4. Přednáška – BOFYZ gravitační pole FYZIKA 4. Přednáška – BOFYZ gravitační pole Johannes Kepler (1571-1630)

gravitace BOFY Fyzikální jev, kdy se hmotná tělesa navzájem přitahují. Je jedna ze čtyř základních interakcí, neexistuje odpudivá varianta. Možná existují gravitony – částice, které gravitaci zajišťují. Galaxie – 150 miliard hvězd, každé dvě se navzájem přitahují První setkání s gravitací – pády na zem → všechno padá „dolů“, problémy s kulatou Zemí – kde to „dole“ vlastně je? Druhé setkání s gravitací –„co drží Měsíc na obloze“? Isaac Newton obojí spojil, dotáhl úvahy do konce a sestavil všeobecný gravitační zákon.

Newtonův gravitační zákon BOFY Newtonův gravitační zákon Každé dvě hmotné částice se navzájem přitahují opačnými stejně velkými gravitačními silami, jejichž velikost je přímo úměrná součinu jejich hmotností a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti. m1, m2 – hmotnosti částic r – vzdálenost částic G – gravitační konstanta (někdy κ – kappa) G = 6,67.10-11Nm2kg-2 Gravitační konstanta G není totéž, co tíhové zrychlení g!!! Význam G – velikost síly, kterou na sebe navzájem působí dvě částice o hmotnosti 1 kg ve vzdálenosti 1 m.

BOFY Slupková teorie Homogenní hmotná kulová slupka přitahuje vně ležící částici stejně, jako kdyby veškerá hmota slupky byla soustředěna v jejím středu. Země je po vrstvách homogenní, hmota je rozložena sféricky symetricky, proto můžeme Zemi překvapivě nahradit bodem o hmotnosti Země. Homogenní kulová hmotná slupka nepůsobí žádnou výslednou gravitační silou na částici umístěnou uvnitř jeho slupky (uvnitř Země).

Intenzita gravitačního pole BOFY Intenzita gravitačního pole Gravitační pole zprostředkovává gravitační interakci. Pro jeho popis zavádíme veličiny INTENZITU a POTENCIÁL a pro grafický popis navíc SILOČÁRY. Intenzita gravitačního pole K v daném místě je definována jako podíl gravitační síly Fg, která v daném místě pole působí na těleso s hmotností m, a hmotnosti m tohoto tělesa. K je vektorová veličina, má směr stejný se směrem Fg. Její velikost je číselně rovna velikosti Fg působící na těleso o hmotnosti 1 kg.

Intenzita gravitačního pole Země BOFY Intenzita gravitačního pole Země Pro Zemi (a jiná kosmická tělesa) určujeme intenzitu jako funkci vzdálenosti od povrchu (nebo od středu Země). MZ - hmotnost Země RZ - poloměr Země Intenzita se zmenšuje s rostoucí vzdáleností od Země. Pozn.: Intenzita nezávisí na hmotnosti m tělesa, jen na parametrech Země a výšce h nad povrchem.

Úloha na Intenzitu BOFY Na spojnici středů Země a Měsíce najděte místo, v němž je výsledná intenzita složeného gravitačního pole Země a Měsíce nulová. Hmotnost Měsíce MM = MZ/81, vzdálenost středu Měsíce od středu Země r = 60RZ. Výsledek vyjádřete pomocí poloměru Země RZ. V bodě A musí mít obě intenzity stejnou velikost a opačný směr, protože se navzájem vyruší. V bodě B mají sice také stejnou velikost, ale nevyruší se. Můžeme řešit buď jako kvadratickou rovnici a vyloučit řešení odpovídající bodu B, nebo odmocnit: Intenzity se vzájemně ruší ve vzdálenosti 54RZ od středu Země.

Gravitační potenciální energie BOFY Gravitační potenciální energie Zavádí se pro dvojici částic o hmotnostech m a M, které jsou ve vzdálenosti r. Zvolíme Ep = 0 pro r → ∞, pro každou konečnou vzdálenost je Ep záporná a |Ep| bude růst s blízkostí částic Gravitační potenciál Zavádí se pro popis gravitačního pole v okolí tělesa o hmotnosti M. Potenciál φ daného místa pole určujeme jako velikost potenciální energie, kterou by v daném místě měla částice o hmotnosti 1 kg. Místa se stejným potenciálem označujeme ekvipotenciální hladiny.

