Zápis logických funkcí Střední odborná škola Otrokovice Zápis logických funkcí Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je ing. Miroslav Hubáček. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. www.zlinskedumy.cz

Charakteristika 1 DUM Název školy a adresa Střední odborná škola Otrokovice, tř. T. Bati 1266, 76502 Otrokovice Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0445 /5 Autor Ing. Miroslav Hubáček Označení DUM VY_32_INOVACE_SOSOTR-EL-ELZ/2-EL-2/17 Název DUM Zápis logických funkcí Stupeň a typ vzdělávání Středoškolské vzdělávání Kód oboru RVP 26-51-H/01 Obor vzdělávání Elektrikář Vyučovací předmět Elektronická zařízení Druh učebního materiálu Výukový materiál Cílová skupina Žák, 16 – 17 let Anotace Výukový materiál je určený k frontální výuce učitelem, případně jako materiál pro samostudium, nutno doplnit výkladem; náplň: logické funkce jedné a dvou proměnných, Booleova algebra, Karnaughovy mapy Vybavení, pomůcky Počítač, dataprojektor, interaktivní tabule Klíčová slova Logická funkce, pravdivostní tabulka, Booleova algebra, Karnaughova mapa. Datum 11. 5. 2013

Zápis logických funkcí Náplň výuky Logické funkce jedné proměnné Logické funkce dvou proměnných Vyjádření logické funkce Pravidla Booleovy algebry Karnaughovy mapa

Logické funkce jedné proměnné Logické funkce jedné proměnné jsou nejjednodušším případem logických funkcí. Falsum 𝒚=𝟎 pro jakoukoliv hodnotu na vstupu je na výstupu vždy 0 Negace 𝒚= 𝒙 na výstupu je vždy opak hodnoty na vstupu Aserce 𝒚=𝒙 hodnota na výstupu je shodná s hodnotou na vstupu Verum 𝒚=𝟏 pro jakoukoliv hodnotu na vstupu je na výstupu vždy 1 Praktický význam má pouze negace.

Logické funkce dvou proměnných logické funkce dvou proměnných jsou zobrazeny v tabulce praktický význam mají pouze čtyři AND, OR, NAND a NOR Obr. 1: Tabulka logické funkce dvou proměnných

Vyjádření logické funkce logickou funkci lze vyjádřit Booleovými funkcemi – to je negací, konjunkcí a disjunkcí funkcemi NAND – stačí jediná funkce funkcemi NOR – opět stačí jediná funkce podle toho, které vyjádření zvolíme, mluvíme o Booleově algebře, NAND algebře nebo NOR algebře základní je vyjádření Booleovými funkcemi pro vyjádření logické funkce potřebujeme tři základní funkce při realizaci této funkce potřebujeme tři druhy logických prvků pro vyjádření logické funkce základní funkcí NAND nebo funkcí NOR vystačíme s jedním druhem základní funkce při realizaci potřebujeme pouze jeden druh logických obvodů základním požadavkem je každou logickou funkci minimalizovat, to je vyjádřit ji co nejmenším počtem základních logických funkcí

Pravidla Booleovy algebry k zjednodušování – minimalizaci logických funkcí používáme tato základní pravidla 1. zákon vyloučení třetího 𝒙+ 𝒙 = 1 2. logický rozpor 𝒙∙ 𝒙 = 1 3. dvojitá negace 𝒙 = x 4. opakování 𝒙+𝒙=𝒙 𝒙∙𝒙=𝒙 5. komutativní zákony 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟏 𝒙 𝟏 · 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟐 · 𝒙 𝟏

