4.DIFÚZE NEUTRONŮ 4.1. Elementární difúzní teorie 4.1.1. Hustota neutronů, hustota toku a hustota proudu neutronů 4.1.2. Obecná transportní rovnice 4.1.3. Jednorychlostní stacionární transportní rovnice 4.1.4. podmínky použitelnosti elementární difúzní teorie 4.1.5. Asymptotické řešení transportní rovnice 4.2. Aplikace elementární difúzní teorie 4.2.1. Elementární odvození Fickova zákona 4.2.2. Upřesnění elem. difúzní teorie na základě transportní rovnice 4.2.3. Únik neutronů z objemové jednotky 4.2.4. Difúzní rovnice 4.2.5. Formulace okrajových podmínek 4.2.6. Řešení difúzní rovnice 4.2.7. Difúzní délka 4.2.8. Albedo v teorii difúze

4.1. Elementární difúzní teorie Elementární difúzní teorie je asymptotickým přiblížením jednorychlostní transportní teorie. Platí: v oblastech dostatečně vzdálených od rozhraní, v oblastech dostatečně vzdálených od zdrojů neutronů, když rozptyl neutronů lze považovat za izotropní v LS.

4. 1. 1. Hustota neutronů, hustota toku. neutronů a 4.1.1. Hustota neutronů, hustota toku neutronů a hustota proudu neutronů Neutrony, které jsou v rozptylujícím prostředí charakteri-zovány svým rozložením v prostoru, energii a čase, se globálně nazývají neutronovým polem. Pro neutronové pole se používají následující statistické veličiny: hustota neutronů, hustota toku neutronů hustota proudu neutronů. Do zavedení měrových jednotek SI byla hustota toku neutronů, resp. hustota proudu neutronů, nazývána  pouze neutronový tok, resp. neutronový proud.

Obr. 4. 1 Objemový element dV, element prostorového. úhlu ve sférickém Obr.4.1 Objemový element dV, element prostorového úhlu ve sférickém souřadnicovém systému.

Funkce [m-3sr-1eV-1] se nazývá diferenciální hustota neutronů a představuje očekávaný počet neutronů v bodě se směrem a energií E v čase t vztažený na jednotkový objem, jednotkový prostorový úhel a jednotkový interval energie. Když provedeme integraci diferenciální hustoty přes všechny směry pohybu, obdržíme celkový očekávaný počet neutronů v bodě s energií E a v čase t vztažený na jednotkový objem a jednotkový interval energie. Funkce [m-3eV-1] je energeticky a časově závislá hustota neutronů.

Zavedeme nyní vektorovou diferenciální hustotu toku neutronů (nazývanou ještě někdy vektorový diferenciální neutronový tok) podle definice kde a je velikost rychlosti neutronu. Velikost vektorové diferenciální hustoty toku neutronů, tj. je diferenciální hustota toku neutronů (někdy ještě také diferenciální neutronový tok) [m-2sr-leV-ls-1].

udává počet neutronů v bodě s energiemi v intervalu dE kolem E a pohybující se směry uvnitř diferenciálního prostorového úhlu kolem , které prochází jednotkovou plochou kolmou na směr za jednotku času v čase t. Integrací diferenciální hustoty toku neutronů přes všechny směry získáme celkovou hustotu toku neutronů (nazývanou ještě někdy celkový neutronový tok) závislou na energii a čase

Integrováním diferenciální hustoty toku neutronů Integrováním diferenciální hustoty toku neutronů přes všechny energie získáme energeticky nezávislou diferenciální hustotu toku neutronů Funkce [m-2sr-1s-1] představuje počet neutronů procházejících v bodě ve směru jednotkovou plochou kolmou ke směru za jednotku času v čase t vztažených na jednotkový prostorový úhel. Integrujeme‑li funkci přes  všechny směry, obdržíme funkci , tj. energeticky nezávislou celkovou hustotu toku neutronů

Energeticky nezávislá diferenciální hustota toku neutronů může být v mnoha případech vyjádřena pouze jako funkce sférického úhlu θ, kdy neutronové pole je možno považovat za sféricky symetrické. Pak platí vztah V takových případech lze funkci s výhodou rozvinout pomocí Legendreových polynomů

První čtyři Legendreovy polynomy jsou Pro koeficienty platí rovnice Pro l = 1 bude tzv. nultý moment funkce

