Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Matematika I. KIG / 1MAT1 Přednáška 10 Determinanty jiri.cihlar@ujep.cz

O čem budeme hovořit: Permutace a jejich vlastnosti Definice determinantu Rozvoj determinantu podle řádku či sloupce Věty o determinantech

Permutace a jejich vlastnosti

Definice permutace Permutací v konečné množině M nazýváme prosté zobrazení množiny M na sebe. V dalším budeme používat pouze permutace konečné množiny M = { 1; 2; 3; … ; n }. Příklad:

Zápisy permutací Permutace v množině M = { 1; 2; 3; 4 } má tento graf: Tuto permutaci budeme zapisovat: anebo jen druhým řádkem:

Počty permutací 1 2 3 Permutace ve dvouprvkové a tříprvkové množině můžeme zapsat tabulkami: 1 2 Kolik permutací asi existuje ve čtyřprvkové a pětiprvkové množině? Počet permutací v n-prvkové množině je n ! = n . (n-1) . (n-2) . … . 3 . 2 . 1

Inverze v permutaci Je-li dána nějaká konkrétní permutace, například ( 2 5 3 1 4 ), můžeme si povšimnout, že „za některými čísly následují čísla menší“. V těchto případech hovoříme o inverzi v permutaci. Ve výše uvedené permutaci najdeme tyto inverze: za číslem 2 je menší číslo 1 … 1 inverze za číslem 5 jsou menší čísla 3, 1, 4 … 3 inverze za číslem 3 je menší číslo 1 … 1 inverze za číslem 1 není žádné menší číslo … 0 inverzí za číslem 4 není žádné menší číslo … 0 inverzí

Sudé a liché permutace Pro permutace je důležitý celkový počet inverzí. Podle jeho parity se dělí do dvou skupin a permutacím z každé skupiny se přiřazuje určité číslo (tzv. signum). Definice: Je-li celkový počet inverzí v permutaci P sudý, nazývá se i permutace P sudá, a klademe Sgn P = 1. Je-li celkový počet inverzí v permutaci P lichý, nazývá se i permutace P lichá, a klademe Sgn P =  1.

Definice determinantu

Definice determinantu matice Nechť je dána čtvercová matice: Determinantem této matice A nazýváme číslo:

Determinant matice typu (2,2) Čtvercová matice A má tvar: Determinantem této matice A je tedy číslo: Kolik je permutací v dvojprvkové množině? Kolik sčítanců bude tedy determinant mít? Jaké znamení mají jednotlivé permutace? Jak se tedy determinant vypočítá?

Výpočet determinantu matice typu (2,2) Determinantem matice A je tedy číslo: Schéma výpočtu determinantu: Příklad:

Determinant matice typu (3,3) Čtvercová matice A má tvar: Determinantem této matice A je tedy číslo: Kolik je permutací v trojprvkové množině? Kolik sčítanců bude tedy determinant mít? Jaké znamení mají jednotlivé permutace? Jak se tedy determinant vypočítá?

Výpočet determinantu matice typu (3,3) Determinantem matice A je tedy číslo: Schéma výpočtu determinantu:

Výpočet determinantu matice typu (3,3) Příklad: + – Schéma výpočtu determinantu podle Sarusova pravidla:

Poznámka o složitosti výpočtů Kolik sčítanců má determinant čtvercové matice A typu (n,n) ? typ (2,2) : … 2 ! = 2 sčítance typ (3,3) : … 3 ! = 6 sčítanců typ (4,4) : … 4 ! = 24 sčítanců typ (5,5) : … 5 ! = 120 sčítance typ (6,6) : … 7 ! = 840 sčítanců Počet sčítanců prudce stoupá, determinanty větších matic musíme tedy počítat jinak, než z definice!

Poznámka k označování Determinant čtvercové matice A budeme označovat symbolem | A | , tedy například:

Rozvoj determinantu podle řádku či sloupce

Subdeterminant Definice: Subdeteminantem prvku aij matice A budeme nazývat determinant matice, která vznikne vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce matice A. Subdeteminant označujeme Aij.

Příklady Nechť je dána matice: Subdeterminantem prvku a11 je:

Doplněk prvku Definice: Doplňkem prvku aij matice A budeme nazývat číslo (-1)i+j.Aij . Doplněk označujeme Dij. Doplněk Dij se liší od subdeterminantu Aij pouze znaménkem. Toto znaménko můžeme určit pomocí tohoto „šachovnicového“ schématu: 1 2 3 4 + -

Věta o rozvoji determinantu Nechť je dána matice A. Vyberme si libovolně některý její řádek (sloupec). Vypočtěme pro všechny prvky tohoto řádku (sloupce) součiny prvku a jeho doplňku. Determinant matice A je pak roven součtu těchto součinů. Vybereme-li například i-tý řádek, pak tedy platí:

Příklad Nechť je dána matice: Výběrem například prvního řádku získáme: Výběrem například třetího sloupce získáme:

Poznámka k výpočtům determinantů Výpočet determinantu pro n > 3 se podle předchozí věty redukuje na výpočet n determinantů matic typů (n-1, n-1) . To je sice významný pokrok oproti pracnému výpočtu z definice, ale pro vyšší n bývá ještě příliš složitý. Často pak využíváme věty z následujícího oddílu. POZOR! Sarusovo pravidlo nelze používat pro n > 3 .

Věty o determinantech

Vytýkání prvku z řádku či sloupce Jednoduchým důsledkem věty o rozvoji determinantu je, že z libovolného řádku či sloupce je možné vytknout společného dělitele, například: Například:

O determinantech platí tato tvrzení: Nechť je dána matice A. Vznikne-li matice A´ z matice A výměnou dvou řádků či sloupců, pak det A´= – det A . Matice, která má dva stejné řádky (sloupce) má determinant rovný nule. Nechť matice A´ vznikne z matice A tak, že k některému jejímu řádku (sloupci) přičteme nenulový násobek jiného řádku (sloupce). Pak platí, že det A´= det A .

Příklad

Determinant „trojúhelníkové“ matice Nechť je dána „trojúhelníková“ matice A, tedy taková, která má pod hlavní diagonálou všechny prvky rovny nule. Pak platí: Proč?

Co z tohoto výsledku plyne? Uvažujme o „trojúhelníkové“ matici A, která má pod hlavní diagonálou všechny prvky rovny nule, a všechny prvky v diagonále má nenulové. Tato matice má hodnost n, je tedy regulární, a její determinant je nenulové číslo. Platí i obrácená implikace, a tedy: Matice je regulární (a má tedy inverzní matici) právě tehdy, když její determinant je různý od nuly.

Další věty o maticích a determinantech O maticích a determinantech matic platí mnoho dalších vět. Ověřte si na příkladech, že platí následující tvrzení: ( A . B )T = BT . AT ( A . B ) -1 = B -1 . A -1 ( A –1 )T = (AT ) -1 det A = det AT det ( A . B ) = det A . det B

Co je třeba znát a umět? Rozumět definici determinantu, znát vlastnosti determinantů, zvládnout výpočty determinantů z definice, pomocí úprav neměnících jeho hodnotu a pomocí rozvoje podle řádku či sloupce.

Děkuji za pozornost