Pravidla Booleovy algebry 6. asociativní zákony 𝒙 𝟏 + ( 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 ) = 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 𝒙 𝟏 · ( 𝒙 𝟐 · 𝒙 𝟑 ) = 𝒙 𝟏 · 𝒙 𝟐 · 𝒙 𝟑 7. distributivní zákony 𝒙 𝟏 · ( 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟑 ) = ( 𝒙 𝟏 · 𝒙 𝟐 )+( 𝒙 𝟏 · 𝒙 𝟑 ) 𝒙 𝟏 + ( 𝒙 𝟐 · 𝒙 𝟑 ) = ( 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 ) ·( 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟑 ) 8. absorpční zákony 𝒙 𝟏 + ( 𝒙 𝟏 · 𝒙 𝟐 ) = 𝒙 𝟏 𝒙 𝟏 +( 𝒙 𝟏 ∙ 𝒙 𝟐 )= 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 𝒙 𝟏 · ( 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 ) = 𝒙 𝟏 𝒙 𝟏 ·( 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 )= 𝒙 𝟏 · 𝒙 𝟐

Pravidla Booleovy algebry 9. neutrálnost 0 a 1 𝟎 + x = 𝒙 𝟏 · x = 𝒙 10. agresivnost 0 a 1 𝟏 + x = 𝟏 𝟎 · x = 𝟎 11. De Morganovy zákony 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 = 𝒙 1 · 𝒙 2 𝒙 𝟏 · 𝒙 𝟐 = 𝒙 1 + 𝒙 2 de Morganovy zákony se uplatňují zejména při převádění Booleovy algebry na NAND nebo NOR algebru

Minimalizace logických funkcí Příklad Minimalizujte logickou funkci 𝒚= 𝒙 1 · 𝒙 𝟐 · 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟏 · 𝒙 2 · 𝒙 3 + 𝒙 𝟏 · 𝒙 2 · 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟏 · 𝒙 𝟐 · 𝒙 3 + 𝒙 𝟏 · 𝒙 𝟐 · 𝒙 𝟑 Řešení z druhého a třetího členu vytkneme 𝒙 𝟏 · 𝒙 2 a z čtvrtého a pátého členu vytkneme 𝒙 𝟏 · 𝒙 𝟐 𝒚= 𝒙 1 · 𝒙 𝟐 · 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟏 · 𝒙 2 ( 𝒙 3 + 𝒙 𝟑 ) + 𝒙 𝟏 · 𝒙 𝟐 ( 𝒙 3 + 𝒙 𝟑 ) výrazy v závorkách jsou podle zákona vyloučení třetího rovny jedné 𝒚= 𝒙 1 · 𝒙 𝟐 · 𝒙 𝟑 + 𝒙 1 · 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟏 · 𝒙 𝟐 výraz v závorce je ze stejného důvodu opět roven jedné 𝒚= 𝒙 1 · 𝒙 𝟐 · 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟏 použijeme absorpční zákon podle kterého je 𝒙 𝟏 + 𝒙 1 · 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 výsledek je 𝒚= 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 · 𝒙 𝟑

Karnaughova mapa Karnaughova mapa je tabulka, která má tolik políček, kolik je kombinací vstupních proměnných vyšetřované funkce funkce s n vstupními proměnnými tedy vyjadřujeme mapou s 2n políčky každé políčko odpovídá jedné z možných kombinací a zapisujeme do něj odpovídající funkční hodnotu sousední políčka se od sebe liší hodnotou jediné proměnné pro dvě proměnné používáme mapu 2 x 2 svislá hrana je pro jednu proměnnou, vodorovná pro druhou pro tři proměnné používáme mapu 2 x 4 (nebo 4 x 2), kde svislá hrana je pro jednu a vodorovná pro dvě proměnné pro čtyři proměnné používáme mapu 4 x 4, kde máme vždy po dvou proměnných na hranách

Karnaughova mapa Karnaughova mapa slouží k vyjádření Booleovských funkcí, ale především k jejich minimalizaci Obr. 2: Karnaughovy mapy dvou, tří a čtyř proměnných

Karnaughova mapa Řádky nebo sloupce, ve kterých je příslušná hodnota rovna 1 označíme vedle mapy svislou nebo vodorovnou čárou, tam, kde čára není je hodnota rovna 0. U jedné proměnné je čára na jednom řádku nebo sloupci, u dvou jsou čáry na dvou sloupcích, přičemž se tyto čáry musejí částečně překrývat. Pravá hrana Karnaughovy mapy sousedí s levou hranou, stejně tak i horní hrana sousedí se spodní. Do mapy vložíme jedničky z pravdivostní tabulky. Minimalizace pomocí Karnaughovy mapy Minimalizace pomocí Karnaughovy mapy bude spočívat v opačném postupu než při sestavování mapy, a to nalezením algebraického tvaru funkce, zadané mapou.