Nechť je celkový počet neutronů, které prochází v bodě za jednotku času v čase t jednotkovou plochou dA (viz obr.4.3), jejíž normála je orientována ve směru jednotkového vektoru . Počet neutronů, které prochází plochou dA za jednotku času v čase t v elementárním prostorovém úhlu kolem bude kde je směr normály k ploše dA. Potom pro hustotu proudu neutronů plochou dA platí tj.:

Obr. 4.3 K odvození vztahu pro

kde je tzv. hustota proudu neutronů, (popř kde je tzv. hustota proudu neutronů, (popř. neutronový proud), určená vztahem Pro sféricky symetrické neutronové pole můžeme psát Porovnáním s druhým členem rozvoje vyplývá, že Pro pak můžeme psát

4.1.2 Obecná transportní rovnice Základem teorie jaderných reaktorů je zákon rovnováhy neutronů: přírůstek počtu neutronů za jednotku času v jednotkovém objemu je roven počtu neutronů, které vznikají za jednotku času v tomto objemu, zmenšeném o počet neutronů, které z tohoto objemu za jednotku času unikly a které byly v něm absorbovány. Obecně můžeme tuto rovnici napsat takto kde je změna hustoty neutronů za jednotku času.

Transportní rovnice (Boltzmannova, kinetická) Transportní rovnice je obecná matematická formulace zákona neutronové rovnováhy. Je to složitá integrodiferenciální rovnice pro diferenciální hustotu toku neutronů .

Pro homogenní izotropní prostředí, ve kterém nebudeme uvažovat časovou změnu izotopického složení ani zpožděnou emisi neutronů, transportní rovnice může být napsána ve tvaru - diferenciální hustota toku neutronů, - celkový (totální) makroskopický účinný průřez, - diferenciální hustota rychlosti vzniku neutronů z vnějších zdrojů, - celkový pravděpodobný počet neutronů s energií v jednotkovém intervalu kolem E a směrem pohybu v jednotkovém prostorovém úhlu kolem vzniklých po rozptylové interakci jednoho neutronu, který měl před interakcí energii E’ a směr na jednotku dráhy.

Funkce může být vyjádřena ve tvaru - makroskopický účinný průřez rozptylové interakce i‑tého typu , - střední počet sekundárních neutronů emitovaných při interakci i‑tého typu, - diferenciální (úhlová) rozdělovací funkce, která udává pravděpodobnost vzniku sekundárního neutronu ve směru s energii E po i‑té rozptylové interakci neutronu, před kterou se pohyboval směrem s energií E', - makroskopický diferenciální účinný průřez.

Rozdělovací funkce jsou normovány k jedné, tj. Protože štěpení je v laboratorním systému izotropní, můžeme pro rozdělovací funkci štěpení psát kde funkce χ(E) je energetické spektrum štěpných neutronů emitovaných při štěpné interakci normované na jeden emitovaný neutron Celkový pravděpodobný počet neutronů , může být také vyjádřen pomocí totálního účinného průřezu, zavedeme-li novou rozdělovací funkci, . Pak

Rozdělovací funkce je normována tak, že Veličina c(E') je střední počet sekundarit na jednu srážku. Je to průměrný počet sekundárních neutronů připadajících na jednu srážku, které vznikly v bodě v důsledku všech typů interakcí neutronu s energií E'. Pro čistě absorpční srážku jako je např. (n,γ) je c = 0, pro rozptylové srážky je c = 1 a pro štěpení je c = ν.

Při řešení transportní rovnice pro homogenní izotropní prostředí využíváme následující okrajové podmínky: Při průchodu rozhraním dvou rozptylujících prostředí požadujeme ve směru svazku procházejících neutronů spojitost hustot toku neutronů. Matematický zápis tohoto požadavku je je spojitou funkcí R pro na rozhraní, Podmínka na rozhraní mezi rozptylujícím prostředím a vakuem (na tzv. volném povrchu) je pro pro všechna na rozhraní, kde je jednotkový vektor vnější normály v bodě na povrchu. Kromě těchto dvou podmínek nutno ještě respektovat tzv. podmínku pro nekonečné prostředí a počáteční podmínky.

Obr.4.4 Vztah mezi úhly J, J´, Jo , Ψ a Ψ’

4.1.3. Jednorychlostní stacionární transportní rovnice Časově a energeticky nezávislou transportní rovnici, která popisuje chování monoenergetických neutronů v rozptylujícím prostředí ve stacionárním stavu, tj. když , odvodíme z transportní rovnice pro homogenní izotropní prostředí za těchto předpokladů: změna Σt(E) s energií je zanedbána, tj. Σt(E) = Σt(E') = = Σt , střední počet sekundarit c(E) nezávisí na energii, tj. c(E)=c(E')=c, hodnota integrálu rozdělovací funkce je nezávislá na počáteční energii neutronu E'.

