Nelineární systémy Funkcí f(x(t),u(t)) je v každém okamžiku pohybu systému definován vektor rychlosti změny stavu dx(t)/dt určující okamžitý směr stavové trajektorie ve stavovém prostoru Rn V průmětu stavové trajektorie do roviny xi,xj je tečna tohoto průmětu v bodě x (pro současnou okamžitou hodnotu u) Singulární body stavové rovnice nedefinovaný směr, xS – singulární bod, rovnovážný stav, hromadný bod stavových trajektorií, u(t)= uS = konst,  reálná řešení rovnice xS – souřadnice možných rovnovážných stavů systému (může být i několik rovn. stavů)

Stabilita nelineárního systému Nelineární systém - možná existence více sing. bodů pro uS - sing. bod může měnit svou povahu v závislosti na velikosti působícího vstupu uS. Stabilita podle Ljapunova Za systém stabilní podle Ljapunova považujeme takový, který po počátečním konečném vychýlení z rovnovážného stavu xS splňujícím nerovnost se dále pohybuje tak, že pro libovolné t  0 odchylky jeho stavu od xS splňují podmínku Asymptotická stabilita Přísnější podmínka stability singulárního bodu, vyžadující zaujetí rovnovážného stavu v tomto bodě Posouzení asymptotické stability linearazací v pracovním bodě

Linearizace dynamického systému Pro malé výchylky vstupů a stavů lze pravou stranu rovnice systému nahradit jejím úplným diferenciálem: výchozím bodem “0” je nejčastěji rovnovážný stav x0=xS a u0=uS Jakobiho matice: Metrika stavového prostoru – vzdálenost x(t) od x0 def. pomocí normy stavového prostoru. Při použití Euklidovské normy, je vzdálenost stavu E a F:

Singulární body stavové rovnice Stabilní uzel Stabilní ohnisko Nestabilní uzel Nestabilní ohnisko

Příklad Singulární bod systému třetího řádu rovnovážný stav: uS=10 póly systému l1=-0.1221, l2,3=-0.33891.5272j jediná polopřímková trajektorie ve směru vlastního vektoru

Příklad Singulární bod systému třetího řádu

Příklad Systém n=3 Mezi stavovými veličinami neexistuje žádná další (statická, algebraická) závislost, přesto

Příklad Dva rovnovážné stavy nelineárního systému u(t)=uS=1

Příklad linearizace systému Van der Pole, rizika linearizace u(t) = us = konst. A=0.5

A=0.1