Teorie množin

Opakování z minulé přednášky V čem spočívá přímý důkaz? V čem spočívá nepřímý důkaz? V čem spočívá důkaz sporem? V čem spočívá důkaz matematickou indukcí? V čem spočívá konstrukční důkaz? V čem spočívá ryze existenční důkaz?

Opakování základních pojmů z TZI Teorie množin: Osnova Opakování základních pojmů z TZI Základní množinové operace Uspořádaná dvojice, kartézský součin Relace, zobrazení, operace Axiomatická výstavba TM Teorie čísel Nekonečné množiny

Teorie množin: Literatura J. Rosický: Teorie množin (MU) http://www.math.muni.cz/~rosicky/lectures/tma.ps, http://www.math.muni.cz/~rosicky/lectures/tmb.ps J. Rosický: Základy matematiky (MU) http://www.math.muni.cz/~rosicky/lectures/zm.ps M. Marvan: Algebra I. (SLU) http://www.math.slu.cz/studmat/Algebra0203z/I-0mnoziny.pdf V. Novák: Fuzzy množiny a jejich aplikace SNTL, Praha 1990

Opakování: Symbolika A, B, C, … množiny a, b, c, … prvky a  A prvek množiny (x) pro libovolné x platí  (x) existuje x tak, že platí  (!x) existuje právě jedno x tak, že platí  , ,  konjukce, disjunkce, negace ,  implikace, ekvivalence ,  sumace, multiplikace

Opakování: Pojem podmnožina O množinách A a B říkáme, že A je podmnožina množiny B (též vztah inkluze; píšeme A  B), jestliže libovolný prvek množiny A je prvkem množiny B (A  B)  (x)((x  A)  (x  B)) Zřejmě lze nalézt uspořádání A  A reflexivita A  B  B  C  A  C tranzitivita A  B  B  A  A = B antisymetrie

Opakování: Základní operace Sjednocení množin A a B A  B = { x | x  A x  B } Průnik množin A a B A  B = { x | x  A x  B } Rozdíl množin A a B A − B = { x | x  A x  B }

Opakování: Množinové zákony I. Prázdná množina  (A)(  A) Disjunkce množin A a B A  B =  Komutativní zákony A  B = B  A A  B = B  A

Opakování: Množinové zákony II. Asociativní zákony A  (B  C) = (A  B)  C A  (B  C) = (A  B)  C Idempotentní zákony A  A = A A  A = A Distributivní zákony A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

Opakování: Množinové zákony III. Doplněk (komplement) množiny A’M = M − A pokud A  M Zákony jednotky A  M = M A  M = A A   = A A   =  Zákony negace A  A’M = M A  A’M =  M’M =  ’ = M

Opakování: Množinové zákony IV. de Morganovy zákony (A  B)’M = A’M  B’M (A  B)’M = A’M  B’M cvičení (ukažte, že platí): A − (B  C) = (A − B)  (A − C) A − (B  C) = (A − B)  (A − C)

Opakování: Kartézský součin I. Jsou dány množiny A,B. Jejich kartézským součinem A  B rozumíme množinu A  B = {(a,b)| aA, bB} Základní vlastnosti A  B  B  A |A| = m, |B| = n, pak |AB| = m*n Platí distributivní zákony A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) …a stejně tak i kartézské násobení zprava důkaz jako cvičení

Opakování: Kartézský součin II. Kartézská mocnina A1 = A An = An-1  A Kartézský součin více množin A1A2…An = {(a1, a2, …, an)| aiAi i{1, 2, …, n}} Značení Zřejmě platí

Opakování: Relace (Binární) relací rozumíme libovolnou podmnožinu kartézského součinu dvou množin   A  B Pro prvky aA a bB takové, že (a,b) budeme binární relaci zapisovat pomocí označení ab Lze zobecnit pro libovolnou n-ární relaci (včetně unární   A) Význačné relace identita idA idA(a) = a inverzní relace -1 b-1a  ab

Opakování: Skládání relací Mějme   A  B a   B  C Definujeme  ◦  ( po  – skládání)  ◦  = {(a,c) | bB: (ab  bc)} Pro skládání relací lze ukázat asociativitu a zejména rovnosti  ◦ idA =  idB ◦  =  ( ◦ )-1 = -1 ◦ -1

Opakování: Relace na množině O relaci na množině mluvíme, když A = B asymetrická: -1= (a,bA) (ab  ba) (tedy   A  A) Význačné vlastnosti reflexivní: idA Ekvivalence (aA) (aa) reflexivní symetrická: -1 symetrická (a,bA) (ab  ba) tranzitivní tranzitivní: ◦ Uspořádání (a,b,cA) (ab  bc  ac) antisymetrická: -1idA antisymetrická (a,bA) (ab  ba  a=b)

