FII-03 Speciální elektrostatická pole. Kapacita.

Hlavní body Elektrický náboj a pole ve vodičích Pole elektrického dipólu Chování elektrického dipólu ve vnějším elektrickém poli Příklad na jímání náboje. kapacita x napětí = náboj. Různé typy kondenzátorů. Sériové zapojení kondenzátorů. Paralelní zapojení kondenzátorů.

Nabitý plný vodič I Nabít vodič znamená přenést do něj nějaké přebytečné náboje jedné z polarit. Speciálním případem jsou kovy, u nichž jsou volnými nositeli náboje elektrony. Zde znamená záporné nabití přidání dalších elektronů, kterých je látka schopna přijmout značné množství. Naopak odebráním elektronů vznikne efektivní přebytečný kladný náboj, což je ekvivalentní nabití tělesa kladně. Pro většinu úvah můžeme chování “mezer” po elektronech chápat jako volné kladné náboje.

Nabitý plný vodič II Přebytečné náboje se odpuzují a protože jsou volné a mohou se v rámci vodiče volně pohybovat, musí skončit na povrchu. Rovnováha, které je nakonec díky pohyblivosti nábojů dosaženo, je charkteristická tím, že výslednice sil, působících na každý náboj, je rovna nule. Znamená to, že uvnitř vodiče je nulové pole a celý jeho objem včetně povrchů je ekvipotenciální oblastí.

Dutá vodivá slupka I V rovnováze opět : přebytečné náboje musí skončit na povrchu uvnitř je nulové pole a celé těleso je ekvipotenciální oblastí. Tyto podnímky mají hlubokou souvislost s platností Gaussovy věty. Pro důkaz se vraťme ke Gaussově větě :

Opět Gausova věta I Mějme kladný bodový náboj Q a kulovou Gaussovu plochu o poloměru r centrovanou v náboji. Předpokládejme nyní radiální pole : Siločáry jsou všude paralelní ke vnějším normálám, takže celkový tok je : Případ p  2 by znamenal závislost toku na r !

Opět Gausova věta II Platnost Gaussovy věty  p = 2. Užitím pojmu prostorového úhlu lze ukázatprostorového úhlu platnost pro bodový náboj umístěný kdekoli uvnitř kulové plochy. platnost pro každou uzavřenou plochu. Z každého bodu objemu totiž vidíme každou uzavřenou plochu pod celkovým prostorovým úhlem 4 .

Dutá vodivá slupka II Vezměme nejprve kulové těleso. Hustota náboje na jeho povrchu musí být ze symetrie konstantní. Ze symetrie dále plyne, že intenzity vyvolané elementárními ploškami se ve středu koule kompenzují a. V jiných bodech se ale budou kompenzovat a pole bude nulové pouze v případě, že p = 2. S použitím pojmu prostorového úhlu lze totéž dokázat pro jakoukoli uzavřenou plochu.

Dutá vodivá slupka III Závěr: existence nulového pole v jakémkoli bodě uvnitř nabité vodivé slupky libovolného tvaru je ekvivalentní platnosti Gaussovy věty. To je principem : experimentálního důkazu Gaussovy věty s velkou přesností : p – 2 = 2.7  stínění a zemnění (např. Faradayova klec)

Pole v blízkosti nabité plochy závisí na hustotě náboje Vezmeme malý válec a ponoříme jej do vodiče, aby osa válce byla k vodiči kolmá. Elektrické pole : uvnitř vodiče je nulové vně je kolmé k povrchu plochy Nenulový tok prochází pouze vnější podstavou  Pozor na hrany!  není obecně konstantní!hrany

Elektrický dipól I Látky mohou vytvářet nenulové elektrické pole, i když je v nich celkový náboj vykompenzován. Musí obsahovat takzvané multipóly, tedy částice (oblasti), v nich jsou těžiště kladného a záporného náboje v různých bodech. Vytvářená pole obecně nejsou centrosymetrická a mizí rychleji než pole bodového náboje.

Elektrický dipól II Nejjednoduším multipólem je elektrický dipól :dipól Skládá se ze dvou nábojů o stejné absolutní hodnotě ale různého znaménka +Q and –Q. Jejich vzájemnou polohu lze popsat vektorem. Definujeme dipólový moment. Elektrické dipóly (multipóly) jsou důležité, protože jsou příčinou elektrického chování elektricky neutrální (i mikrosopicky!) hmoty.