Integrál potom může být vyjádřen ve tvaru kde

Použijeme‑li v transportní rovnici pro homogenní izotropní prostředí výše uvedených vztahů obdržíme po integraci přes energie jednorychlostní stacionární transportní rovnici ve tvaru kde veličiny , a jsou definovány následujícími vztahy: Podstatného zjednodušení při řešení této rovnice dosáhneme, budeme-li předpokládat, že funkce a jsou pouze funkcemi proměnné x a úhlu τ mezi osou x a směrem .

Protože kde a jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y a z, bude v jednorozměrném případě první člen na levé straně jednorychlostní stacionární transportní rovnice neboť . Pro případy, kdy je možné nepružný rozptyl zanedbat, k reakcím (n,2n) vůbec nedochází a štěpení je zahrnuto do zdrojového členu, bude funkce W mít zjednodušený tvar:

Integrováním jednorychlostní stacionární transportní rovnice podle úhlu Ψ v intervalu od 0 do 2π obdržíme jedno-rozměrnou transportní rovnici ve tvaru kde jsme již použili vztahů K řešení transportní rovnice se používá metoda kulových harmonických funkcí.

V izotropním prostředí účinný průřez V izotropním prostředí účinný průřez závisí pouze na úhlu mezi směry a , tj. na úhlu rozptylu τo. Můžeme tedy psát kde μo značí kosinus úhlu rozptylu. Výraz rozvineme podle Legendreových polynomů kde koeficienty rozvoje jsou dány vztahem

Prvním členem rozvoje je dán celkový účinný průřez pro rozptyl druhým členem celkový účinný průřez pro rozptyl násobený střední hodnotou kosinu úhlu rozptylu , tj.

Pro vyjádření jako funkce veličin Ψ', Ψ, μ' a μ využijeme adičního teorému pro Legendreovy polynomy kde jsou sdružené Legendreovy funkce m‑tého řádu. Potom můžeme psát

A konečně můžeme integrál z pravé strany jednorozměrné transportní rovnice psát v následujícím tvaru

Po úpravách a s využitím vztahu bude a obdržíme jednorychlostní transportní rovnici pro jednorozměrný případ ve tvaru

Rozvineme také diferenciální hustotu toku neutronů a zdrojový člen podle Legendreových polynomů, tj. kde koeficienty rozvoje jsou dány vztahy

Přiblížení elementární teorii difúze získáme, omezíme‑li se na první dva členy rozvoje diferenciální hustoty toku podle Legendreových polynomů, tj. pro všechna l > 1 volíme . Funkce bude pak vyjádřena ve tvaru kde funkce a jsou opět nultý a první moment hustoty toku . Integrací jednorychlostní transportní rovnici pro jednorozměrný případ podle μ v intervalu od ‑1 do +1 obdržíme

Využitím ortogonality Legendreových polynomů dostáváme kde S(x) ≡ S0(x) je celková vydatnost zdroje. Protože pro náš případ Σt = Σa + Σs lze sa použitím Σs ≡ Σs0 upravit na tvar

Vynásobením jednorychlostní transportní rovnice pro jednorozměrný případ funkcí P1(m) a integrací v mezích od -1 do +1 odvodíme vztah Protože předpokládáme, že zdroje neutronů jsou izotropní, je zdrojový člen v této rovnici roven nule. Použijeme‑li nyní pro funkci vztah integrál z výše uvedené rovnice (označený symbolem I) bude mít tvar

Z podmínek ortogonality vyplývá, že Pak můžeme rovnici zapsat ve tvaru popř. po úpravě

Derivujeme‑li poslední rovnici podle x, dostáváme pro funkci rovnici Zavedeme nyní koeficient difúze D podle vztahu Využijeme‑li vztahů Σs1 = Σs a Σt = Σa + Σs, můžeme koeficient difúze psát ve tvaru Dále přijmeme-li, že Σtr = Σs(1 - ) = , kde je tzv. střední volná dráha pro transport, dostáváme

Fickův zákon difúze Difúzní rovnice Použijeme-li označení a , můžeme psát Pro trojrozměrný případ potom Fickův zákon difúze Difúzní rovnice