Opakování: Zobrazení Zobrazení f: A  B je předpis přiřazující každému prvku z množiny A prvek množiny B Množinu všech zobrazení A  B značíme BA Zobrazení f: A  B je relace Rf  A  B taková, že pro libovolné aA existuje právě jedno bB Surjekce: zobrazení množiny A na množinu B (b  B)(a  A tak, že f(a) = b) Injekce: zobrazení prosté (a1,a2  A)(f(a1) = f(a2)  a1 = a2) Bijekce: párování 1:1 současně surjekce i injekce (prosté i na)

Množiny – základ matematiky Množiny jsou abstraktní formalismus Jejich praktické využití je ve všech ostatních formalismech Celá matematika se dá vyjádřit množinovou symbolikou Ukážeme si množinovou reprezentaci čísel a později zavedeme také algebru nad množinami

Axiomatická výstavba TM Axiomaticky budovaná teorie je čistě syntaktická záležitost Zavedeme primitivní pojmy (bezobsažné) V TM množina, prvek, patřit,… Popíšeme základní vlastnosti primitivních pojmů pomocí axiomů Základní a priori pravdivá tvrzení, která se nedokazují

Axiom extensionality Dvě množiny jsou stejné, právě když mají stejné prvky Pro názornost lze rozlišovat velikost označení symbolů (a  A), ale není to nutné (X,Y)(X = Y  (z)(z  X  z  Y))

Umožňuje konstrukci nových množin Axiom dvojice Umožňuje konstrukci nových množin Z množin A, B lze zkonstruovat množinu {A, B} Definice přirozených čísel 0 = , 1 = {}, 2 = {, {}}, … n = {0, 1, … n-1}

Axiom nekonečna Existuje množina, která obsahuje prázdnou množinu a pro každý svůj prvek x také sjednocení x a {x}. existuje nekonečná množina existuje množina přirozených čísel (X)(X(YX  Y{Y}X)) Pomocí axiomu dvojice můžeme nadefinovat všechna přirozená čísla jako množiny Množinu všech nezáporných celých čísel nadefinujeme pomocí axiomu nekonečna jako ω = { 0, 1, 2, , n,  }

Axiom vyčlenění/vydělení/výběru Umožní konstruovat množiny pomocí množinových vlastností (x) jako { a  A | (x) platí } Tímto způsobem lze konstruovat Průnik A  B = { a  A | a  B } Rozdíl A − B = { a  A | a  B } Konstruujeme množinu indexem Ai = { a | a  Ai pro i  I } i  I

Russelův paradox? V naivní teorii množin jsme definovali množinu pomocí jejich prvků jako { a | (x) platí } Srovnejme s axiomem vyčlenění { a  A | (x) platí } Právě zápis a  A nám umožní tvrdit, že a jsou pouze prvky množiny, tudíž ne množiny stejné mohutnosti jako A

Zejména běžné značení získáme pro dvojprvkovou indexovou množinu Axiom sjednocení Umožní zavedení sjednocení, konstruuje se pomocí indexu Ai = { a | a  Ai pokud i  I } Zejména běžné značení získáme pro dvojprvkovou indexovou množinu i  I

Kartézský součin Uspořádanou dvojici (a,b) definujeme jako množinu (a,b) = {{a},{a,b}} Lze ověřit ekvivalenci (rovnost) na uspořádaných množinách (složky) Kartézský součin definujeme jako A  B = { (a,b) | a  A  b  B } Pro KS platí distributivní zákony se sjednocením a průnikem (ne komut.)

Axiom množiny podmnožin Pro každou množinu A lze utvořit množinu všech podmnožin P(A) = { X | X  A } Počet všech podmnožin |P(A)| = 2|A| Odvození kartézského součinu: Pomocí množiny všech podmnožin lze definovat kartézský součin užitím axiomu vyčlenění na P(P(A  B))

Axiom nahrazení Umožní zavedení zobrazení Je-li F(x,y) formule jazyka teorie množin, která je zobrazením (tj. F(x,y)  F(x,z)  y = z), pak pro každou množinu A existuje množina B obsahující právě všechny obrazy prvků z A v zobrazení F(x,y). (x,y,z)((F(x,y)  F(x,z)  y=z)  (A)(B)(w)(wB(v)(vA  F(v,w))))

Axiom regularity (fundovanosti) Každá neprázdná množina A obsahuje alespoň jeden prvek B, který je s A disjunktní. (A)(A  (B)(BA  BA = )) Tento axiom není (na rozdíl od ostatních) konstrukční, ale zabraňuje existenci „ošklivých množin“ Např. MM, AB  BA

Souvisí s vícehodnotovou logikou Fuzzy množiny Souvisí s vícehodnotovou logikou V klasické TM určitý objekt buďto je, nebo není prvkem určité množiny Reálná skutečnost prvky množin „mladí muži“ nebo „krásné ženy“ rozhodně nejsou exaktně určitelné Příslušnost do fuzzy množiny je u každého prvku dána stupněm příslušnosti (reálné číslo od 0 do 1)