4.OBECNÁ AXONOMETRIE A KOSOÚHLÉ PROMÍTÁNÍ Mongeovo promítání +řešení složitých konstruktivních úloh v prostoru -malá názornost Axonometrie +také umožňuje řešit konstruktivní úlohy v prostoru -je daleko názornější Axonometrie obecná axonometrie kosoúhlé promítání vojenská perspektiva kavalírní perspektiva pravoúhlá axonometrie technická izometrie dimetrie Znalost těchto metod je základem skicování, které je potřebné i v době CAD systémů.

4.0.Kartézský souřadnicový systém (O; x,y,z, jednotka j) v E3 O…počátek i,j,k …ortonormální vektory Společná velikost vektorů j (x,y)…souřadnicová rovina (y,z)…souřadnicová rovina (x,z)…souřadnicová rovina x,y,z…osy V technické praxi se převážně užívá pravotočivý kartézský systém

4.1 Souřadnicový kvádr Bod B=(xB,yB,zB) v E3 p=(x,y)...půdorysna n=(x,z)...nárysna m=(y,z)...bokorysna B1 ...pravoúhlý průmět B do p B2 ...pravoúhlý průmět B do n B3 ...pravoúhlý průmět B do m Každý bod B v E3 určuje souřadnicový kvádr se stěnami v souřadnicových rovinách (x,y), (x,z), (y,z) o vrcholech O, B, B1, B2, B3

4.2 Axonometrie bodu Dáno: souřadnicový kvádr s...směr promítání r...rovina (r || s) rovinu r nakonec ztotožníme s nákresnou (tabule, sešit)  Souřadnicový kvádr bodu B a souřadnicový systém (O; x, y, z; j) promítneme rovnoběžně (směr s) do roviny r. Rovinu nazveme axonometrickou průmětnou.

4.2 Axonometrie bodu Ba B1a || za Ba B2a || ya Ba B3a || xa B a axonometricky průmět bodu B B1a axonometricky průmět půdorysu bodu B B2a axonometricky průmět nárysu bodu B B3a axonometricky průmět bokorysu bodu B jx,jy,jz axonometrické průměty jednotky j na osách x a,y a,z a axonometrické průmět y os Oa axonometricky průmět počátku (Oa;xa,ya,za) osový kříž Axonometrie je vzájemně jednoznačné zobrazení prostoru E3 na množinu dvojic bodů B a,B1a (B a B1a || z a ) v rovině r, symbolicky zapíšeme B  B1a,B a Bod v prostoru je jednoznačně určen dvojicí B1a,B a, stručně axonometrie bodu B

4.3 Pohlkeova věta: Tři úsečky se společným koncovým bodem, které leží v jedné rovině a neleží na jedné přímce, můžeme považovat za rovnoběžný průmět tří navzájem kolmých a shodných úseček v prostoru, které mají společný koncový bod. (Oa;xa,ya,za) osový kříž můžeme volit libovolně s výjimkou xayaza jednotková krychle v nadhledu jednotková krychle v podhledu Axonometrie je určena: osovým křížem (Oa;xa,ya,za) a axonometrickými jednotkami jx,jy,jz

4.4 Axonometrický průmět objektu daného sdruženými průměty-metoda redukce souřadnic V axonometrii (Oa;xa,ya,za;jx,jy,jz ) zobrazte objekt daný sdruženými průměty Řešení: Souřadnice bodů (např. bod B) jsou zkresleny v poměrech jx/j=xaB/xB, jy/j=yaB/yB, jz/j=zaB/zB, ke konstrukci užijem afinitu. Použijeme zkreslených x-ových a y-ových souřadnic bodů, sestrojíme axonometrii půdorysu objektu. Pro konstrukci axonometrie objektu nad jeho půdorysem užijeme zkreslených z-ových souřadnic Pro zjednodušení budeme dále vynechávat označení axonometrických průmětů.

4.5 Axonometrický průmět kružnice k v souřadnicové nebo hlavní rovině Je dáno: (Oa;xa,ya,za;jx,jy,jz ), k = (S,r ), k  (x,y ) Řešení: Kružnice k v rovině (x,y ) se zobrazí jako elipsa určená sdruženými průměry MN,PQ pro které platí: MN ||x, |MN |=2r *jx PQ ||y, |PQ |=2r *jy Osy elipsy dané sdruženými průměry MN,PQ sestrojíme Rytzovou konstrukcí

4.6 Eckhartova metoda konstrukce axonometrického průmětu objektu (bodu) daného sdruženými průměty v Mongeově promítání. Jsou dány libovolně umístěné sdružené průměty objektu a dva různé směry s1, s2 Označme: A1...půdorys bodu A x1,y1...půdorysy os x,y A2...nárys bodu A x2,z2...nárysy os x,z Konstrukce:, l1 : A1 l1 , l1 || s1 l2 : A2 l2 , l2 || s2 Bod A a= l1  l2 Pokud průměty A1, A2 mají opravdu reprezentovat bod A, musí si odpovídat x-ové souřadnice