Minimalizace pomocí Karnaughovy mapy Budeme postupovat tak, že sousední políčka mapy, která obsahují jedničku jako funkční hodnotu, budeme sdružovat do dvojic, čtveřic… Základní pravidla pro minimalizaci logických funkcí všechny jedničky v mapě musí být zakroužkovány, žádnou nesmíme vynechat. každá jednička se může při kroužkování vzít několikrát, může být současně součástí dvojice, čtveřice... (to umožňuje zákon opakování x ∨ x ∨ x ∨... = x přednost mají ... osmice před čtveřicemi, čtveřice před dvojicemi a dvojice před izolovanými jedničkami v rámci pravidla podle kterého žádnou jedničku nesmíme vynechat, se snažíme o co nejmenší počet smyček

Minimalizace pomocí Karnaughovy mapy Příklad Karnaughovou mapou minimalizujte logickou funkci: 𝒚= 𝒙 1 · 𝒙 𝟐 · 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟏 · 𝒙 2 · 𝒙 3 + 𝒙 𝟏 · 𝒙 2 · 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟏 · 𝒙 𝟐 · 𝒙 3 + 𝒙 𝟏 · 𝒙 𝟐 · 𝒙 𝟑 Řešení Nakreslíme Karnaughovu mapu pro tři proměnné a napíšeme jedničky do příslušných políček. Zakroužkujeme jednoznačně jednu čtveřici a jednu dvojici. Poté obdržíme výsledek 𝒚= 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 · 𝒙 𝟑 Obr. 3: Karnaughova mapa

Kontrolní otázky: Vysvětlete pojem logické funkce jedné a dvou proměnných. Jakým způsobem zapisujeme logické funkce? Co znamená pojem minimalizace logické funkce? Popište minimalizaci logických funkcí pomocí Booelovy algebry. Popište minimalizaci logických funkcí pomocí Karnaughových map.

Seznam obrázků: Obr. 1: Logické funkce: In: VUT logické řízení [online]. 2012 [vid. 8. 5. 2013]. Dostupné z: http://autnt.fme.vutbr.cz/lab/a4-603/opory/elr.pdf Obr. 2: Karnaughovy mapy dvou a více proměnných: In: VUT logické řízení [online]. 2012 [vid. 8. 5. 2013]. Dostupné z: http://autnt.fme.vutbr.cz/lab/a4-603/opory/elr.pdf Obr. 3: Karnaughova mapa : In: VUT logické řízení [online]. 2012 [vid. 8. 5. 2013]. Dostupné z: http://autnt.fme.vutbr.cz/lab/a4-603/opory/elr.pdf

Seznam použité literatury: [1] ANTOŠOVÁ, M., DAVÍDEK, V. Číslicová technika. Praha: KOPP, 2009. ISBN 978-80-7232-394-4. [2] HÄBERLE, H. a kol. Průmyslová elektrotechnika a informační technologie. Praha: Europa – Sobotáles, 2003. ISBN 80-86706-04-4. [3 ] Logické funkce. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. 2012 [cit. 29. 4. 2013]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Diskr%C3%A9tn%C3%AD_sign%C3%A1l [4] Logické funkce: In: VUT logické řízení [online]. 2012 [cit. 8. 5. 2013]. Dostupné z: http://autnt.fme.vutbr.cz/lab/a4-603/opory/elr.pdf

Děkuji za pozornost 