4.1.4. Podmínky použitelnosti elementární difúzní teorie Hustotu proudu neutronů J(x) můžeme vyjádřit ve tvaru protože P1(μ) =  μ a . Veličina ιd je střední volná dráha difúze. Je‑li Σa << Σs, pak . Použijeme-li dále průměrné hodnoty čtverce kosinu úhlového rozložení neutronů , definované vztahem a rovnost

dostáváme obecný tvar Fickova zákona používaný v difúzní teorii Bude-li navíc veličina nezávislá na poloze, pak a

Uvědomíme-li si, že dostáváme a po úpravě Veličina tedy nezávisí na x tehdy, když poměr φ2(x)/ φ0(x) nezávisí na x. V tomto případě elementární difúzní teorie platí zcela přesně. Dále můžeme psát

4.1.5. Asymptotické řešení transportní rovnice Obecně platí: V blízkosti rozhraní dvou různých prostředí nebo v blízkosti zdroje neutronů je úhlové rozložení neutronů silně anizotropní. Proto v těchto oblastech je nutné použít většího počtu členů v rozvoji funkce φ(x,μ) do kulových funkcí. V dostatečné vzdálenosti od rozhraní a zdrojů neutronů (v asymptotické oblasti) se vliv rozhraní a zdroje již neprojeví a φ(x,μ) lze s dostatečnou přesností vyjádřit funkcemi φ0(x) a φ1(x). V tomto případě je φ2(x) = 0 a poměr φ2(x)/φ0(x) je na x nezávislý. Poměr φ2(x)/φ0(x) je nezávislý na poloze ve dvou speciálních případech. V obou případech platí elementární difúzní rovnice:

1) Neabsorbující prostředí Vyjádření funkce φ(x, μ) prvními dvěma členy rozvoje do kulových funkcí odpovídá vyjádření funkce φ0(x) Taylorovou řadou, ve které všechny členy obsahující derivace druhého řádu a řádů vyšších jsou nulové, takže φ0(x) je lineární funkcí x: Vzhledem k dříve uvedené rovnosti dostáváme

Můžeme nyní jednorychlostní transportní rovnici pro jednorozměrný případ zapsat ve tvaru a po integraci odkud s využitím rovností Σs0 = Σs a Σt = Σa + Σs pro C platí Má-li být C konstantní, musí být Σa = 0 a dostáváme

Derivováním rovnosti obdržíme a tedy Dosazením do a použitím rovnosti φ1(x) = φ(x) dostáváme vztah pro hustotu proudu neutronů v asymptotické oblasti ve tvaru Tato rovnice vyjadřuje Fickův zákon v prostředí bez absorpce, pro které je koeficient difúze .

Pro monoenergetické neutrony v neabsorbujícím prostředí v oblastech vzdálených od rozhraní a zdrojů platí elementární difúzní teorie přesně. Rovnice pro funkci φ(x, μ) v asymptotickém případě bez absorpce nabývá tvaru

2) Absorbující prostředí Podmínky použitelnosti difúzní teorie v absorbujícím prostředí lze odvodit, můžeme-li funkci φ(x, μ) vyjádřit jako součin dvou funkcí, z nichž jedna závisí jenom na x a druhá jenom na μ. Potom harmonické funkce dělené funkcí φ0(x) budou pro všechna x konstantní a φ2(x)/φ0(x) bude nezávislý na x. Předpokládejme, že rozptyl neutronů je izotropní v laboratorním systému, tj. všechny Σsl kromě Σs0 = Σs jsou rovny nule. Potom pro transportní rovnici platí

Předpokládejme řešení poslední rovnice ve tvaru kde κ je zatím blíže neurčená veličina. Dosazením získáme rovnici odkud

Integrací podle  od -1 do +1 získáme vztah z čehož plyne a po integraci

Obr 4.5 Závislost κ/Σt na Σs/Σt

Pro Σs/Σt ≈ 1, tj. pro slabě absorbující prostředí (Σa << Σt), je κ << Σt. Pak obdržíme Obecné asymptotické řešení transportní rovnice má tvar kde A a C jsou konstanty. Odpovídající vyjádření pro celkovou hustotu toku neutronů obdržíme integrací přes všechny směry

Užitím posledního vztahu dostáváme V asymptotické oblasti platí tedy vždy mezi hustotou proudu neutronů a gradientem hustoty toku neutronů vztah ve tvaru Fickova zákona. V limitním případě, kdy Σa/Σs → 0 a κ2 = 3ΣaΣt, je

