* 16. 7. 1996 Hranol Matematika – 7. ročník *

Kvádr c a b Kvádr je speciální případ hranolu. Kvádr je trojrozměrné těleso – rovnoběžnostěn, jehož stěny tvoří šest pravoúhlých čtyřúhelníků (zpravidla obdélníků). Má tři skupiny rovnoběžných hran shodné délky (v rámci skupiny). Tyto délky jsou obvykle označovány jako délka (a), šířka (b) a výška (c) kvádru. Kvádr je speciální případ hranolu.

Hranol podstava podstavná hrana boční stěna boční hrana boční hrana boční stěna podstavná hrana podstava Hranol je mnohostěn, jehož dvě stěny leží v rovnoběžných rovinách. Tyto dvě stěny označujeme jako podstavy (podstavné stěny). Strany podstavy hranolu nazýváme podstavnými hranami. Ostatní, tzv. boční stěny tvoří tzv. plášť hranolu. Povrch hranolu je tvořen všemi jeho stěnami. Hrany, které nejsou podstavnými nazýváme boční hrany. Vzdálenost obou podstav se nazývá výškou hranolu (výška hranolu je rovna délce boční hrany). Podle počtu stran podstavy (či bočních stěn) hovoříme o hranolu trojbokém, čtyřbokém, pětibokém atd. Trojboký hranol Čtyřboký hranol Šestiboký hranol

Hranol Jsou-li boční hrany kolmé k rovině podstavy, pak se hranol označuje jako kolmý. Kolmý hranol, jehož podstavou je pravidelný mnohoúhelník, (rovnostranný trojúhelník, čtverec,…) se nazývá pravidelný. Pokud hranol není kolmý, říkáme, že je kosý.

Hranol Doplňte: Pravidelný čtyřboký hranol se nazývá kvádr. Podstavou pravidelného trojbokého hranolu je rovnostranný trojúhelník. Podstavy čtyřbokého hranolu jsou shodné čtyřúhelníky. Boční stěny trojbokého hranolu jsou obdélníky nebo čtverce. Trojboký hranol má pět stěn. Čtyřboký hranol má dvě podstavy. Šestiboký hranol má osmnáct hran. Osmi boký hranol má osm bočních stěn.

Hranol H G Vypiš: E F 1. Podstavy: ABCD; EFGH 2. Boční hrany: AE; BF; CG; DH D C 3. Boční stěny: ABFE; BCGF; CDHG; DAEH B A 4. Podstavné hrany: AB; BC; CD; DA; EF; FG; GH; HE.

Povrch hranolu S = 𝟐∙ 𝑺 𝒑 +𝑺𝒑𝒍 S𝐩𝐥 Sp Sp Povrch hranolu je součet obsahů všech jeho stěn. S = 𝟐∙ 𝑺 𝒑 +𝑺𝒑𝒍 Sp a b c d v c S𝐩𝐥 v v d b a Sp … obsah podstavy S𝐩𝐥 … obsah pláště Sp S = 𝟐∙ 𝑺 𝒑 + 𝒂+𝒃+𝒄+𝒅 ∙𝐯=𝟐∙ 𝑺 𝒑 +𝒐∙𝐯

Objem hranolu V = 𝑺 𝒑 ∙𝒗 Sp … obsah podstavy v … tělesová výška Objem hranolu vypočteme tak, že obsah jeho podstavy násobíme jeho výškou. Sp … obsah podstavy v v … tělesová výška c d b V = 𝑺 𝒑 ∙𝒗 a

Povrch a objem hranolu Vypočtěte povrch a objem hranolu s podstavou pravoúhlého trojúhelníku s délkami podstavných hran 45 mm, 75 mm a 6 cm a výškou 12 cm. 𝑎=45 𝑚𝑚 =4,5 𝑐𝑚 𝑏=6 𝑐𝑚 𝑆= 2∙𝑆 𝑝 + 𝑆 𝑝𝑙 𝑐=75 𝑚𝑚 =7,5 𝑐𝑚 𝑣=12 𝑐𝑚 𝑆=2∙ 𝑎∙𝑏 2 +𝑜∙𝑣 𝑉=… 𝑐𝑚 3 𝑆=… 𝑐𝑚 2 𝑆=𝑎∙𝑏+𝑜∙𝑣 𝑉= 𝑆 𝑝 ∙ 𝑣 𝑆=𝑎∙𝑏+(𝑎+𝑏+𝑐)∙𝑣 𝑉= 𝑎∙𝑏 2 ∙𝑣 𝑆=4,5∙6+(4,5+6+7,5)∙12 𝑆=27+18∙12 𝑉= 4,5∙6 2 ∙12 𝑏 . 𝑆=27+216 𝑐 𝑉=13,5∙12 𝑆=243 𝑎 𝑉=162 𝑆=243 𝑐𝑚 2 𝑉=162 𝑐𝑚 3

Povrch a objem hranolu Vypočtěte objem a povrch čtyřbokého hranolu s podstavou kosodélníku s délkami podstavných hran 9 cm a 6 cm a výškou hranolu 2 dm. Vzdálenost delších hran podstavy je 5 cm. 𝑎=9 𝑐𝑚 𝑏=6 𝑐𝑚 𝑣𝑎=5 𝑐𝑚 𝑣=2 𝑑𝑚 𝑉=… 𝑐𝑚 3 𝑆=… 𝑐𝑚 2 v va b a 𝑽=𝟗𝟎𝟎 𝒄𝒎 𝟑 ;𝐒=𝟔𝟗𝟎 𝒄𝒎 𝟐