Grafický popis pole BOFY Siločára je myšlená čára, jejíž tečna v daném bodě určuje směr vektoru intenzity K a je kolmá k ekvipotenciální hladině. radiální (centrální) homogenní

Gravitace u povrchu země BOFY Gravitace u povrchu země Podle 2.NZ obecně platí F = ma, pro gravitační sílu Fg můžeme psát Fg = mag, kde ag je gravitační zrychlení. Porovnáme s vyjádřením Fg pomocí intenzity K: Závěr: ag= K Známé tíhové zrychlení g není totéž co gravitační ag. Důvody: 1. Země není homogenní – různé oblasti pod povrchem Země mají různou hustotu 2. Země není koule – geoid (elipsoid), na pólech je zploštělá Rrovník = 6378 km, Rpolární = 6357 km 3. Země rotuje kolem své osy – je to neinerciální soustava a uplatňuje se odstředivá setrvačná síla Fo

Vliv rotace země rovník BOFY V neinerciální soustavě spojené se Zemí působí na těleso setrvačná odstředivá síla Fo, která se skládá s gravitační silou Fg. Výslednice je tíhová síla G. φ je zeměpisná šířka Rovník: Póly: rovník Normální tíhové zrychlení gn = 9,80665 ms-2

BOFY 1.Keplerův zákon Planety se pohybují po elipsách málo odlišných od kružnic, v jejichž společném ohnisku je Slunce.

2.Keplerův zákon vP > vA BOFY afélium perihélium Obsahy ploch opsaných průvodičem planety za jednotku času jsou konstantní.

BOFY 3.Keplerův zákon Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet se rovná poměru třetích mocnin délek hlavních poloos jejich drah.

Keplerovy zákony - přehled BOFY Keplerovy zákony - přehled popisují pohyby planet nebo jiných těles – měsíců, družic, komet, … v centrálním gravitačním poli, většinou Slunce 1.KZ: Planety se pohybují po elipsách málo odlišných od kružnic, v jejichž společném ohnisku je Slunce. Obecná formulace: částice se pod vlivem centrální síly pohybuje po kuželosečce (kružnici, elipse, parabole, hyperbole), která má ohnisko v centru síly 2.KZ: Obsahy ploch opsaných průvodičem planety za jednotku času jsou konstantní. 3.KZ: Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet je roven poměru třetích mocnin hlavních poloos jejich drah.

Úloha na 3.keplerův zákon BOFY Úloha na 3.keplerův zákon Nejbližší planeta Slunci je Merkur. Oběžná doba je 88 dní. Vypočítejte jeho střední vzdálenost od Slunce a vzdálenost v periheliu, jestliže vzdálenost v aféliu je 0,466 AU. Ze 3.Keplerova zákona určíme střední vzdálenost Merkuru od Slunce. Jako vztažnou planetu vezmeme Zemi aZ = 1AU, TZ = 1 rok = 365 dní Vzdálenost v periheliu určíme z toho, že střední vzdálenost je průměrem perihelia a afélia.

BOFY družice Tělesu ve výšce h udělíme počáteční rychlost v0 kolmo na směr tíhové síly, podle velikosti v0 se budou lišit trajektorie. v0 = 0 – volný pád. 0 < v0 < vk – část elipsy. v0 = vk – kružnice. vk < v0 < vp – celá elipsa. v0 = vp – parabola. Těleso se začíná trvale vzdalovat od Země. Může být ovšem zachyceno hmotnějšími planetami (např. Jupiterem) nebo Sluncem. v0 = vh – hyperbola. Těleso opouští Sluneční soustavu, neboť ho již žádné těleso ze Sluneční soustavy není schopno svým gravitačním polem zachytit.

Kruhová a úniková rychlost BOFY Kruhová a úniková rychlost Kruhová rychlost (1.kosmická) – těleso s vk se pohybuje po kružnici, gravitační a dostředivá síla se rovnají. Ve výšce h = 0 (na povrchu) … vk = 7,9 km.s-1 Parabolická = úniková (2.kosmická). Vyslané těleso se zastaví v ∞, kde má nulovou Ek (nepohybuje se) a nulovou Ep (byla tak zvolena), jeho celková mechanická energie je 0. Ze ZZE plyne, že musela být rovna 0 i na povrchu: Pozn.: Ani jedna z nich nezávisí na hmotnosti vyslaného tělesa.

