Škola:Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu:CZ.1.07/1.5.00/ Název projektu:Inovace výuky Číslo a název šablony klíčové aktivity: EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Tematická oblast:Volitelný předmět matematika (matematický seminář) EU-8-63 – DERIVACE FUNKCE XIX (průběh funkce – co vás čeká na VŠ?) Anotace Na sedmi podrobně řešených příkladech si mohou žáci procvičit úlohy o průběhu funkce. Učiteli se nabízí úlohy pro individuální, skupinovou či domácí práci žáků. Úlohy jsou ukázkou toho, co čeká absolventy gymnázií v prvním semestru vysokoškolské matematiky – úvodu do matematické analýzy. AutorPaedDr. Milan Rieger JazykČeština Očekávaný výstupŽák dovede aplikovat získané poznatky diferenciálního počtu na zjištění průběhu funkcí. Klíčová slovaPrůběh funkce, parametrická rovnice přímky, obecná rovnice přímky. Druh učebního materiáluPracovní list / Animace / Obrázky / Testy Druh interaktivityAktivita / Výklad / Test / Kombinace Cílová skupinaŽák Stupeň a typ vzděláváníStřední vzdělávání Typická věková skupina17 – 19 let Datum vytvoření

1) 3) 5) 4)  ŘEŠENÉ ÚLOHY – PRŮBĚH FUNKCE 6) Určete a, b  R v rovnici funkce f: y = a x 2 + b x tak, aby měla funkce f v bodě T [1; 2] ostrý lokální extrém. Potom vyšetřete průběh funkce f. Určete a, b  R v rovnici funkce f: y = a x 3 + b x 2 tak, aby měla funkce f v bodě T [1; 2] inflexní bod. Potom vyšetřete průběh funkce f. 2) 7) Sestrojte graf funkce f. Ukažte, že funkce f má tři inflexní body, které leží na jedné přímce. Vyšetřete průběh funkce f.

 ŘEŠENÍ ÚLOHY 1 Určete a, b  R v rovnici funkce f: y = a x 2 + b x tak, aby měla funkce f v bodě T [1; 2] ostrý lokální extrém. Potom vyšetřete průběh funkce f. y = a x 2 + b x y / = 2 a x + b Protože T  f, musí platit 2 = a + b. Dále musí platit 2 a x + b = 0 (funkce může mít lokální extrém v bodě, ve kterém je 1. derivace rovna nule), tedy 2 a + b = 0 (funkce má mít lokální extrém v bodě T [1; 2]). Máme tedy soustavu rovnic 2 = a + b  2 a + b = 0, která má řešení a = – 2, b = 4. f: y = – 2 x x zpět na přehled úloh

 ŘEŠENÍ ÚLOHY 2 Určete a, b  R v rovnici funkce f: y = a x 3 + b x 2 tak, aby měla funkce f v bodě T [1; 2] inflexní bod. Potom vyšetřete průběh funkce f. y = a x 3 + b x 2 y / = 3 a x b x y // = 6 a x + 2 b Protože T  f, musí platit 2 = a + b. Dále musí platit 6 a x + 2 b = 0 (funkce může mít inflexní bod v bodě, ve kterém je 2. derivace rovna nule), tedy 6 a + 2 b = 0 (funkce má mít inflexní bod v bodě T [1; 2]). Máme tedy soustavu rovnic 2 = a + b  6 a + 2 b = 0, která má řešení a = – 1, b = 3. f: y = – x x 2 zpět na přehled úloh

 ŘEŠENÍ ÚLOHY 3 Vyšetřete průběh funkce f. 1.Určíme definiční obor funkce. D(f) = R 2.Zjistíme průsečíky funkce s osami souřadnými. 3.Zjistíme, zda je funkce omezená (zdola, shora, oboustranně), sudá, lichá, periodická. Funkce f není omezenou, lichou, sudou ani periodickou funkcí v D(f). 4.Vypočítáme limity funkce v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech.N Funkce nemá body nespojitosti. 5.Zjistíme asymptoty bez směrnice (vertikální asymptoty) a asymptoty se směrnicí. Funkce nemá vertikální asymptoty (f je spojitá v R) ani asymptoty se směrnicí (a = +  nebo a = –  ). zpět na přehled úloh

