P-těžké, np-těžké a np-úplné problémy

P-těžké problémy P-těžký problém je takový, pro který existuje algoritmus, co ho řeší v polynomiálním čase

Np-těžké problémy Np-těžký problém (nedeterministicky polynomiální problém): existuje nedeterministický algortimus (algoritmus s nápovědou), který problém řeší v polynomiálním čase

Klasifikace problémů podle složitosti P-těžké Np-těžké Problémy řešitelné, ale ani nedetrministicky neřešitelné v polynomiálním čase Problémy algoritmicky neřešitelné

Co se dá poznat Problém patří do dané skupiny: stačí najít algoritmus daných vlastností

Co je velmi obtížné poznat Problém neopatří do dané skupiny: Je potřeba dokázat, že algoritmus daných vlastností neexistuje Obecně je dokázat neexistenci algoritmu algoritmicky neřešitelný problém

Vlastnosti np-úplných problémů Jsou np-těžké Není znám algortimus pro jejich řešení v polynomiálním čase (pravděpodobně nejsou p-těžké) Pokud by byl nalezen deterministický algoritmus pro jejich řešení v polynomiálním čase, dal by se z něj odvodit deterministický algoritmus pro řešení všech np-těžkých úloh v polynomiálním čase

SAT problém Pro danou výrokovou formuli zjistit, zda je splnitelná, či nikoli Například (A & B)  ( A & B) je splnitelná (pro B=TRUE, A libovolné) (A & B) & ( A & B) není splnitelná

SAT problém SAT problém je np-těžký Existuje jednoduchý deterministický algoritmus na řešení problému, který potřebuje 2n operací Jestli existuje lepší algoritmus není známo

Modelování výpočtu Turingova stroje pomocí SAT problému Konfigurace TS: vnitřní stav a obsah pásky Instrukce TS: možný přechod z jedné konfigurace do druhé Konfigurace budu kódovat výrokovými proměnnými, možné přechody jejich konjunkcemi, různé varianty disjunkcemi Zjistit, zda stroj může přejít z konfigurace A do konfigurace B je výpočetně ekvivalentní SAT problému SAT problém je tedy np-úplný

Problém úplného podgrafu Je dán graf (V,E) a číslo k, existuje v grafu úplný podgraf s k-vrcholy? Pro k=3 existuje, pro k=4 ne.

Převod na SAT problém Výrokovou formuli převedu na konjunkci disjunkcí F = (y1  y2)  (y2  y3)  (y3  y1). L21 ( y2) L11 (y1) L31 (y3) L12 (y2) L32 ( y1) L22 ( y3)

Převod na SAT problém Najdu úplný podgraf velikosti 3 L21 ( y2)

Převod na SAT problém Mám dvě splnitelná ohodnocení  y1, y2,  y3 a y1,  y2, y3 L21 ( y2) L11 (y1) L31 (y3) L12 (y2) L32 ( y1) L22 ( y3)

Další np-úplné problémy Problém nezávislé množiny v grafu Problém barevnosti grafu TSP Problém batohu Problém dvou loupežníků Problém celočíselného lineárního programování Problém rozkladu prvočísel