Oskulační rovina křivky

α α1 α 2 6.2. Oskulační rovina křivky. t P1 P0 P2 k Geometrické a počítačové modelování Křivky. Tečná a oskulační rovina. (6) 6.2. Oskulační rovina křivky. Každá rovina, která prochází tečnou dané křivky, se nazývá tečnou rovinou křivky. Dotykovým bodem je dotykový bod křivky, kterým jsme vedli tečnu. (Tečné roviny tvoří svazek rovin.) Jediná tečná rovina α (z tohoto svazku rovin) se nazývá oskulační rovina. α P1 α1 P2 α 2 t Trojnásobný bod P0 Dvojnásobný bod k

α α1 α 2 6.2. Oskulační rovina křivky. t P1 P0 P2 k Geometrické a počítačové modelování Křivky. Tečná a oskulační rovina. (6) 6.2. Oskulační rovina křivky. Každá rovina, která prochází tečnou dané křivky, se nazývá tečnou rovinou křivky. Dotykovým bodem je dotykový bod křivky, kterým jsme vedli tečnu. (Tečné roviny tvoří svazek rovin.) Jediná tečná rovina α (z tohoto svazku rovin) se nazývá oskulační rovina. P2 α 2 t α α1 Trojnásobný bod P1 P0 Dvojnásobný bod k

Geometrické a počítačové modelování. Křivky. Tečná a oskulační rovina V oskulační rovině  sestrojíme kolmici n na tečnu t, potom tato kolmice n se nazývá hlavní normálou křivky k. z Kolmice b vztyčená v bodě dotyku na oskulační rovinu  se nazývá binormála.  t  b Rovina  určená hlavní normálou a binormálou b se nazývá normálová rovina.  P0(t0 ) k Rovina  určená tečnou t a binormálou b se nazývá rektifikační rovinou křivky k v bodě p0 ( t0 ). Roviny ,  a  tvoří doprovodný trojhran křivky k v bodě P. Tečna t, hlavní normála n a binormála b tvoří hrany tohoto trojhranu. p0 n y x

Frenetovy vzorce. První křivost křivky. Geometrické a počítačové modelování Křivky. Tečná a oskulační rovina. (6) Frenetovy vzorce. První křivost křivky. Budeme předpokládat, že křivku k máme danou vektorovou rovnicí p = p(s), s  I, (6.11) kde parametr s je obloukem. Označíme p'(s) a p''(s) vektory rovnoběžné s oskulační rovinou sestrojené v bodě P(s) křivky k. Vektor p''(s) budeme nazývat vektorem první křivosti křivky v bodě P(s). Velikost tohoto vektoru budeme označovat 1k(s) (stručně 1k) a nazývat první křivostí (flexí) křivky v bodě P(s). Pro určení velikosti vyjdeme z rovnice p'. p' = 1, která je splněna pro všechna s  I. Po derivaci obou stran rovnice podle parametru s dostaneme p".p' + p' . p" = 0  2 p' . p" = 0. Toto však znamená, že v každém bodě P(s) křivky k je vektor p"(s) buď nenulovým vektorem kolmým na tečný vektor p'(s), nebo nulovým vektorem.

 z b p’= t P(s ) k p(s) n /p´´/ = 1k x y p’’ Geometrické a počítačové modelování Křivky. Tečná a oskulační rovina. (6) z Předpokládejme první možnost. To je p"  0 a p"  p'. To může být pouze tehdy, jestliže vektor p" je rovnoběžný s hlavní normálou n křivky k . b p’= t  Pomocí rovnice (6.12) sestrojíme jednotkový vektor hlavní normály n, kolineární s vektorem p". p’’ n = P(s ) k p(s) n /p´´/ = 1k Jelikož |p"| = k, můžeme psát p" = k n. (6.13) y x p’’ Obdobně zavedeme pro jednotkový tečný vektor p' označení t = p', můžeme rovnici (6.13) vyjádřit t' = 1k n (6.14) Tento vzorec (6.14) nazýváme prvním Frenetovým vzorcem.

 z b p’= t P(s ) k p(s) n /p´´/ = 1k x y p’’ Geometrické a počítačové modelování Křivky. Tečná a oskulační rovina. (6) z Pomocí dvou jednotkových vektorů t a n definovaných v bodě P(s), sestrojíme jednotkový vektor b, který je kolmý na oba vektory n a b. Tento vektor b určíme rovnicí b = t * n. Je zřejmé, že vektor b je rovnoběžný s binormálou v bodě P(s). b p’= t  P(s ) k Druhá možnost, kdy p" = 0, znamená že je také první křivost 1k v daném bodě P(s) rovna nule. V tomto případě každá tečná rovina je rovinou oskulační. p(s) n /p´´/ = 1k y x p’’ A zkoumaná křivka v tomto bodě P(s) je přímkou nebo její částí.

P0 t k α1 P2 α 2 α P1