Když je úhel v intervalu (0, 90) stupňů, tj, když je tangens úhlu kladný. Co je to derivace? Směrnice tečny. Co je směrnice? Tangens úhlu. Kdy funkce v bodě roste? Když je derivace v tomto bodě kladná. Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Pokud je f'(q)=0, pak má funkce v tomto bodě extrém Vlastnosti fcí Jestliže f'(q)>0, pak je funkce f(x) v okolí bodu q rostoucí. Jestliže f'(q)<0, pak je funkce f(x) v okolí bodu q klesající. Pokud je f'(q)=0, pak má funkce v tomto bodě extrém Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Konvexnost a konkávnost Vlastnosti fcí Konvexnost a konkávnost Funkce je konvexní Funkce je konkÁvní Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Vlastnosti fcí Funkce f(x) je v bodě x0 konvexní, pokud platí f''(x0)≥0 a konkávní pokud f''(x0)≤0. Funkce f(x) je v bodě x0 ryze konvexní, pokud platí f''(x0)>0 a ryze konkávní pokud f''(x0)<0. Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Vlastnosti fcí Extrémy Má-li fce v bodě c lokální extrém, pak derivace v tomto bodě buď neexistuje, nebo je rovna nule. (nutná podmínka) Je-li fce na nějakém intervalu spojitá a existuje okolí tohoto bodu , kde Je-li f'(x)>0 v intervalu a f'(x)<0 v intervalu , má fce v bodě c ostré maximum. (první postačující podmínka) Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Podobně je tomu u minima Vlastnosti fcí Podobně je tomu u minima Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Předpoklad: f'(x) existuje v určitém okolí bodu c Vlastnosti fcí Předpoklad: f'(x) existuje v určitém okolí bodu c Je-li f'(x) =0 a f''(x) < 0, pak má fce f v bodě c ostré lokální maximum Je-li f'(x) =0 a f''(x) > 0, pak má fce f v bodě c ostré lokální minimum (druhá postačující podmínka) Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Inflexní bod (bod změny) Vlastnosti fcí Inflexní bod (bod změny) Předpoklady: Fce je na daném intervalu spojitá a v každém jeho vnitřním bodě má derivaci. >0 tak, že fce je na intervalu konvexní a na intervalu konkávní (respektive obráceně) , pak platí: Existuje – li f''(c), pak je rovna nule. Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Vlastnosti fcí Shrnutí Určíme D(f) Určíme – sudost, lichost, periodicitu a další speciální vlastnosti Vyšetříme spojitost Určíme průsečíky s osou x a y Určíme limity v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech Vypočítáme první derivaci – lokální extrémy, rostoucí, klesající Vypočítáme druhou derivaci – inflexní body, konvexnost, konkávnost Nakreslíme graf Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

F‘(x) = f(x) Vlastnosti fcí INTEGRÁL Fci F(x) nazvu primitivní funkcí k fci f(x) na otevřeném intervalu I právě tehdy když platí pro každé x z I: F‘(x) = f(x) Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Neurčitý integrál (primitivní fce k fci f) značíme: Vlastnosti fcí Neurčitý integrál (primitivní fce k fci f) značíme: respektive Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Vlastnosti fcí Nechť existují integrály a a, b jsou reálná čísla. Pak v I existuje Kde c je integrační konstanta. Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Integrační metoda Per partes Vlastnosti fcí Integrační metoda Per partes (po částech) Nechť fce f a g mají v I spojité derivace. Potom platí: Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz

Vlastnosti fcí Substituční metoda Mgr. Miroslav Kučera; miroslav.kucera@vsfs.cz