Obchodní akademie, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Vzdělávací materiál/DUM VY_32_INOVACE_08B12 Autor RNDr. Marcela Kepáková Období vytvoření Duben 2013 Ročník/věková kategorie 2. ročník Vyučovací předmět/klíčová slova Matematika Goniometrické funkce Anotace Prezentace je určena pro 2. ročník . Slouží k pochopení pojmu goniometrická funkce , její vlastnosti a určování hodnot goniometrických funkcí.

Vlastnosti goniometrických funkcí Goniometrické funkce Vlastnosti goniometrických funkcí

Vlastnosti funkce sinus Grafem funkce je sinusoida D(f) = R H(f) = <-1;1> Funkce rostoucí <-/2+2k; /2+2k>; kZ Funkce klesající </2+2k; 3/2+2k>; kZ Funkce je omezená Funkce je lichá; sin(-x)= -sinx Max x = /2+2k y =1;min x = 3/2+2k y = -1 Nulové body x = 0+k y = 0 Funkce je periodická s periodou 2

Vlastnosti funkce kosinus Grafem funkce je kosinusoida D(f) = R H(f) = <-1;1> Funkce rostoucí <+2k; 2+2k>; kZ Funkce klesající <0+2k; +2k>; kZ Funkce je omezená Funkce je sudá; cos(-x) = cosx Max x = 0+2k y =1;min x = +2k y = -1 Nulové body x = 0+k y = 0 Funkce je periodická s periodou 2

Vlastnosti funkce tangens Grafem funkce je tangentoida D(f) = R-{(2k+1)/2} H(f) = R Funkce rostoucí Funkce není omezená Funkce je lichá; tg(-x)=-tgx Maximum, minimum nemá Nulové body x = k y = 0 Funkce je periodická s periodou 

Vlastnosti funkce kotangens Grafem funkce je kotangentoida D(f) = R-{k} H(f) = R Funkce klesající Funkce není omezená Funkce je lichá, cotg(-x)= -cotgx Maximum, minimum nemá Nulové body x = /2+k y = 0 Funkce je periodická s periodou 

Další vlastnosti goniometrických funkcí Pro všechna reálná čísla x platí: sin(-x) = - sinx cos(-x) = cosx tg(-x) = -tgx cotg(-x) = -cotgx

Další vlastnosti goniometrických funkcí I. kvadrant sin x cos x II. kvadrant sin (π-x) = sin x cos (π-x) = - cos x III. kvadrant sin (π+x) = - sin x cos (π+x) = - cos x IV. kvadrant sin (2π-x) = - sin x cos (2π-x) = cos x

Pokud chceme určovat hodnoty goniometrických funkcí úhlů větších než 90°, musíme vždy nejprve určit, ve kterém kvadrantu leží koncové rameno úhlu a potom postupovat individuálně v každém kvadrantu. Úhly ve II. kvadrantu sin 150° = sin (180°- 30°) = sin 30° = 1 2 cos 150° = cos (180°-30°) = - cos 30° = - 3 2 sin 135° = sin (180°- 45°) = sin 45° = 2 2 tg 120° = tg(180°-60°) = - tg 60° = - 3

Úhly ve III. Kvadrantu sin 225° = sin (180°+ 45°) = - sin 45° = - 2 2 sin 240° = sin (180°+ 60°)= - sin 60°= - 3 2 cos 210°= cos (180°+30°)= - cos 30° = - 3 2 cos 240 ° = cos (180°+ 60°)= - cos 60 °= - 1 2

Úhly ve IV. Kvadrantu sin 315° = sin (360°- 45°) = - sin 45° = - 2 2 sin 330° = sin (360°- 30°) = -sin 30°=- 1 2 cos 300°= cos (360°- 60°) = cos 60° = 1 2 cos 315° = cos (360°- 45°) = cos 45° = 2 2

Příklad Určete hodnoty daných funkcí užitím ostrého úhlu: sin1200, cos 1350, tg 1500, cotg 1350, sin2400, cos 2250, tg 2100, cos 150°,cotg 24O0, sin3000, cos 3150, tg 3300, cotg 3600

Příklad Vypočítejte: sin 4950, cos 8700, tg 4950, cotg 10800, sin20100, cos 6000, tg 12600, cotg 5700

Příklad Vypočítejte: tg 1200 + sin 3000 cos 2250-cotg 1500 tg 1200.cotg2100 - sin 2400.cos 3000 sin1500.tg 1350 – cos 3150.cotg 1350

Příklad Rozhodněte, která z rovností platí: sin (-450) = sin 450 cos (-250) = -cos 250 tg (-120)= tg 120 cotg(-380) = -cotg

Příklad Rozhodněte, která z rovností platí: sin 300 = cos 600 tg 1500= cotg 1200 cos1800 = sin 2700 sin 2100= cos 2400 cos 3300= sin 3000

Příklad Rozhodněte, která z rovností platí: sin 520 = sin 1280 cos 520 = cos 1280 tg 520 = tg 1280 cotg520 = cotg 1280 sin 250 = - sin 1550 cos 250 = - cos 1550 tg 250 = - tg 1550 Cotg 250 = - cotg 1550

Příklad Rozhodněte, která z rovností platí: sin 500 = sin1300 cos200 = cos 2000 cos 200= cos 1600 cos 200= cos 3400

Příklad Které goniometrické funkce jsou pro úhel 1200 kladné 1500 záporné 2100 záporné 2400 kladné 3000 kladné 3300 záporné

Příklad Které z čísel -3; 2; 0,7; -0,1; -1; 1,3; lze považovat za hodnotu funkce sinus nebo kosinus?

Příklad Rozhodněte, která z následujících čísel jsou kladná, záporná, rovna 0.

Příklad Rozhodněte, které z uvedených výroků jsou pravdivé

Zdroje Function Graph. http://rechneronline.de/function-graphs (accessed Jan 01, 2013). Příklady z vlastní databáze