RF 4.1. Elementární difúzní teorie Elementární difúzní teorie je asymptotickým přiblížením jednorychlostní transportní teorie. Platí: v oblastech dostatečně vzdálených od rozhraní, v oblastech dostatečně vzdálených od zdrojů neutronů, když rozptyl neutronů lze považovat za izotropní v LS.

RF Neutrony, které jsou v rozptylujícím prostředí charakteri- zovány svým rozložením v prostoru, energii a čase, se globálně nazývají neutronovým polem. Pro neutronové pole se používají následující statistické veličiny: hustota neutronů, hustota toku neutronů hustota proudu neutronů. Do zavedení měrových jednotek SI byla hustota toku neutronů, resp. hustota proudu neutronů, nazývána pouze neutronový tok, resp. neutronový proud Hustota neutronů, hustota toku neutronů a hustota proudu neutronů

RF Obr.4.1 Objemový element dV, element prostorového úhlu ve sférickém souřadnicovém systému.

RF Funkce [m -3 sr -1 eV -1 ] se nazývá diferenciální hustota neutronů a představuje očekávaný počet neutronů v bodě se směrem a energií E v čase t vztažený na jednotkový objem, jednotkový prostorový úhel a jednotkový interval energie. Když provedeme integraci diferenciální hustoty přes všechny směry pohybu, obdržíme celkový očekávaný počet neutronů v bodě s energií E a v čase t vztažený na jednotkový objem a jednotkový interval energie. Funkce [m -3 eV -1 ] je energeticky a časově závislá hustota neutronů.

RF Zavedeme nyní vektorovou diferenciální hustotu toku neutronů (nazývanou ještě někdy vektorový diferenciální neutronový tok) podle definice kde a je velikost rychlosti neutronu. Velikost vektorové diferenciální hustoty toku neutronů, tj. je diferenciální hustota toku neutronů (někdy ještě také diferenciální neutronový tok) [m -2 sr -l eV -l s -1 ].

RF udává počet neutronů v bodě s energiemi v intervalu dE kolem E a pohybující se směry uvnitř diferenciálního prostorového úhlu kolem, které prochází jednotkovou plochou kolmou na směr za jednotku času v čase t. Integrací diferenciální hustoty toku neutronů přes všechny směry získáme celkovou hustotu toku neutronů (nazývanou ještě někdy celkový neutronový tok) závislou na energii a čase

RF Integrováním diferenciální hustoty toku neutronů přes všechny energie získáme energeticky nezávislou diferenciální hustotu toku neutronů Funkce [m -2 sr -1 s -1 ] představuje počet neutronů procházejících v bodě ve směru jednotkovou plochou kolmou ke směru za jednotku času v čase t vztažených na jednotkový prostorový úhel. Integrujeme ‑ li funkci přes všechny směry, obdržíme funkci, tj. energeticky nezávislou celkovou hustotu toku neutronů

RF Energeticky nezávislá diferenciální hustota toku neutronů může být v mnoha případech vyjádřena pouze jako funkce sférického úhlu θ, kdy neutronové pole je možno považovat za sféricky symetrické. Pak platí vztah V takových případech lze funkci s výhodou rozvinout pomocí Legendreových polynomů

RF První čtyři Legendreovy polynomy jsou Pro koeficienty platí rovnice Pro l = 1 bude tzv. nultý moment funkce

RF Nechť je celkový počet neutronů, které prochází v bodě za jednotku času v čase t jednotkovou plochou dA (viz obr.4.3), jejíž normála je orientována ve směru jednotkového vektoru. Počet neutronů, které prochází plochou dA za jednotku času v čase t v elementárním prostorovém úhlu kolem bude kde je směr normály k ploše dA. Potom pro hustotu proudu neutronů plochou dA platí tj.:

RF Obr. 4.3 K odvození vztahu pro

RF kde je tzv. hustota proudu neutronů, (popř. neutronový proud), určená vztahem Pro sféricky symetrické neutronové pole můžeme psát Porovnáním s druhým členem rozvoje vyplývá, že Pro pak můžeme psát

RF Obecná transportní rovnice Základem teorie jaderných reaktorů je zákon rovnováhy neutronů: přírůstek počtu neutronů za jednotku času v jednotkovém objemu je roven počtu neutronů, které vznikají za jednotku času v tomto objemu, zmenšeném o počet neutronů, které z tohoto objemu za jednotku času unikly a které byly v něm absorbovány. Obecně můžeme tuto rovnici napsat takto kde je změna hustoty neutronů za jednotku času.