Elektrický dipól III

Elektrický dipól IV Pomocí dipólových momentů vysvětlujeme tedy základní chování látek ve vnějším elektrickém poli. Oblasti látek (částice) mohou mít buď vlastní nebo indukovaný dipólový moment. Dipólový moment je také příčinou některých slabších meziatomových vazeb.

Chování elektrického dipólu ve vnějším poli V homogenních elektrických polích působí na dipóly momenty síly, které se je snaží natočit do směru pole, tedy ztotožnit směr dipólového momentu se směrem vektoru elektrické intenzity (siločar).momenty síly V polích nehomogenních jsou dipóly také taženy nebo posunovány. taženy nebo posunovány

Příklady některých polí Pole homogenně nabité koule Pole paralelních stejnoměrně nabitých rovin Princip elektrostatické kopírky (xeroxu)

Jímání náboje I V 18. Století byli lidé fascinováni prvními elektrickými jevy, zvláště velkými výboji. Baviči byli postaveni před problém jak akumulovat maximální možný náboj. Nejprve šli cestou větších a větších nádob, ale později nalezli lepší řešení! Mějme vodivou kouli o poloměru r a =1 m. Můžeme na ní jímat libovolný náboj?

Jímání náboje II Odpověď je NE! V praxi jsme limitováni mezní intenzitou. V suchém vzduchu je to E m  V/m. Mezní intenzita závisí na vlastnostech okolí vodiče, ale je konečná i ve vakuu. Je-li dosaženo mezní intenzity vodič se bude samovolně vybíjet. (užitečné při studiu struktury) Schopnost samovybíjení se zvětšuje u členitých povrchů. Protože u výčnělků se intenzita zvětšuje.

Jímání náboje III Z Gaussovy věty plyne, že intenzita E=0 uvnitř koule a E=kQ/r a 2 těsně u jejího povrchu. Ze vztahu potenciálu a intenzity těsně u povrchu koule  =kQ/r a. Kombinací dostaneme :  =r a E for r>r a Maximální napětí a náboj na kouli tedy je :  = V  Q = C.

Jímání náboje IV Potom někdo (v Leydenu) udělal “zázrak”! Do původní koule (nabité např. nábojem +Q) umístil soustředně menší kouli o poloměru r b a uzemnil ji. Protože vnitřní koule byla původně na potenciálu vnější koule, byly po uzemnění odpuzeny kladné náboje do země, až k dosažení rovnováhy, při které na vnitřní kouli zůstal náboj –Q b. Náboj na vnějším povrchu větší koule poklesl na Q a, protože náboj Q b je vázán na povrchu vnitřním

Jímání náboje IV Pole uvnitř tloušťky vnější koule musí být nulové. Pro celkový náboj tedy platí : Q = Q a + Q b Potenciál a intenzita pole klesly. Přitom celkový náboj zůstal zachován! Systém dvou koulí má proti kouli jedné větší schopnost jímat náboj. Je totiž možné na vnější kouli přidat další náboj než by došlo k samovybíjení.

*Jímání náboje V The potential from the outer sphere:  a = kQ/r a for r  r a ;  a = kQ/r for r>r a The potential from the inner sphere:  b = -kQ/r b for r  r b ;  b = -kQ/r for r>r b From the superposition principle:  (r) =  a (r)+  b (r) The potential is zero outside the system!

*Jímání náboje VI The potential on the inner sphere is here also the voltage between the spheres: V =  (r b ) = kQ(1/r a – 1/r b ) = kQ(r b – r a )/r b r a If r b >r a /2 it starts to be interesting. Let: r b = 0.99r a and Q = C  V = V We can charge further up to Q  C! We have obtained a capacitor (condenser).

Jímání náboje VI Celkový náboj, kterým je možné nabít soustavu koulí závisí na jejich velikosti. Čím jsou koule větší a jejich rozměry jsou bližší, tím je náboj větší. Například pro r b = 99 cm, Q  C, čili 100 krát větší! Získali jsme zařízení pro jímání náboje – kondenzátor.

Kapacita Napětí mezi dvěma vodiči nabitými na náboj +Q a –Q je obecně úměrné tomuto náboji : Q = C U Kladná konstanta úměrnosti C se nazývá kapacita. Fyzikálně je to schopnost jímat náboj. Jednotkou kapacity je Farad 1 F = 1 C/V

Různé typy kondenzátorů Je mnoho důvodů vyrábět elektronickou součástky, které mají schopnost jímat náboj – kondenzátory. Hlavní užití je pro jímání náboje a potenciální energie a některé doprovodné jevy související s nabíjením a vybíjením. Nejčastěji se užívá deskových, válcových, kulových a svitkových kondenzátorů.