6.Výpočtem první derivace funkce zjistíme monotónnost funkce a její lokální extrémy. 7.Výpočtem druhé derivace zjistíme konvexnost či konkávnost funkce, inflexní body, najdeme rovnici tečen v inflexních bodech. y / = x 3 – 3 x 2 = x 2 ( x – 3 ) y / = 0  x 2 ( x – 3 ) = 0  (x = 0  x = 3) Funkce f je klesající v intervalu ( –  ; 3 >, rostoucí v intervalu < 3; +  ). Body podezřelé z extrému jsou x = 0, x = 3. Zjistíme znaménko 1. derivace funkce v okolí bodů podezřelých z extrémů. Funkce f nemá v bodě 0 lokální extrém, f(0) = 0. Funkce f má v bodě 3 ostré lokální minimum, y // = 3 x 2 – 6 x = 3 x ( x – 2 ) y // = 0  (x = 0  x = 2) Body podezřelé z inflexe jsou x = 0, x = 2. Zjistíme znaménko 2. derivace funkce v okolí bodů podezřelých z inflexe.  x  ( –  ; 0); f // (x) > 0  funkce f je ryze konvexní v intervalu ( –  ; 0 >.  x  ( 2; +  ); f // (x) > 0  funkce f je ryze konvexní v intervalu < 2; +  ).  x  ( 0; 2); f // (x). Inflexními body jsou body T 1 [ 0; 0 ], T 2 [ 2; – 4 ]. Směrnice tečny t 1 v bodě T 1 : k t1 = y / (0) = 0  t 1 : y = 0. Směrnice tečny t 2 v bodě T 2 : k t2 = y / (2) = – 4  t 2 : y + 4 = – 4 ( x – 2 )  t 2 : 4 x + y – 4 = 0.

8.Narýsujeme graf funkce. zpět na přehled úloh

 ŘEŠENÍ ÚLOHY 4 Vyšetřete průběh funkce f. 1.Určíme definiční obor funkce. D(f) = R 2.Zjistíme průsečíky funkce s osami souřadnými. 3.Zjistíme, zda je funkce omezená (zdola, shora, oboustranně), sudá, lichá, periodická. Funkce f není omezenou, lichou, sudou ani periodickou funkcí v D(f). 4.Vypočítáme limity funkce v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech.N Funkce nemá body nespojitosti. 5.Zjistíme asymptoty bez směrnice (vertikální asymptoty) a asymptoty se směrnicí. Funkce nemá vertikální asymptoty (f je spojitá v R) ani asymptoty se směrnicí ( a = –  ). zpět na přehled úloh

6.Výpočtem první derivace funkce zjistíme monotónnost funkce a její lokální extrémy. 7.Výpočtem druhé derivace zjistíme konvexnost či konkávnost funkce, inflexní body, najdeme rovnici tečen v inflexních bodech. y / = 2 x – 3 x 2 = x ( 2 – 3 x ) y / = 0  x ( 2 – 3 x ) = 0  (x = 0  x = 2 / 3) Funkce f je klesající v intervalech ( –  ; 0 >,. Body podezřelé z extrému jsou x = 0, x = 2 / 3. Zjistíme znaménko 1. derivace funkce v okolí bodů podezřelých z extrémů. Funkce f má v bodě 0 ostré lokální minimum, f(0) = 0. Funkce f má v bodě 2 / 3 ostré lokální maximum, y // = 2 – 6 x = 2 ( 1 – 3 x ) y // = 0  x = 1 / 3 Bod podezřelý z inflexe je x = 1 / 3. Zjistíme znaménko 2. derivace funkce v okolí bodu podezřelého z inflexe.  x  ( –  ; 1 / 3); f // (x) > 0  funkce f je ryze konvexní v intervalu ( –  ; 1 / 3 >.  x  ( 1 / 3; +  ); f // (x) < 0  funkce f je ryze konkávní v intervalu < 1 / 3; +  ). Inflexním bodem je bod T. Směrnice tečny t v bodě T:

8.Narýsujeme graf funkce. zpět na přehled úloh

 ŘEŠENÍ ÚLOHY 5 Vyšetřete průběh funkce f. 1.Určíme definiční obor funkce. 2.Zjistíme průsečíky funkce s osami souřadnými. 3.Zjistíme, zda je funkce omezená (zdola, shora, oboustranně), sudá, lichá, periodická. 4.Vypočítáme limity funkce v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech. Funkce f protíná osu x i osu y v bodě [ 0; 0 ]. Funkce f je lichou funkcí v D(f). Podle definice liché funkce platí: 1.  x  R; x  D(f)  – x  D(f) 2.  x  D(f); – f(x) = f (– x) Pokud je funkce f lichá, můžeme vyšetřovat průběh funkce v intervalu < 0; +  ). Graf funkce dorýsujeme pomocí středové souměrnosti podle počátku soustavy souřadné. zpět na přehled úloh

6.Výpočtem první derivace funkce zjistíme monotónnost funkce a její lokální extrémy. Funkce f je klesající v intervalech : Body podezřelé z extrému jsou x = – 3, x = 0, x = 3. Zjistíme znaménko 1. derivace funkce v okolí bodů podezřelých z extrémů. Funkce f nemá v bodě 0 lokální extrém f(0) = 0. Funkce f má v bodě – 3 ostré lokální maximum, v bodě 3 ostré lokální minimum. Funkce f má vertikální asymtoty v 1, v 2. Funkce f má asymptotu se směrnicí s 1 : y = x. 5.Zjistíme asymptoty bez směrnice (vertikální asymptoty) a asymptoty se směrnicí. Funkce f je rostoucí v intervalech ( –  ; – 3 >, < 3; +  ).