RF Transportní rovnice (Boltzmannova, kinetická) Transportní rovnice je obecná matematická formulace zákona neutronové rovnováhy. Je to složitá integrodiferenciální rovnice pro diferenciální hustotu toku neutronů.

RF Pro homogenní izotropní prostředí, ve kterém nebudeme uvažovat časovou změnu izotopického složení ani zpožděnou emisi neutronů, transportní rovnice může být napsána ve tvaru - diferenciální hustota toku neutronů, - celkový (totální) makroskopický účinný průřez, -diferenciální hustota rychlosti vzniku neutronů z vnějších zdrojů, - celkový pravděpodobný počet neutronů s energií v jednotkovém intervalu kolem E a směrem pohybu v jednotkovém prostorovém úhlu kolem vzniklých po rozptylové interakci jednoho neutronu, který měl před interakcí energii E’ a směr na jednotku dráhy.

RF Funkce může být vyjádřena ve tvaru - makroskopický účinný průřez rozptylové interakce i ‑ tého typu, -střední počet sekundárních neutronů emitovaných při interakci i ‑ tého typu, -diferenciální (úhlová) rozdělovací funkce, která udává pravděpodobnost vzniku sekundárního neutronu ve směru s energii E po i ‑ té rozptylové interakci neutronu, před kterou se pohyboval směrem s energií E', -makroskopický diferenciální účinný průřez.

RF Rozdělovací funkce jsou normovány k jedné, tj. Protože štěpení je v laboratorním systému izotropní, můžeme pro rozdělovací funkci štěpení psát kde funkce χ(E) je energetické spektrum štěpných neutronů emitovaných při štěpné interakci normované na jeden emitovaný neutron Celkový pravděpodobný počet neutronů, může být také vyjádřen pomocí totálního účinného průřezu, zavedeme-li novou rozdělovací funkci,. Pak

RF Rozdělovací funkce je normována tak, že Veličina c(E') je střední počet sekundarit na jednu srážku. Je to průměrný počet sekundárních neutronů připadajících na jednu srážku, které vznikly v bodě v důsledku všech typů interakcí neutronu s energií E'. Pro čistě absorpční srážku jako je např. (n,γ) je c = 0, pro rozptylové srážky je c = 1 a pro štěpení je c = ν.

RF Při řešení transportní rovnice pro homogenní izotropní prostředí využíváme následující okrajové podmínky: 1.Při průchodu rozhraním dvou rozptylujících prostředí požadujeme ve směru svazku procházejících neutronů spojitost hustot toku neutronů. Matematický zápis tohoto požadavku je je spojitou funkcí R pro na rozhraní, 2.Podmínka na rozhraní mezi rozptylujícím prostředím a vakuem (na tzv. volném povrchu) je pro pro všechna na rozhraní, kde je jednotkový vektor vnější normály v bodě na povrchu. Kromě těchto dvou podmínek nutno ještě respektovat tzv. podmínku pro nekonečné prostředí a počáteční podmínky.

RF Obr.4.4 Vztah mezi úhly τ, τ´, τ o, Ψ a Ψ’

RF Jednorychlostní stacionární transportní rovnice Časově a energeticky nezávislou transportní rovnici, která popisuje chování monoenergetických neutronů v rozptylujícím prostředí ve stacionárním stavu, tj. když, odvodíme z transportní rovnice pro homogenní izotropní prostředí za těchto předpokladů: změna Σ t (E) s energií je zanedbána, tj. Σ t (E) = Σ t (E') = = Σ t, střední počet sekundarit c(E) nezávisí na energii, tj. c(E)=c(E')=c, hodnota integrálu rozdělovací funkce je nezávislá na počáteční energii neutronu E'.

RF Integrál potom může být vyjádřen ve tvaru kde

RF Použijeme ‑ li v transportní rovnici pro homogenní izotropní prostředí výše uvedených vztahů obdržíme po integraci přes energie jednorychlostní stacionární transportní rovnici ve tvaru kde veličiny, a jsou definovány následujícími vztahy: Podstatného zjednodušení při řešení této rovnice dosáhneme, budeme-li předpokládat, že funkce a jsou pouze funkcemi proměnné x a úhlu τ mezi osou x a směrem.