Dvě paralelní nabité roviny Dvě velké paralelní roviny jsou vzdáleny d. Jedna je nabita s plošnou hustotou  druhá s hustotou - . Intenzita mezi deskami bude E i a intenzita vně E o. Co platí? A)E i = 0, E o =  /  0 B)E i =  /  0, E o =0 C)E i =  /  0, E o =  /2  0

Určení kapacity kondenzátoru Obecně najdeme závislost náboje Q na napětí U a vyjádříme kapacitu jako konstantu úměrnosti. Mějme například deskový kondenzátor s rovnoběžnými deskami o ploše S a vzdálenosti d, nabité na náboj +Q a -Q: Z Gaussovy věty : E =  /  0 = Q/  0 S Také : E=U/d  Q =  0 AU/d  C =  0 S/d

Nabíjení kondenzátoru Kondenzátor nabíjíme budˇ propojíme jednu elektrodu kondenzátoru s kladným a druhou se záporným pólem zdroje stejnosměrného napětí. Po dosažení rovnováhy bude každá elektroda kondenzátoru mít stejný potenciál jako elektroda zdroje s ní spojená a napětí na kondenzátoru bude rovné napětí zdroje. nebo uzemníme jednu elektrodu a na druhou přivedeme náboj. Po dosažení rovnováhy se na uzemněné elektrodě musí objevit náboj opačné polarity. Podrobnostmi procesů se budeme zabývat později.

Sériové zapojení kondenzátorů I Mějme kondenzátory C 1 a C 2 zapojené do série. Můžeme je nahradit jedinou kapacitou: Nabijeme-li jednu elektrodu, ostatní se nabijí indukcí a náboj na všech sériově zapojených kondenzátorech musí být stejný : Q = Q 1 = Q 2

Sériové zapojení kondenzátorů II K sobě připojené elektrody jsou na stejném potenciálu. Celkové napětí na všech sériově zapojených kondenzátorech musí být tedy součtem napětí na jednotlivých kondenzátorech U = U 1 + U 2 

Paralelní zapojení kondenzátorů I Mějme dva kondenzátory C 1 a C 2 zapojené paralelně. Můžeme je nahradit jediným kondenzátorem s kapacitou C p : C p = C 1 + C 2 Celkový náboj se rozdělí na jednotlivé kondenzátory Q = Q 1 + Q 2 Napětí na všech kondenzátorech je stejné U = U 1 = U 2  C p = Q/U = Q 1 /U+ Q 2 /U = C 1 + C 2

Prostorový úhel I Mějme povrch koule o poloměru r. Z jejího středu vidíme element plochy dS pod prostorovým úhlem d  : Celý povrch vidíme pod úhlem :

Prostorový úhel II Je-li ve středu koule bodový náboj Q, je elementární tok intenzity ploškou dS : Protože poslední zlomek je d , je celkový tok: ^

Intenzity v okolí zakřivenějších povrchů jsou větší Mějme velkou a malou vodivou kouli o poloměrech R a r, které jsou spojeny vodivým drátem. Když tento útvar nabijeme, rozloží se přebytečný náboj na Q a q tak, aby byl všude stejný potenciál : ^

Potenciál elektrického dipólu I Mějme náboj –Q v počátku a +Q v bodě, určeném vektorem. Jaký je potenciál v bodě ? Použijeme princip superpozice a gradient :

Potenciál elektrického dipólu II První dva pomalu klesající výrazy se zruší : Potenciál má osovou symetrii, kde dipól leží v ose a osovou anti-symetrii kolmou na tuto osu. Potenciál klesá jako 1/r 2 ! ^

Elektrický dipól – Moment síly Mějme homogenní pole s intenzitou E. Síly na oba náboje přispívají ve shodném smyslu k momentu síly : Obecně je moment síly vektorový součin:vektorový součin ^

Elektrický dipól - tah Mějme nehomogenní elektrické pole, jehož intenzita E se mění jen v jednom směru dipól paralelní se siločárami (-Q v počátku). Obecně : ^

The vector or cross product I Let c=a.b Definition (components) The magnitude |c| Is the surface of a parallelepiped made by a,b.

The vector or cross product II The vector c is perpendicular to the plane made by the vectors a and b and they have to form a right-turning system.  ijk = {1 (even permutation), -1 (odd), 0 (eq.)} ^