Hilbertův poloformální axiomatický systém Josef Psutka

Obsah Stručný historický základ Axiómy incidence Axiómy uspořádání Axiómy shodnosti Axiómy spojitosti Axiómy rovnoběžnosti

Historický základ Eukleides: Stoicheia (Základy) 310-280 p.n 13 knih - základy planimetrie, geometrické algebry, aritmetiky a stereometrie Výklad spočívá na logické dedukci vět ze soustavy definic, postulátů a axiómů Celá práce je založena na 9ti axiómech (obecných zásad), 5ti postulátech (úkolů prvotných) a 23ti definicích (vymezení pojmů) Příklady axiómů: 1. Veličiny témuž rovné i navzájem rovny jsou. 2. Když se přidají veličiny rovné k rovným, i celky jsou rovny ….

Postuláty: Budiž úkolem od kteréhokoli bodu ke kterémukoli bodu vésti přímku. A přímku omezenou nepřetržitě rovně prodloužiti. A z jakéhokoli středu a jakýmkoli poloměrem narýsovati kruh. A že všechny pravé úhly sobě rovny jsou. A když přímka protínajíc dvě přímky tvoří na téže straně přilehlé úhly menší dvou pravých, ty dvě přímky prodlouženy jsouce do nekonečna že se sbíhají na té straně, kde jsou úhly menší dvou pravých. Definice: 1. Bod jest, co nemá dílu. 2. Čára pak délka bez šířky. 3. Hranicemi čáry jsou body. 4. Přímá jest čára (přímka), která svými body táhne se rovně. …..

Přesné stanovení výchozích axiómů geometrie David Hilbert (1899-Grundlagen der Geometrie) Po axiómech následují definice (slovní vymezení pojmů uvedením jejich typických znaků) a věty (platné poučky odvozené ze základních předpokladů). Logické uspořádání (nová věta může být odvozena pouze z axiómů a z vět již dokázaných) Hilbert nedefinoval základní pojmy ( bod,přímka,rovina, náležeti, býti mezi, shodnost, spojitost a rovnoběžnost) přímo ale přes jejich vlastnosti v rámci uvedených axiomů.

Axiómy incidence 1 - Dvěma navzájem různými body prochází jediná přímka 2 - Na každé přímce existují alespoň dva různé body 3 - Existují alespoň 3 body, které neleží v přímce 

Příklady odvozených vět: Příklady definic: Def. I.1: Tři body, které leží na téže přímce se nazývají kolineární; tři body nenáležející téže přímce budeme nazývat nekolineární Def. I.2: Dvě různé přímky, jejichž průnikem je jediný bod se nazývají různoběžné a jejich společný bod nazýváme průsečík. Příklady odvozených vět: Věta I.1: Dvě různé přímky mohou mít společný nejvýše jeden bod. Věta I.2: Mimo každou přímku leží alespoň jeden bod . Věta I.3: Ke každému bodu lze určit přímku, která jím neprochází. ...

Axiómy uspořádání 1 - Jestliže bod B leží mezi body A,C, pak A, B, C jsou tři různé kolineární body (na přímce) a platí též, že bod B leží mezi body C, A 2 - Ze tří různých bodů přímky leží právě jeden mezi ostatními dvěma 3 - Jestliže bod B leží mezi body A,C, pak bod C neleží mezi body A,B (jsou-li A ≠ B, pak vždy existuje aspoň jeden bod C takový, že bod B leží mezi body A,C) 4 - Každá přímka p rozdělí body, které na ní neležící do dvou tříd s následujícími vlastnostmi - mezí dvěma různými body téže třídy neleží bod přímky p - mezi dvěma body z různých tříd leží právě jeden bod přímky p

Příklady odvozených definic: Příklady odvozených vět: Def.U.1: Vnitřkem úsečky AB rozumíme množinu všech bodů X přímky AB takových, že bod X leží mezi body A,B. Úsečkou AB rozumíme vnitřek spolu s krajními body A, B. Poloroviny, opačné poloroviny, polopřímky, Def U.6: Průnik polorovin →AVB a →BVA nazýváme úhel (značíme AVB). Polopřímky VA a VB nazýváme ramena úhlu, bod V se nazývá vrchol úhlu. Body úhlu neležící na ramenech náleží tzv. vnitřku úhlu. Def. U.10 Nechť A,B,C jsou tři nekolineární body. Průnik polorovin ABC, BCA a CAB nazýváme trojúhelník. Body A,B,C se nazývají vrcholy, úsečky AB, BC a CA se nazývají strany. … Příklady odvozených vět: Věta U.1: Na každé přímce leží nekonečně mnoho navzájem různých bodů. Věta U.2: Každým bodem prochází nekonečně mnoho přímek. …