7.Výpočtem druhé derivace zjistíme konvexnost či konkávnost funkce, inflexní body, najdeme rovnici tečen v inflexních bodech. Bod podezřelý z inflexe je x = 0. Zjistíme znaménko 2. derivace funkce v okolí bodu podezřelého z inflexe. Funkce f je ryze konvexní v intervalech Inflexním bodem je bod T [ 0 ; 0 ]. Směrnice tečny t v bodě T: Funkce f je ryze konkávní v intervalech

8.Narýsujeme graf funkce. zpět na přehled úloh

 ŘEŠENÍ ÚLOHY 6 Vyšetřete průběh funkce f. 1.Určíme definiční obor funkce. 2.Zjistíme průsečíky funkce s osami souřadnými. 3.Zjistíme, zda je funkce omezená (zdola, shora, oboustranně), sudá, lichá, periodická. 4.Vypočítáme limity funkce v bodech nespojitosti a v nevlastních bodech. Funkce f neprotíná osu y, protože není definována v bodě 0. D(f) = R –  0  Funkce f není omezenou, lichou, sudou ani periodickou funkcí v D(f). Funkce f má vertikální asymtotu v: x = 0. 5.Zjistíme asymptoty bez směrnice (vertikální asymptoty) a asymptoty se směrnicí. Funkce f nemá asymptotu se směrnicí ( a = –   a = +  ). zpět na přehled úloh

6.Výpočtem první derivace funkce zjistíme monotónnost funkce a její lokální extrémy. Funkce f je klesající v intervalech ( –  ; 0 ), ( 0 ; 1 >. Bod podezřelý z extrému je x = 1. Zjistíme znaménko 1. derivace funkce v okolí bodu podezřelého z extrému. Funkce f má v bodě 1 ostré lokální minimum Funkce f je rostoucí v intervalu < 1; +  ).

7.Výpočtem druhé derivace zjistíme konvexnost či konkávnost funkce, inflexní body, najdeme rovnici tečen v inflexních bodech. Bod podezřelý z inflexe je Zjistíme znaménko 2. derivace funkce v okolí bodu podezřelého z inflexe. Funkce f je ryze konvexní v intervalech Inflexním bodem je bod T. Směrnice tečny t v bodě T: Funkce f je ryze konkávní v intervalu

8.Narýsujeme graf funkce. zpět na přehled úloh

 ŘEŠENÍ ÚLOHY 7 1.Určíme definiční obor funkce. 2.Zjistíme průsečíky funkce s osami souřadnými. 3.Zjistíme, zda je funkce omezená (zdola, shora, oboustranně), sudá, lichá, periodická. 4.Vypočítáme limity funkce v nevlastních bodech. D(f) = R; funkce f je spojitá v R. Funkce f není lichou, sudou ani periodickou funkcí v D(f). Sestrojte graf funkce f. Ukažte, že funkce f má tři inflexní body, které leží na jedné přímce. Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy – Boris Pavlovič Děmidovič, vydalo nakladatelství Fragment, 1. vydání, 2003, strana 121, úloha ISBN Funkce f je oboustranně omezená v D(f)  Graf funkce f bude ležet v tomto rovinném pásu. zpět na přehled úloh

5.Zjistíme asymptoty se směrnicí. Funkce f má asymptotu se směrnicí y = 0. 6.Výpočtem první derivace funkce zjistíme monotónnost funkce a její lokální extrémy. Body podezřelé z extrému jsou x 1, x 2. Zjistíme znaménko 1. derivace funkce v okolí těchto bodů. Funkce f má v bodě x 2 ostré lokální minimum Funkce f je rostoucí v intervalu, klesající v intervalech ( –  ; x2 >, < x1 ; +  ). Funkce f má v bodě x 1 ostré lokální maximum

7.Výpočtem druhé derivace zjistíme konvexnost či konkávnost funkce, inflexní body, najdeme rovnici tečen v inflexních bodech. Body podezřelé z inflexe jsou x 1, x 2, x 3. Zjistíme znaménko 2. derivace funkce v okolí těchto bodů. Funkce f je ryze konvexní v intervalech Inflexní body jsou: Funkce f je ryze konkávní v intervalu

8.Narýsujeme graf funkce.

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger. 9.Ukážeme, že inflexní body I 1, I 2, I 3 leží na jedné přímce. zpět na přehled úloh směrový vektor přímky p Určíme parametrické rovnice přímky p pomocí bodů I 2, I 3. parametrické rovnice přímky p obecná (neparametrická) rovnice přímky p zjistíme, zda bod I 1 leží na přímce p Inflexní body I 1, I 2, I 3 leží na jedné přímce p: x – 4 y + 3 = 0.