1. cvičení úrokování

ÚROK, ÚROKOVÁ MÍRA Úroková míra vyjadřuje poměr výnosu k vloženému (půjčenému) kapitálu, a to buď v relativním (např. 0,1), nebo procentním (např. 10 %) vyjádření. Úrok je pak z pohledu věřitele odměna za to, že poskytl své volné peněžní prostředky dočasně někomu jinému. Z pohledu dlužníka je úrok cena, kterou platí za získání půjčky. Obecně je tedy úrok cenou peněz. Obvykle se užívá úroková míra: nominální, reálná nebo efektivní. Lze se pak setkat i s úrokovou mírou hrubou nebo čistou (podle toho zda zohledňuje daň z příjmů či nikoli) či požadovanou (např. požadovaná míra výnosnosti).

Úroková míra NOMINÁLNÍ Nominální úroková míra je úroková míra, která je sjednána mezi věřitelem (poskytovatelem kapitálu) a dlužníkem (příjemcem kapitálu) např. v úvěrové smlouvě,v rámci úročení dluhopisů atp. Nominální úroková míra nezohledňuje míru inflace. Pro její správnou interpretaci je třeba znát časové období, ke kterému je poměřována, a četnost připisování úroků. Období, ke kterému je poměřována, je zaznamenáváno latinskou zkratkou za procentním vyjádřením výše úroku. Nejčastěji se lze setkat s nominální úrokovou mírou roční (p.a. - per annum). Pokud není u procentní sazby úroku uvedena žádná zkratka, má se za to, že se jedná o roční úrokovou míru!

Úroková míra NOMINÁLNÍ Dále pak: p.s. – pololetní (per semestre), p.q. – čtvrtletní (per quartale), p.m. – měsíční (per mensem), p.sept. – týdenní (per septimanam) p.d. – denní (per diem). Přitom platí, že roční úroková míra = 2×pololetní úroková míra = 4×čtvrtletní úroková míra = 12×měsíční úroková míra = 360 (365; 366)× denní úroková míra. Četnost připisování úroků vyjadřuje tzv. úrokovací období, což je doba, za kterou se pravidelně připisují úroky, vyjadřuje tedy frekvenci úročení.

Úroková míra - REÁLNÁ Reálná úroková míra vyjadřuje nominální úrokovou míru upravenou o míru inflace. Vypočteme ji pomocí následujícího vzorce:

Úroková míra - REÁLNÁ

Úroková míra - EFEKTIVNÍ Efektivní úroková míra je roční nominální úroková míra při ročním připisování úroků, která odpovídá roční nominální úrokové míře při častějším připisování úroků. Výpočet efektivní úrokové míry je následující:

Úroková míra - EFEKTIVNÍ

Příklady Jaká je výše reálné úrokové míry (v případě vkladového účtu), je-li nominální úroková míra 1 % a míra inflace 1 %? Jaká je výše reálné úrokové míry (v případě vkladového účtu), je-li nominální úroková míra 1 % a míra inflace 1 %? Uvažujte zdanění 15% sazbou daně z příjmů.

Doba splatnosti Doba, po kterou je kapitál uložen či zapůjčen, Při vyjadřování doby splatnosti ve dnech se používají různé standardy: ACT/365 (anglický standard) znamená, že každý měsíc má skutečný počet dní (ACT) a rok má 365 dní. ACT/360 (francouzský standard) znamená, že každý měsíc má skutečný počet dní (ACT) a rok má 360 dní. 30E/360 (německý/evropský standard) znamená, že každý měsíc má 30 dní a rok má 360 dní.

Co ovlivňuje výši úrokové sazby Očekávaná inflace, s jejímž růstem klesá kupní síla peněz a věřitel požaduje od dlužníka vyšší sumu, aby tuto ztrátu nahradil. Investiční příležitosti. Mám možnost dříve získanou částku investovat? S jakým výnosem? Osobní preference dřívější spotřeby před pozdější. Vyšší ochota lidí čekat (nižší časová preference) vede k nižším úrokovým sazbám a naopak. Riziko nesplacení půjčky, s jehož růstem roste i kompenzace v podobě úrokové sazby požadované věřitelem.

Úrok a úročení Úročení je způsob výpočtu úroku. Z hlediska doby splatnosti dělíme úročení: na jednoduché – doba splatnosti nepřekročí jedno úrokové období, složené – úročení přes několik úrokových období. (a smíšené – kombinace jednoduchého a složeného úročení). Z hlediska doby výplaty úroků rozdělujeme úročení na: předlhůtní (anticipativní) a polhůtní (dekurzívní).