Závěrů, ke kterým jsme dospěli za předpokladu izotropního rozptylu, může být také použito i v případě slabě anizotropního rozptylu, když rozptylový účinný průřez je vyjádřen prvními dvěma členy rozvoje podle Legendreových polynomů. Pro případ, kdy Σa/Σs << 1, lze transcendentní rovnici rozvinout v řadu a pro veličinu κ2 lze získat rovnici ve tvaru Pro slabou absorpci, tj. kdy Σa/Σt → 0, můžeme hodnotu Σt nahradit hodnotou Σs a dostáváme

4.2. Aplikace elementární difúzní teorie 4.2.1. Elementární odvození Fickova zákona

Počet neutronů, které byly rozptýleny v dV a které projdou plochou dA za jednotku času, můžeme vyjádřit výrazem Pro elementární objem dV ve sférických souřadnicích obdržíme

Výslednou hustotu proudu neutronů v kladném směru osy

Analogicky lze odvodit hustotu produ neutronů ve směru osy x a ve směru osy y: Výsledná hustota toku proudu neutronů J je dána vztahem : Výsledná hustota proudu je vektorovou veličinou

Výslednou hustotu proudu neutronů pak můžeme vyjádřit ve tvaru Vektorová funkce grad Ф (nebo ΔФ) má v kartézských souřadnicích tvar

4. 2. 2. Upřesnění elementární difúzní teorie na základě 4.2.2. Upřesnění elementární difúzní teorie na základě transportní rovnice V prostředí, které slabě absorbuje, lze veličinu κ2 použít ve tvaru

4.2.3. Únik neutronů z objemové jednotky

Ve směru osy x vstupuje Jx dydz neutronů za jednotku času Ve směru osy x vstupuje Jx dydz neutronů za jednotku času. vzdálenou o dx vystupuje (Jx+∂Jx/∂x)dydz neutronů, takže úbytek neutronů v objemovém elementu dV ve směru osy x je Celkový úbytek neutronů z objemového elementu dV se rovná Celkový únik neutronů z objemové jednotky za jednotku času Únik neutronů z objemové jednotky je skalární veličina.

4.2.4. Difúzní rovnice Pro nestacionární stav: Pro stacionární stav:

4.2.5. Okrajové podmínky 1. podmínka: konečnost a nezápornost Na rozhraní dvou prostředí platí : 2. podmínka: 3. podmínka:

4. podmínka: na extrapolovaném rozhraní V blízkosti rozhraní mezi prostředím a vakuem se mění hustota toku neutronů tak, že její lineární extrapolace v určité vzdálenosti za tímto rozhraním (tzv. extrapolované rozhraní) klesne na nulu. 5. podmínka: tzv. zdrojová Kromě těchto okrajových podmínek musí řešení vyhovovat fyzikálním požadavkům na symetrii, které vyplývají z geometrie systému a rozmístění zdrojů.

Obr. 4. 8 Extrapolace hustoty toku neutronů na rozhraní Obr.4.8 Extrapolace hustoty toku neutronů na rozhraní difúzního prostředí

4.2.6. Řešení difúzní rovnice Tuto rovnici nazýváme vlnovou rovnicí, protože se podobá rovnici, která popisuje šíření vln v prostoru. 1. Nekonečný rovinný zdroj v nekonečném prostředí Vlnová (jednorozměrná) rovnice má tvar Obecné řešení této diferenciální rovnice bude

Pro určení integračních konstant použijeme těchto okrajových podmínek: hustota toku neutronů musí být všude konečná až na rovinu x = 0; v blízkosti neutronového zdroje je hustota proudu neutronů J rovna polovině intenzity zdroje, tj. Odtud dostáváme konstantu A ve tvaru Hustota toku neutronů od rovinného zdroje

2. Nekonečný přímkový zdroj v nekonečném prostředí Substitucí u=κr převést na mod. Besselovu difer.rovnici nultého řádu Obecné řešení této rovnice je:

3. Bodový zdroj v nekonečném prostředí Provedeme transformaci Ф(r)=u(r)/r Pro kladné κ2 dostáváme obecné řešení této diferenciální rovnice a protože u = Фr, bude Konstanty A a C určíme z těchto okrajových podmínek: 0 ≤ Ф(r) < ∞ pro r > 0; zdrojové.

4. Princip superpozice Pro jeden bodový zdroj s vydatností Si (i=1 nebo 2) bude Pro N bodových zdrojů s vydatností Si (i=1,2,3…N) umístěných v bodech (i=1,2,3...N) bude

Prostředí se dvěma bodovými zdroji s vydatností S1 s S2 Bude-li S( ) celkový počet neutronů vznikajících izotropně za jednotku času v objemu v okolí bodu , pak příspěvek těchto neutronů k celkové hustotě toku v bodě bude

Hustota toku neutronů v bodě vyvolaná všemi zdroji Lomená funkce za znakem objemového integrálu je difúzní jádro pro bodový zdroj Udává hustotu toku neutronů v bodě od bodového zdroje umístěného v bodě , který vysílá jeden neutron za jednotku času.