Úloha na kruhovou rychlost BOFY Úloha na kruhovou rychlost V jaké výšce nad povrchem Země obíhá geostacionární družice, která je stále nad týmž místem rovníku? Konstanty: RZ = 6378 km, MZ = 6.1024 kg, G = 6,67.10-11Nm2kg-2 Doba oběhu je T = 24 h = 86 400 s (jako Země). Ve výšce h nad povrchem Země za dobu T družice opíše dráhu 2π(RZ + h) a její rychlost bude Rychlost družice lze také vyjádřit jako kruhovou rychlost Obě rychlosti položíme do rovnosti a upravíme:

POHYBY V TÍHOVÉM POLI ZEMĚ BOFY POHYBY V TÍHOVÉM POLI ZEMĚ Tíhové pole Země je pole HOMOGENNÍ → ve všech místech pole je stejná intenzita K, stejný potenciál φ a tělesu je udělováno zrychlení g = 9,81 ms-2. Omezujeme se jen na malé oblasti na povrchu Země (jinak to je radiální pole) Pohyby v tíhovém poli Země označujeme jako VRHY Podle vzájemného směru g a v0 je rozdělujeme: Volný pád - v0 = 0, přímočarý RZrP Svislý vrh - v0 a g jsou rovnoběžné, přímočarý RZrP Vodorovný vrh - v0 a g jsou kolmé, trajektorie je parabola Šikmý vrh – všechny ostatní případy, trajektorie je parabola Pozn.: VP a svislý vrh řešíme jako RZrP se zrychlením a = g. Vodorovný a šikmý vrh musíme zkoumat po složkách ve směru osy x a y, jsou to tzv. dvourozměrné pohyby.

BOFY Vodorovný vrh Je složený ze dvou pohybů: volný pád a RPP ve směru v0 Zkoumáme: polohu tělesa v čase t (souřadnice [x, y]) a rychlost tělesa v čase t (složky vx, vy)

Rychlost při vodorovném vrhu BOFY Rychlost při vodorovném vrhu Podle principu superpozice ji určíme po složkách, které pak podle Pythagorovy věty složíme. a Zajímá nás: Čas dopadu tD, je stejný jako u volného pádu. Délka vrhu D – dosadíme tD do vzorce pro x.

BOFY Šikmý vrh Při popisu šikmého vrhu budeme postupovat podobně jako u vodorovného vrhu – popíšeme pohyb po složkách ve směru os x a y, a ty potom složíme s využitím Pyth.věty. Na rozdíl od vodorovného vrhu musíme nejdříve složky ve směru x a y určit. Počáteční rychlost v0 svírá se směrem osy x úhel α, který označujeme jako elevační. Velikosti složek počáteční rychlosti: Šikmý vrh je složen z: RPP ve směru osy x Svislého vrhu ve směru osy y

Matematický popis šikmého vrhu BOFY Matematický popis šikmého vrhu Ve směru x … RP Ve směru y … svislý vrh Rychlost v je vektorovým součtem složek vx a vy. Doba výstupu tV → čas dosažení nejvyššího bodu

Maximální Dolet šikmého vrhu BOFY Maximální Dolet šikmého vrhu Souřadnice [x, y] pro dolet jsou [R, 0], dosadíme: R Rovnice je v součinovém tvaru, jedním řešením je t = 0, což odpovídá času výstřelu, druhou vyřešíme po dosazení za t. Maximální R bude pro danou rychlost v0 tehdy, když bude sin2α = 1, což je pro úhel α = 45o.

Maximální výška šikmého vrhu BOFY Maximální výška šikmého vrhu Souřadnice [x, y] pro maximální výšku jsou [½R, H] Maximální výšky H dosáhne těleso v čase tV, Dosadíme do vztahu pro y-ovou souřadnici: Pozn.: Porovnejte tento vztah se vzorcem pro maximální výšku h svislého vrhu, odpovídá očekávání. Pro úhly α a 90°–α je stejný dolet R, ale vrhy se liší výškou H.

Balistická křivka BOFY Všechny předchozí úvahy se týkaly pohybu ve vakuu, odpor vzduchu jsme zanedbali. V reálné situaci odpor prostředí zanedbat nelze a trajektorií šikmého vrhu není parabola, ale balistická křivka.

BOFY Děkuji za pozornost