Axiómy shodnosti 1 - Jestliže AB≈CD a CD ≈ EF, potom AB ≈ EF. Navíc každá úsečka je shodná sama se sebou. 2 - Nechť je AB úsečka a CD polopřímka. Potom na CD leží jediný bod E takový, že AB ≈ CE. 3 - Jestliže C leží mezi A,B a C‘ leží C' leží mezi A',B', přičemž AC ≈ A'C' a BC ≈ B'C', potom platí AB ≈ A'B'. 4 - Jestliže A ≈  B a  B ≈  C, potom  A ≈  C. Navíc každý úhel je shodný sám se sebou. 5 - Je dán úhel ABC a trojice nekolineárních bodů A',B', M Potom v polorovině A'B'M existuje jediná polopřímka B'C' taková, že  ABC ≈  A'B'C'. 6 - Budiž dány dva trojúhelníky ABC a A'B'C'. Jestliže platí AB ≈ A'B', AC ≈ A'C' a  BAC ≈  B'A'C', potom platí také BC ≈ B'C',  ABC ≈  A'B'C' a  ACB ≈  A'C'B'. 

Příklady odvozených definic: Def S.1: Bod S přímky AB se nazývá středem úsečky AB, jestliže platí AS≈BS. Def S.2: AB < CD, jestliže existuje takový bod E mezi body CD, že AB≈CE. Definice součtu úseček a rozdílu úseček,součtu a rozdílu úhlů, shodné trojúhelníky, rovnostranné trojúhelníky, Def. S.x: Úhel shodný se svým úhlem vedlejším se nazývá pravý. …

Příklady odvozených vět: Věta S.1: (uspořádání úseček) Pro úsečky AB a CD nastává právě jedna z možností AB>CD AB ≈ CD AB<CD Obdobná věta platí pro úhly, Věta S.2: (sus) Jestliže pro dva trojúhelníky ABC a A' B'C' platí AB≈A'B', AC≈A'C' a  A ≈  A', pak jsou shodné. Obdobná věta pro sss,usu. Věta S.3: Všechny pravé úhly jsou navzájem shodné. Věta S.4: Daným bodem A lze vést k přímce p jedinou kolmici. Věta S.5: Nechť je dána přímka p a bod A mimo ni. Je-li P průsečík přímky p s kolmicí vedenou bodem A k přímce p, pak pro každý bod X ≠ P přímky p platí AX > AP.

Axióm spojitosti DEOEKINOŮV AXIÓM Body úsečky AB rozdělíme do dvou tříd s následujícími vlastnostmi: 1. Každý bod patří právě jedné třídě. 2. Bod A patří první třídě, bod B patří druhé třídě. 3. Náleží-li bod X první třídě, pak této třídě patří i každý bod ležící mezi AX. Potom existuje tzv. hraniční bod H, který patří buď první, nebo druhé třídě a má následující vlastnosti: a) je-li H ≠ A, pak každý bod X mezi A, H patří první třídě, b) je-li H ≠ B, pak každý bod Y mezi B, H patří druhé třídě.

Příklady odvozených vět: Věta D.1: Jestliže jeden krajní bod úsečky leží uvnitř kružnice a druhý vně potom daná úsečka protíná danou kružnici.   Věta D.2: Jestliže jeden bod kružnice k leží uvnitř kružnice l a druhý bod kružnice k leží vně kružnice l, potom se kružnice k, l protínají ve dvou bodech. Věta D.3: Nechť je dána úsečka OI nazývaná jednotková úsečka.Potom existuje jediné zobrazení AB →|AB| (úsečka → délka úsečky) mající následující vlastnosti: - | AB | je kladné reálné číslo a |OI| = 1 - | AB | = | CD | právě tehdy když AB ≈ CD - | AB | + | BC | = | AC | právě tehdy když bod B leží mezi AC - pro každé reálné x existuje úsečka AB taková,že |AB| = x ….

Axióm rovnoběžnosti V rovině lze každým bodem mimo přímku vést nejvýše jednu s ní se neprotínající přímku. alternativně 5. Eukleidův postulát Existují alespoň 3 kolineární body, které jsou stejně vzdáleny od dané přímky. …

Př. Důkaz ekvivalence 5. Eukleidova postulátu a axiómu rovnoběžnosti. Nejprve → Na příčce p dvou přímek a,b zvolme bod C tak, že A leží mezi C,B, kde A náleží a a B náleží b. Dále na přímce a zvolíme bod D a v polorovině ABD bod E takový, že  DAB +  EBA < 180. Buď F bod v polorovině ABD takový, že  DAC ≈  FBA. Přímky BF a BE jsou různé, přičemž BF je přímka jdoucí bodem B, která je s AD nerůznoběžná. Podle (R) je navíc jediná, a proto se AD a BE protínají. Implikace naopak Budiž dána přímka AB a mimo ni bod P.Uvažujme dále bod C takový, že bod A leží mimo C,P.V téže polorovině s hraniční přímkou AP zvolme body B,D tak, aby CAB ≈  APD. Potom přímky AB a PD jsou nerůznoběžné a současně platí PAB +  APD = 180. Každá další přímka procházející bodem P různá od PD s příčkou AP tvoří na téže straně přilehlé úhly menší dvou pravých, a proto podle (Post-5) přímku AB protíná. Takže PD je jediná nerůznoběžka vedená bodem P.