100110101100101101010100101001010101010101011111000101010010000001010111101010101010101010101111100010001010010010101110010110 ČÍSELNÉ SOUSTAVY Mgr. Petr Němec ©2009 Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Číselná soustava Číselná soustava je způsob reprezentace čísel. Čísla dané soustavy se tvoří z uspořádané množiny symbolů, které se nazývají číslice (např. 0, 1, …, 9). Číselné soustavy dělíme na poziční a nepoziční .
Poziční číselná soustava Poziční číselná soustava je charakterizována kladným číslem (tzv. základ z), jež udává maximální počet číslic, které jsou v soustavě k dispozici: 2: dvojková (binární) – 0, 1 8: osmičková (oktalová) – 0, 1, …, 7 10: desítková (dekadická) – 0, 1, …, 9 16: šestnáctková (hexadecimální) – 0, 1, …, 15* * místo symbolů 10 - 15 se používají A - F (10 - A, 11 - B, 12 - C, 13 - D, 14 - E, 15 - F)
Poziční číselná soustava Každé přirozené číslo a lze v poziční soustavě o základu z zapsat ve tvaru: kde jsou číselné koeficienty – číslice neboli cifry. Tento zápis nazýváme rozvojem čísla a v soustavě o základu z.
Nepoziční číselná soustava Nepoziční číselná soustava není charakterizována kladným číslem (základ), jenž udává maximální počet číslic, které jsou v soustavě k dispozici. Dnes se téměř nepoužívají. Nepoziční číselné soustavy jsou např. římská, egyptská, řecká. (Např. číslo 1984 vyjádříme římsky: MCMLXXXIV)
Desítková soustava Desítková (dekadická) soustava je poziční číselná soustava, která používá deseti symbolů 0, 1, 2, …, 8, 9*. Jedná se o soustavu o základu deset (z = 10), každé přirozené číslo a lze v desítkové soustavě zapsat ve tvaru: kde jsou číselné koeficienty – číslice neboli cifry. Desítková soustava je soustava mocniny čísla 10. Tuto soustavu používáme jak v běžném životě, tak při výpočtech v matematice, fyzice, zeměpisu atd. * Původ pravděpodobně v počtu prstů na rukou.
Dvojková soustava Dvojková (binární) soustava je poziční číselná soustava, která používá dvou symbolů – nejčastěji 0 a 1. Jedná se o soustavu o základu dva (z = 2), každé přirozené číslo a lze ve dvojkové soustavě zapsat ve tvaru: kde jsou číselné koeficienty – číslice neboli cifry. Dvojková soustava je soustava mocniny čísla 2. Tuto soustavu používají všechny moderní počítače, neboť uvedené symboly odpovídají dvěma stavům elektrického obvodu – zapnuto a vypnuto.
Převod 10 2 Převod čísla z desítkové soustavy do soustavy o jiném základu (např. X) spočívá v jeho postupném dělení tímto základem X. Pro převod čísla z desítkové soustavy do dvojkové soustavy plyne, že dané číslo budeme postupně dělit dvěma, až bude podíl roven nule. Pak zbytky po dělení vytvoří hledané číslo ve dvojkové soustavě (viz následující ukázka).
Převod 10 2 Př.: Převedeme číslo 6 z desítkové do dvojkové soustavy. 6 : 2 = 3 3 : 2 = 1 (6)10 = ( 1 1 )2 1 1 : 2 = 1
Převod 10 2 Ověření správnosti převodu můžete provést např. pomocí programu KALKULAČKA: 4. Přepneme na binární soustavu a na displeji nalezneme převedené číslo. 2. Zvolíme vědeckou kalkulačku. 1. Spustíme kalkulačku. 3. Zvolíme desítkovou soustavu a zadáme číslo. (6)10 = (110)2
Převod 2 10 Převod čísla ze soustavy s jiným základem než deset do desítkové soustavy spočívá v jeho rozepsání do desítkového rozvoje. Pro převod čísla z dvojkové soustavy do desítkové soustavy plyne, že dané číslo vyjádříme v binárním rozvoji a po následném sečtení jednotlivých členů dostaneme číslo v desítkové soustavě (viz následující ukázka).
Převod 2 10 Př.: Převedeme číslo 1011 z dvojkové do desítkové soustavy. ( )2= 1 1 1 1 .23 + .22 + 1 .21 + 1 .20 = = 8 + 0 + 2 + 1 = ( )10 11 (1011)2 = (11)10
Převod 2 10 Ověření správnosti převodu můžete provést např. pomocí programu KALKULAČKA: 2. Zvolíme vědeckou kalkulačku. 4. Přepneme na dekadickou soustavu a na displeji nalezneme převedené číslo. 3. Zvolíme binární soustavu a zadáme číslo. 1. Spustíme kalkulačku. (1011)2 = (11)10
Vyzkoušejte si 2 10 10 2 (10111)2 = (110101)2 = (1001011)2 = 10 2 (10111)2 = (110101)2 = (1001011)2 = (110101001)2 = (1111010010)2 = (111101001101)2 = (23)10 (53)10 (75)10 (425)10 (978)10 (3917)10 (17)2 = (39)2 = (136)2 = (256)2 = (1023)2 = (2438)2 = (10001)2 (100111)2 (10001000)2 (100000000)2 (1111111111)2 (100110000110)2
Zdroje [1] WIKIPEDIE. Otevřená encyklopedie. [online]. [4. 12. 2009] . Dostupné z http://cs.wikipedia.org/. [2] Soukeník, M.: Číselné soustavy. [online]. [4. 12. 2009]. Dostupné z http://www.prevod.cz/popis.php?str=564&parent=y. [3] Bobek, T.: Číselní soustavy. [online]. [4. 12. 2009]. Dostupné z http://programujte.com/?akce=clanek&cl=2007102802-ciselne-soustavy.