4.6 Ověření Eckhartovy metody. Touto metodou snadno sestrojíme osový kříž a axonometrické jednotky. Podle Pohlkeovy věty existuje axonometrie k danému osovému kříži a axonometrickým jednotkám. Jednotky na osách se zkreslí v poměrech: jx/j, jy/j, jz/j. Stačí ukázat že souřadnice xA, yA, zA se Ekhartovou metodou zkreslí ve stejných poměrech: jx/j=xaB/xB, jy/j=yaB/yB, jz/j=zaB/zB, K Eckhartově metodě můžete použít i jiných dvojic sdružených průmětů: půdorys, bokorys; nárys,bokorys.

4.6.1 Úloha Eckhartovou metodou sestrojte axonometrický průmět jednotkové krychle Zvolíme jednotku, umístíme půdorys a bokorys krychle. Zvolíme směry s1, s2 Použijeme Eckhartovu metodu K Eckhartově metodě můžete použít i jiných dvojic sdružených průmětů: půdorys, bokorys; nárys,bokorys.

4.9 Druhy axonometrií A)podle axonometrických jednotek na tři skupiny B) podle směru s promítání na pravoúhlou axonometrii, je-li směr promítání kolmý k axonometrické průmětně r a na obecnou axonometrii (šikmou) pro s  r. Axonometrická průmětna může splynout s některou rovinou souřadnicového trojhranu. a) kosoúhlé promítání, je-li r(y,z ), (|jx|/|j |=q, jy=jx=j ) b) vojenská perspektiva, je=li r(x,y ), (jx=jy=jz=j) isometrie: jx= jy= jz dimetrie: jx= jy jz trimetrie: jx jy jz

4.10 Kosoúhlé promítání Dáno: souřadnicový kvádr s...směr promítání s  m m...rovina (y,z ), (r || s ) rovinu m nakonec ztotožníme s nákresnou (tabule, sešit)  Bod v kosoúhlém promítání je dán dvojicí B1k,B k, stručně kosoúhlý průmět bodu B

4.10 Kosoúhlé promítání Dáno: souřadnicový kvádr s...směr promítání s  m m...rovina (y,z ), (r || s ) rovinu m nakonec ztotožníme s nákresnou (tabule, sešit)  Bod v kosoúhlém promítání je dán dvojicí B1k,B k, stručně kosoúhlý průmět bodu B

4.10 Kosoúhlé promítání Dáno: osový kříž (O ;x,y,z ), y  z axonometrické jednotky jx,jy,jz , jy=jx=j Zadávání kosoúhlého promítání: úhel w, kde w =  x,y kvocient q, q = |jx|/ |j | Dále vynecháváme indexy pro označení kosoúhlých průmětů. Takže kosoúhlý průmět Bk bodu označíme jen B

4.10.1 Konstrukce v souřadnicové rovině. Sklopíme rovinu (x,y) do nákresny (y,z), sklopené útvary označíme (). Osa sklápění je o  y. Osu x sklopíme do přímky (x). Bod Ax sklopíme do (A): (A)(x), |OA|/|O(A)|=q Bod B (x,y) sklopíme do bodu (B) užitím souřadnic, yB nezkreslená, xB zkreslená Nyní umíme sklopit libovolný bod v rovině (x,y) a na ose x Směr A(A) nazveme směrem zkreslení x-ových souřadnic a) Přímky spojující kosoúhlé průměty bodů a body sklopené jsou navzájem rovnoběžné. b) Dvojice přímek m,(m) se buď protínají na ose sklápěni nebo jsou sní rovnoběžné.

4.10.2 Úloha V kosoúhlém promítání zobrazte čtverec ABCD v rovině (x,y),znáte-li stranu AB (w=135°, q=2/3) Rovinu (x,y) sklopíme kolem y do nákresny. Směr zkreslení x-ových souřadnic je dán koncovými body vektorů j a jx V nákresně sestrojíme čtverec (A)(B)(C)(D) Bod (C) sklopíme zpět do C Nakreslíme rovnoběžník ABCD Ze dvou možných řešení je zobrazeno pouze jedno.

4.10 Kosoúhlé promítání kružnice v souřadnicové rovině

4.10.3 Úloha V kosoúhlém promítání zobrazte rotační kužel o vrcholu V s podstavou v rovině (x,z) znáte-li jeho površku VA. Podstavná kružnice k leží rovině (x,z) a prochází bodem A (w=135°, q=2/3) Střed podstavy S je průsečík osy o kužele s rovinou podstavy. Sklopíme rovinu (x,z) do (y,z) a sestrojíme skutečnou velikost úsecky SA Zobrazíme kružnici k v rovině (x,z) Ze dvou možných řešení je zobrazeno pouze jedno.