RF Protože kde ajsou jednotkové vektory ve směru osy x, y a z, bude v jednorozměrném případě první člen na levé straně jednorychlostní stacionární transportní rovnice neboť. Pro případy, kdy je možné nepružný rozptyl zanedbat, k reakcím (n,2n) vůbec nedochází a štěpení je zahrnuto do zdrojového členu, bude funkce W mít zjednodušený tvar:

RF Integrováním jednorychlostní stacionární transportní rovnice podle úhlu Ψ v intervalu od 0 do 2π obdržíme jedno- rozměrnou transportní rovnici ve tvaru kde jsme již použili vztahů K řešení transportní rovnice se používá metoda kulových harmonických funkcí.

RF V izotropním prostředí účinný průřez závisí pouze na úhlu mezi směry a, tj. na úhlu rozptylu τ o. Můžeme tedy psát kde μ o značí kosinus úhlu rozptylu. Výraz rozvineme podle Legendreových polynomů kde koeficienty rozvoje jsou dány vztahem

RF Prvním členem rozvoje je dán celkový účinný průřez pro rozptyl druhým členem celkový účinný průřez pro rozptyl násobený střední hodnotou kosinu úhlu rozptylu, tj.

RF Pro vyjádření jako funkce veličin Ψ', Ψ, μ' a μ využijeme adičního teorému pro Legendreovy polynomy kde jsou sdružené Legendreovy funkce m ‑ tého řádu. Potom můžeme psát

RF A konečně můžeme integrál z pravé strany jednorozměrné transportní rovnice psát v následujícím tvaru

RF Po úpravách a s využitím vztahu bude a obdržíme jednorychlostní transportní rovnici pro jednorozměrný případ ve tvaru

RF Rozvineme také diferenciální hustotu toku neutronů a zdrojový člen podle Legendreových polynomů, tj. kde koeficienty rozvoje jsou dány vztahy

RF Přiblížení elementární teorii difúze získáme, omezíme ‑ li se na první dva členy rozvoje diferenciální hustoty toku podle Legendreových polynomů, tj. pro všechna l > 1 volíme. Funkce bude pak vyjádřena ve tvaru kde funkce a jsou opět nultý a první moment hustoty toku. Integrací jednorychlostní transportní rovnici pro jednorozměrný případ podle μ v intervalu od ‑ 1 do +1 obdržíme

RF Využitím ortogonality Legendreových polynomů dostáváme kde S(x) ≡ S 0 (x) je celková vydatnost zdroje. Protože pro náš případ Σ t = Σ a + Σ s lze sa použitím Σ s ≡ Σ s0 upravit na tvar

RF Vynásobením jednorychlostní transportní rovnice pro jednorozměrný případ funkcí P 1 (m) a integrací v mezích od -1 do +1 odvodíme vztah Protože předpokládáme, že zdroje neutronů jsou izotropní, je zdrojový člen v této rovnici roven nule. integrál z výše uvedené rovnice (označený symbolem I) bude mít tvar Použijeme ‑ li nyní pro funkci vztah

RF Z podmínek ortogonality vyplývá, že Pak můžeme rovnici zapsat ve tvaru popř. po úpravě

RF Derivujeme ‑ li poslední rovnici podle x, dostáváme pro funkci rovnici Zavedeme nyní koeficient difúze D podle vztahu Využijeme ‑ li vztahů Σ s1 = Σ s a Σ t = Σ a + Σ s, můžeme koeficient difúze psát ve tvaru Dále přijmeme-li, že Σ tr = Σ s (1 - ) =, kde je tzv. střední volná dráha pro transport, dostáváme

RF Použijeme-li označení a, můžeme psát Pro trojrozměrný případ potom Fickův zákon difúze Difúzní rovnice

RF Podmínky použitelnosti elementární difúzní teorie Hustotu proudu neutronů J(x) můžeme vyjádřit ve tvaru protože P 1 (μ) = μ a. Veličina ι d je střední volná dráha difúze. Je ‑ li Σ a << Σ s, pak. Použijeme-li dále průměrné hodnoty čtverce kosínu úhlového rozložení neutronů, definované vztahem a rovnost

RF dostáváme obecný tvar Fickova zákona používaný v difúzní teorii Bude-li navíc veličina nezávislá na poloze, pak a

RF Uvědomíme-li si, že dostáváme a po úpravě Veličina tedy nezávisí na x tehdy, když poměr φ 2 (x)/ φ 0 (x) nezávisí na x. V tomto případě elementární difúzní teorie platí zcela přesně. Dále můžeme psát