Difúzní jádra pro nekonečné prostředí  Geometrický tvar zdroje Označení Normovaná vydatnost zdroje (za 1 s) Difúzní jádro  Bod Gbod(r,r0) 1 neutron  Rovina Grov(x,x0) z plochy 1 m2  Přímka Gpř(r,y,r0,y0) z délky 1 m  Kulová plocha Gk(r,r0) z povrchu pol. r0 Válcová plocha Gν(r,r0) 1 neutron z povrchu pol. r0 a jedn. délky  

5. Nekonečný rovinný zdroj v difúzním prostředí konečné tloušťky Rozložení hustoty toku neutronů od rovinného zdroje v nekonečné desce

Vyjdeme z rovnice : a) podmínka na extrapolovaném rozhraní bude mít tvar a konstanta Dostaneme vztah pro hustotu toku b) použijeme zdrojovou podmínku, odkud plyne pro A vztah Hustota toku v nekonečné desce tloušťky 2xo bude mít tvar

Srovnání rozložení hustoty toku v nekonečném a konečném prostředí pro rovinný zdroj neutronů

4.2.7. Difúzní délka Difúzní délka neutronů respektuje difúzní a absorpční vlastnosti prostředí a je definována jako převrácená hodnota veličiny κ, tj. Na základě transportní teorie lze pro difúzní délku získat vztah V případě, že Σa << Σs, lze difúzní délku napsat ve tvaru

Fyzikální význam difúzní délky V difúzním prostředí tvořeném těžkými jádry, tj. s velkým hmotnostním číslem, je << 1 a vztah pro difúzní délku se redukuje na tvar Fyzikální význam difúzní délky Průměrná hodnota čtverce dráhy tepelného neutronu od místa jeho vzniku do místa pohlcení a je vyjádřena vztahem L2 = 1/6 průměrné hodnoty čtverce přímé vzdálenosti, kterou projde tepelný neutron od místa svého vzniku až do místa, kde je pohlcen.

K definici albeda na rozhraní prostředí se zdroji a reflektoru 4.2.8. Albedo v teorii difúze K definici albeda na rozhraní prostředí se zdroji a reflektoru

Koeficient odrazu - albedo značíme symbolem β a závisí pouze na vlastnostech prostředí, které odráží neutrony. Dosadíme do definice albeda složky hustoty toku neutronů a obdržíme následující výraz

kde index „o“ znamená, že za Ф a dФ/dx dosazujeme hodnoty na rozhraní. Řešením difúzní rovnice v prostředí se zdroji a v reflektoru obdržíme vztahy pro hustoty toků neutronů ve tvaru

Hustota toku neutronů od rovinného zdroje v nekonečné desce

kde jsme pro extrapolovanou tloušťku reflektoru použili označení . Pro určení konstant CA a CB použijeme podmínek Z těchto podmínek odvodíme pro konstanty CA a CB následující výrazy: kde jsme pro extrapolovanou tloušťku reflektoru použili označení .

Ze vztahu vyplývá, že Po dosazení výše uvedeného vztahu pro β do vztahu této rovnosti obdržíme pro albedo vrstvy konečné tloušťky vztah Pro tlustý reflektor, tj. pro Tr → ∞, (κB → ∞), je cotgh(kB ) → 1, takže pro β v případě nekonečně tlustého reflektoru dostáváme výraz

Albedo jako okrajová podmínka Z definice albeda plyne: V případě deskové symetrie je albedo dáno vztahem pro β a tato rovnost pak přechází na tvar

Na rozhraní dvou difúzních prostředí platí okrajové podmínky a . Dělením obou těchto rovnic odvodíme, že na rozhraní prostředí A a B platí Proto můžeme psát:

Pomocí albeda můžeme vyjádřit také okrajovou podmínku na rozhraní prostředí se zdrojem a tenkým reflektorem. Extrapolovanou vzdálenost můžeme přepsat na tvar Na základě přesnějších výsledků transportní teorie můžeme tento výraz přepsat na tvar ve kterém se střední volná dráha pro transport λtr vztahuje na prostředí A se zdroji. Je-li prostředí B vakuum, je β=0 .