JEDNODUCHÉ ÚROČENÍ úroky se v průběhu jednoduchého úročení nepřidávají k základu a dále se neúročí; tj. úroky se stále počítají pouze ze základu používá se převážně pouze pro doby t kratší než 1 rok splatná částka základ

JEDNODUCHÉ ÚROČENÍ Jednoduché úročení (polhůtní):

SLOŽENÉ ÚROČENÍ na konci každého období se vypočtený úrok přidá k základu a v dalším období se úročí spolu s ním; splatná částka základ

SLOŽENÉ ÚROČENÍ

JEDNODUCHÉ vs. SLOŽENÉ úročení splatná částka Jednoduché ú. jednoduché úročení základ t = 1 čas 1 čas

SMÍŠENÉ ÚROČENÍ - Kombinace jednoduchého a složeného úročení V některých případech je třeba kombinovat jednoduché a složené úročení – úročíme-li částku několik celých období + část úrokovacího období Např. úročíme vklad 3 roky a 100 dnů Připsaný úrok ú ú ú ú čas BH 3 1 2 SH, jednorázový vklad 100 dnů II. jednoduché úročení I. Složené úročení

SLOŽENÉ ÚROČENÍ n počet úrokovacích období J0 počáteční stav vkladu / úvěru Jn stav vkladu po n obdobích

SLOŽENÉ ÚROČENÍ Rok Stav kapitálu na konci roku 1 2 3 … n

PŘÍKLADY jednoduché úročení Jaký je stav vkladu 1.420.000 Kč za sedm měsíců při úrokové sazbě 1,5% p.a.? Jak velký počáteční vklad vzroste při 2% úrokové sazbě p.a. od 12.4. do 24.6. o 1.500 Kč? Po jakou dobu byl uložen vklad ve výši 3.960 Kč, jestliže vzrostl při úrokové sazbě 2% p.a. připsáním úroků na konci období na 4.000 Kč? Při jaké úrokové sazbě bude činit úrok z vkladu 100.000 Kč za sedm měsíců 1.500 Kč?

PŘÍKLADY složené úročení Uložili jsme částku 120.000 Kč. Jaká bude výše kapitálu za tři roky při složeném úročení, jestliže úrokovací období je roční a úroková sazba činí 1,5 % p.a.? Uložili jsme částku 120.000 Kč. Jaká bude výše kapitálu za tři roky při složeném úročení, jestliže úrokovací období je pololetní a úroková sazba činí 1,5 % p.a.? Vklad 100.000 Kč je uložen na 10 let s úrokovou sazbou 6% p.a. Jaká je splatná částka při ročním, pololetním, čtvrtletním a měsíčním složeném úrokování? Jaká nominální roční úroková sazba se čtvrtletním složeným úrokováním za 5 let zúročí základ 50.000 Kč na splatnou částku 70.000 Kč?

9) Rozhodli jste se založit svému právě narozenému dítěti termínový bankovní účet spojený s pevnou úrokovou sazbou 2,5 % p.a. a uložit dnes na tento účet takovou částku, aby si dítě mohlo v den svých osmnáctých narozenin vyzvednout z tohoto účtu celý milion Kč. Kolik musíte uložit dnes do banky, předpokládáme-li roční úrokové období? 10) Jaký byl počáteční kapitál a úroková sazba, při které byl uložen, víme-li, že po roce byl jeho stav 50.000 Kč a po dvou letech 52.500 Kč při ročním úrokovém období? Úroky byly připisovány ke vkladu ročně a dále úročeny spolu s vkladem.

11) Máme možnost koupit ojetý automobil 11) Máme možnost koupit ojetý automobil. Je pro nás výhodnější hotově zaplatit 240.000 Kč, nebo dát zálohu 120.000 Kč a za tři roky doplatit 140.000 Kč? Co je pro nás výhodnější, máme-li možnost uložit peníze při 4 % úrokové sazbě p.a. (úroky připisovány ročně)? 12) Na kolik Kč vzroste vklad 150.000 Kč, uložený tři roky a pět měsíců při úrokové sazbě 1,5 % p.a.? Úroky jsou připisovány ročně.

Úrokování Jak vysokou částku získal klient, který 19.11.2004 uložil do banky 25.000 Kč při fixní úrokové sazbě 4 % p.a. a tento vklad vybral 6.3.2007? (Úroky se připisují vždy na konci roku.) Klient uložil částku 50.000 Kč na dobu 10 let při složeném úročení. První 3 roky byla úroková sazba ve výši 2,5 % p.a., po zbývající dobu se částka úročila sazbou 2 % p.a. Jak vysoká částka bude vyplacena po deseti letech? Pan Novák vložil na bankovní účet částku 120.000 Kč při úrokové sazbě 3 % p.a. Po dvou letech však z účtu vybral částku ve výši 80.000 Kč. Jaká částka mu byla vyplacena po pěti letech, kdy vybral celý zbytek?

Úrokování Jaká byla roční úroková sazba z vkladu, jestliže částka 20.000 Kč vzrostla za 4 roky na 23.400 Kč? Úroky byly vypláceny jedenkrát ročně, ponechány na účtu a dále úročeny. Jaká bude výše úroku z kapitálu 200.000 Kč za tři roky při pevné úrokové sazbě 2,5 % p.a., jsou-li úroky připisovány čtvrtletně, ponechány na účtu a dále úročeny?

Úrokování 18) Určete, jaký bude stav běžného účtu na konci roku, jestliže na něm byl během roku následující pohyb: Předpokládáme roční úrokové období a standard E30/360, úroková sazba 1,5 % p.a., od zdanění úroků abstrahujeme. 12.1. vklad 16 000 25.5. výběr 7 000 4.10. 15 000

Úrokování 19) Která varianta splácení dluhu je výhodnější pro věřitele a která pro dlužníka při ročním připisování úroků, je-li běžná roční úroková sazba 8 % p.a.? za 3 měsíce 200 000 Kč 105 000 Kč za 8 měsíců a 101 000 Kč za 12 měsíců