RF Asymptotické řešení transportní rovnice Obecně platí: V blízkosti rozhraní dvou různých prostředí nebo v blízkosti zdroje neutronů je úhlové rozložení neutronů silně anizotropní. Proto v těchto oblastech je nutné použít většího počtu členů v rozvoji funkce φ(x,μ) do kulových funkcí. V dostatečné vzdálenosti od rozhraní a zdrojů neutronů (v asymptotické oblasti) se vliv rozhraní a zdroje již neprojeví a φ(x,μ) lze s dostatečnou přesností vyjádřit funkcemi φ 0 (x) a φ 1 (x). V tomto případě je φ 2 (x) = 0 a poměr φ 2 (x)/φ 0 (x) je na x nezávislý. Poměr φ 2 (x)/φ 0 (x) je nezávislý na poloze ve dvou speciálních případech. V obou případech platí elementární difúzní rovnice:

RF 1) Neabsorbující prostředí Vyjádření funkce φ(x, μ) prvními dvěma členy rozvoje do kulových funkcí odpovídá vyjádření funkce φ 0 (x) Taylorovou řadou, ve které všechny členy obsahující derivace druhého řádu a řádů vyšších jsou nulové, takže φ 0 (x) je lineární funkcí x: Vzhledem k dříve uvedené rovnosti dostáváme

RF Můžeme nyní jednorychlostní transportní rovnici pro jednorozměrný případ zapsat ve tvaru a po integraci odkud s využitím rovností Σ s0 = Σ s a Σ t = Σ a + Σ s pro C platí Má-li být C konstantní, musí být Σ a = 0 a dostáváme

RF Derivováním rovnosti obdržíme a tedy Dosazením do a použitím rovnosti φ 1 (x) = φ(x) dostáváme vztah pro hustotu proudu neutronů v asymptotické oblasti ve tvaru Tato rovnice vyjadřuje Fickův zákon v prostředí bez absorpce, pro které je koeficient difúze.

RF Pro monoenergetické neutrony v neabsorbujícím prostředí v oblastech vzdálených od rozhraní a zdrojů platí elementární difúzní teorie přesně. Rovnice pro funkci φ(x, μ) v asymptotickém případě bez absorpce nabývá tvaru

RF 2) Absorbující prostředí Podmínky použitelnosti difúzní teorie v absorbujícím prostředí lze odvodit, můžeme-li funkci φ(x, μ) vyjádřit jako součin dvou funkcí, z nichž jedna závisí jenom na x a druhá jenom na μ. Potom harmonické funkce dělené funkcí φ 0 (x) budou pro všechna x konstantní a φ 2 (x)/φ 0 (x) bude nezávislý na x. Předpokládejme, že rozptyl neutronů je izotropní v laboratorním systému, tj. všechny Σ sl kromě Σ s0 = Σ s jsou rovny nule. Potom pro transportní rovnici platí

RF Předpokládejme řešení poslední rovnice ve tvaru kde κ je zatím blíže neurčená veličina. Dosazením získáme rovnici odkud

RF Integrací podle  od -1 do +1 získáme vztah z čehož plyne a po integraci

RF Obr 4.5 Závislost κ/Σ t na Σ s /Σ t

RF Pro Σ s /Σ t ≈ 1, tj. pro slabě absorbující prostředí (Σ a << Σ t ), je κ << Σ t. Pak obdržíme Obecné asymptotické řešení transportní rovnice má tvar kde A a C jsou konstanty. Odpovídající vyjádření pro celkovou hustotu toku neutronů obdržíme integrací přes všechny směry

RF Užitím posledního vztahu dostáváme V asymptotické oblasti platí tedy vždy mezi hustotou proudu neutronů a gradientem hustoty toku neutronů vztah ve tvaru Fickova zákona. V limitním případě, kdy Σ a / Σ s → 0 a κ 2 = 3 Σ a Σ t, je

RF Závěrů, ke kterým jsme dospěli za předpokladu izotropního rozptylu, může být také použito i v případě slabě anizotropního rozptylu, když rozptylový účinný průřez je vyjádřen prvními dvěma členy rozvoje podle Legendreových polynomů. Pro případ, kdy Σ a / Σ s << 1, lze transcendentní rovnici rozvinout v řadu a pro veličinu κ 2 lze získat rovnici ve tvaru Pro slabou absorpci, tj. kdy Σ a / Σ t → 0, můžeme hodnotu Σ t nahradit hodnotou Σ s a dostáváme