Dvouvýběrové testy parametrickch hypotéz Přednáška 7 Dvouvýběrové testy parametrickch hypotéz test o shodě rozptylů (F-test), testy o shodě středních hodnot (dvouvýběrový t-test, Aspinové-Welchův test), Mannův-Whitneyův test, test homogenity dvou binomických rozdělení, párové testy (párový t-test, znaménkový test)

Test o shodě rozptylů (F-test, test homoskedasticity) H0: 𝜎 𝑋 2 = 𝜎 𝑌 2 , HA: 𝜎 𝑋 2 ≠ 𝜎 𝑌 2 (resp. 𝜎 𝑋 2 < 𝜎 𝑌 2 , 𝜎 𝑋 2 > 𝜎 𝑌 2 ) Předpoklady testu: Mějme dva nezávislé výběry 𝑋 1 , 𝑋 2 , …, 𝑋 𝑛 1 a 𝑌 1 , 𝑌 2 , …, 𝑌 𝑛 2 , které pocházejí z populací, které mají rozdělení 𝑵 𝝁 𝑿 ; 𝝈 𝑿 𝟐 , resp. 𝑵 𝝁 𝒀 ; 𝝈 𝒀 𝟐 . Testová statistika: 𝑇 𝑿,𝒀 = 𝑆 𝑋 2 𝜎 𝑋 2 𝑆 𝑌 2 𝜎 𝑌 2 Nulové rozdělení: Fisher-Snedecorovo rozdělení s 𝑛 1 −1 stupni volnosti pro čitatele a 𝑛 2 −1 stupni volnosti pro jmenovatele POZOR! Oboustrannou alternativu lze používat pouze u klasického testu.

Testy o shodě středních hodnot dvouvýběrový t-test H0: 𝜇 𝑋 = 𝜇 𝑌 , HA: 𝜇 𝑋 ≠ 𝜇 𝑌 (resp. 𝜇 𝑋 < 𝜇 𝑌 , 𝜇 𝑋 > 𝜇 𝑌 ) Předpoklady testu: Mějme dva nezávislé výběry 𝑋 1 , 𝑋 2 , …, 𝑋 𝑛 1 a 𝑌 1 , 𝑌 2 ,…, 𝑌 𝑛 2 , které pochází z populace mající opět rozdělení 𝑵 𝝁 𝑿 ; 𝝈 𝑿 𝟐 , resp. 𝑵 𝝁 𝒀 ; 𝝈 𝒀 𝟐 , kde 𝝈 𝑿 𝟐 = 𝝈 𝒀 𝟐 . Testová statistika: 𝑇 𝑿,𝒀 = 𝑋 − 𝑌 − 𝜇 𝑋 − 𝜇 𝑌 𝑛 1 −1 𝑠 𝑋 2 + 𝑛 2 −1 𝑠 𝑌 2 𝑛 1 + 𝑛 2 −2 ∙ 1 𝑛 1 + 1 𝑛 2 Nulové rozdělení: Studentovo rozdělení s 𝜈= 𝑛 1 + 𝑛 2 −2 stupni volnosti

Testy o shodě středních hodnot Aspinové-Welchův test H0: 𝜇 𝑋 = 𝜇 𝑌 , HA: 𝜇 𝑋 ≠ 𝜇 𝑌 (resp. 𝜇 𝑋 < 𝜇 𝑌 , 𝜇 𝑋 > 𝜇 𝑌 ) Předpoklady testu: Mějme dva nezávislé výběry 𝑋 1 , 𝑋 2 , …, 𝑋 𝑛 1 a 𝑌 1 , 𝑌 2 ,…, 𝑌 𝑛 2 , které pochází z populace mající opět rozdělení 𝑵 𝝁 𝑿 ; 𝝈 𝑿 𝟐 , resp. 𝑵 𝝁 𝒀 ; 𝝈 𝒀 𝟐 , kde 𝝈 𝑿 𝟐 ≠ 𝝈 𝒀 𝟐 . Testová statistika: 𝑇 𝑿,𝒀 = 𝑋 − 𝑌 − 𝜇 𝑋 − 𝜇 𝑌 𝑆 𝑋 2 𝑛 1 + 𝑆 𝑌 2 𝑛 2 Nulové rozdělení: Studentovo rozdělení s 𝜈 stupni volnosti, kde 𝜈≅ 𝑠 𝑋 2 𝑛 1 + 𝑠 𝑌 2 𝑛 2 2 1 𝑛 1 −1 𝑠 𝑋 2 𝑛 1 2 + 1 𝑛 2 −1 𝑠 𝑌 2 𝑛 2 2

Neparametrický test o shodě stř Neparametrický test o shodě stř. hodnot – test shody mediánů Mannův-Whitneyův test H0: 𝜇 𝑋 = 𝜇 𝑌 , HA: 𝜇 𝑋 ≠ 𝜇 𝑌 (resp. 𝜇 𝑋 < 𝜇 𝑌 , 𝜇 𝑋 > 𝜇 𝑌 ) Předpoklady testu: Nechť 𝑋 1 , 𝑋 2 , …, 𝑋 𝑛 1 a 𝑌 1 , 𝑌 2 ,…, 𝑌 𝑛 2 jsou dva nezávislé výběry ze spojitých rozdělení se stejným rozptylem a tvarem. Postup testování: viz Úvod do statistiky, str. 193-194

Test o shodě parametrů dvou binomických rozdělení H0: 𝜋 1 = 𝜋 2 , HA: 𝜋 1 ≠ 𝜋 2 (resp. 𝜋 1 < 𝜋 2 , 𝜋 1 > 𝜋 2 ) Předpoklady testu: 𝑿 a 𝒀 jsou náhodné výběry z alternativního rozdělení. Pro provedení tohoto testu musíme mít k dispozici výběry o dostatečném rozsahu 𝑛 1 , resp. 𝑛 2 . Rozsahy jednotlivých výběrů lze považovat za dostatečné, pokud jsou splněny podmínky: 𝑛 1 > 9 𝑝 1 1− 𝑝 1 a 𝑛 2 > 9 𝑝 2 1− 𝑝 2 . Testová statistika: 𝑇 𝑿,𝒀 = 𝑝 1 − 𝑝 2 − 𝜋 1 − 𝜋 2 𝑝 1 1− 𝑝 1 𝑛 1 + 𝑝 2 1− 𝑝 2 𝑛 2 Nulové rozdělení: normované normální

Párové testy Jsou-li výsledkem zjišťování dvojice náhodných veličin 𝑋 1 , 𝑌 1 , 𝑋 2 , 𝑌 2 ,…, 𝑋 𝑛 , 𝑌 𝑛 , které tvoří páry závislých pozorování (jde o veličiny zjišťované na stejné statistické jednotce), musíme při ověřování shody polohy přistoupit k párovým testům. Definujme soubor rozdílů (diferencí) 𝑫= 𝐷 1 , 𝐷 2 , …, 𝐷 𝑛 , kde 𝐷 𝑖 = 𝑋 𝑖 − 𝑌 𝑖 . Lze předpokládat, že náhodné veličiny 𝐷 1 , 𝐷 2 , …, 𝐷 𝑛 jsou nezávislé a že mají stejné rozdělení se střední hodnotou 𝜇= 𝜇 1 − 𝜇 2 . Test o shodě dvou středních hodnot prováděný na základě dvou závislých výběrů můžeme převést na jednovýběrový test o střední hodnotě aplikovaný na soubor diferencí (rozdílů) 𝑫.

Přehled metod induktivní statistiky najdete na http://homel. vsb

Praktická ukázka analýzy jednovýběrových a dvouvýběrových dat